MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mirconn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mirconn 28432
Description: Point inversion of connectedness. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mirval.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
mirval.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
mirval.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
mirval.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
mirval.s 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
mirval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
mirconn.m 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
mirconn.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
mirconn.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
mirconn.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
mirconn.1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
Assertion
Ref Expression
mirconn (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem mirconn
StepHypRef Expression
1 mirval.p . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
2 mirval.d . . 3 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
3 mirval.i . . 3 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 mirval.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
6 mirconn.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
76adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
8 mirconn.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
98adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
10 mirval.l . . . . 5 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
11 mirval.s . . . . 5 𝑆 = (pInvGβ€˜πΊ)
12 mirconn.m . . . . 5 𝑀 = (π‘†β€˜π΄)
13 mirconn.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
141, 2, 3, 10, 11, 4, 8, 12, 13mircl 28415 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
1514adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
1613adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
17 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ))
181, 2, 3, 10, 11, 4, 8, 12, 13mirbtwn 28412 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((π‘€β€˜π‘Œ)πΌπ‘Œ))
1918adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ ((π‘€β€˜π‘Œ)πΌπ‘Œ))
201, 2, 3, 5, 7, 9, 15, 16, 17, 19tgbtwnintr 28247 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
211, 2, 3, 4, 6, 8tgbtwntriv2 28241 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐴))
2221adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼𝐴))
23 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ π‘Œ = 𝐴)
2423fveq2d 6888 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) = (π‘€β€˜π΄))
251, 2, 3, 10, 11, 4, 8, 12mircinv 28422 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜π΄) = 𝐴)
2625adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π΄) = 𝐴)
2724, 26eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) = 𝐴)
2827oveq2d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)) = (𝑋𝐼𝐴))
2922, 28eleqtrrd 2830 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
3029adantlr 712 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
314ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
326ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
3313ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
348ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
3514ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘Œ) ∈ 𝑃)
36 simpr 484 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ π‘Œ β‰  𝐴)
37 simplr 766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋))
381, 2, 3, 31, 34, 33, 32, 37tgbtwncom 28242 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋𝐼𝐴))
391, 2, 3, 4, 14, 8, 13, 18tgbtwncom 28242 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (π‘ŒπΌ(π‘€β€˜π‘Œ)))
4039ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (π‘ŒπΌ(π‘€β€˜π‘Œ)))
411, 2, 3, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40tgbtwnouttr2 28249 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) ∧ π‘Œ β‰  𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
4230, 41pm2.61dane 3023 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
43 mirconn.1 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π΄πΌπ‘Œ) ∨ π‘Œ ∈ (𝐴𝐼𝑋)))
4420, 42, 43mpjaodan 955 1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑋𝐼(π‘€β€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  distcds 17212  TarskiGcstrkg 28181  Itvcitv 28187  LineGclng 28188  pInvGcmir 28406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-trkgc 28202  df-trkgb 28203  df-trkgcb 28204  df-trkg 28207  df-mir 28407
This theorem is referenced by:  mirbtwnhl  28434
  Copyright terms: Public domain W3C validator