MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirconn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mirconn 27926
Description: Point inversion of connectedness. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
mirval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
mirval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
mirval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
mirval.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
mirval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
mirconn.m 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
mirconn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
mirconn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
mirconn.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
mirconn.1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
Assertion
Ref Expression
mirconn (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem mirconn
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 mirval.d . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 mirval.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 mirconn.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
76adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
8 mirconn.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
98adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
11 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
12 mirconn.m . . . . 5 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
13 mirconn.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
141, 2, 3, 10, 11, 4, 8, 12, 13mircl 27909 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
1514adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
1613adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
17 simpr 485 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ))
181, 2, 3, 10, 11, 4, 8, 12, 13mirbtwn 27906 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((π‘€β€˜π‘Œ)πΌπ‘Œ))
1918adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ ((π‘€β€˜π‘Œ)πΌπ‘Œ))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 15, 16, 17, 19tgbtwnintr 27741 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
211, 2, 3, 4, 6, 8tgbtwntriv2 27735 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐴))
2221adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐴))
23 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ π‘Œ = 𝐴)
2423fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) = (π‘€β€˜π΄))
251, 2, 3, 10, 11, 4, 8, 12mircinv 27916 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) = 𝐴)
2625adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΄) = 𝐴)
2724, 26eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) = 𝐴)
2827oveq2d 7424 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)) = (𝑋𝐼𝐴))
2922, 28eleqtrrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
3029adantlr 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
314ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
326ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
3313ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
348ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
3514ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
36 simpr 485 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ π‘Œ β‰  𝐴)
37 simplr 767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋))
381, 2, 3, 31, 34, 33, 32, 37tgbtwncom 27736 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝐴))
391, 2, 3, 4, 14, 8, 13, 18tgbtwncom 27736 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (π‘ŒπΌ(π‘€β€˜π‘Œ)))
4039ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (π‘ŒπΌ(π‘€β€˜π‘Œ)))
411, 2, 3, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40tgbtwnouttr2 27743 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
4230, 41pm2.61dane 3029 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
43 mirconn.1 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
4420, 42, 43mpjaodan 957 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  distcds 17205  TarskiGcstrkg 27675  Itvcitv 27681  LineGclng 27682  pInvGcmir 27900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-trkgc 27696  df-trkgb 27697  df-trkgcb 27698  df-trkg 27701  df-mir 27901
This theorem is referenced by:  mirbtwnhl  27928
  Copyright terms: Public domain W3C validator