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Theorem lmieu 27768
Description: Uniqueness of the line mirror point. Theorem 10.2 of [Schwabhauser] p. 88. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismid.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
ismid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ismid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
lmieu.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
lmieu.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmieu.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
lmieu (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑏   𝑃,𝑏   πœ‘,𝑏   𝐴,𝑏   𝐷,𝑏   𝐿,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑏)   βˆ’ (𝑏)

Proof of Theorem lmieu
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmieu.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
21adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
3 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ Β¬ 𝐴 = 𝑏)
4 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))
5 ismid.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
6 ismid.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
7 ismid.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
8 ismid.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
98ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
10 ismid.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
1110ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
122ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
13 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
14 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
155, 6, 7, 9, 11, 12, 13midcl 27761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑃)
165, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15ismidb 27762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ (𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))β€˜π΄) ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏)))
174, 16mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))β€˜π΄))
1817adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))β€˜π΄))
19 lmieu.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
209adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
21 lmieu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2221ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2412adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
2513adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
263neqned 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐴 β‰  𝑏)
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐴 β‰  𝑏)
285, 7, 19, 20, 24, 25, 27tgelrnln 27614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
29 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏))
30 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
3130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
325, 7, 19, 20, 24, 25, 27tglinerflx1 27617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3331, 32elind 4159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐷 ∩ (𝐴𝐿𝑏)))
34 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷)
355, 6, 7, 9, 11, 12, 13midbtwn 27763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ (𝐴𝐼𝑏))
365, 7, 19, 9, 12, 13, 15, 26, 35btwnlng1 27603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3834, 37elind 4159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ (𝐷 ∩ (𝐴𝐿𝑏)))
395, 7, 19, 20, 23, 28, 29, 33, 38tglineineq 27627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))
4039fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΄) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏)))
4140fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΄)β€˜π΄) = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))β€˜π΄))
42 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΄) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΄)
435, 6, 7, 19, 14, 20, 24, 42mircinv 27652 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΄)β€˜π΄) = 𝐴)
4418, 41, 433eqtr2rd 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐴 = 𝑏)
453, 44mtand 815 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ Β¬ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏))
468ad5antr 733 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
4721ad5antr 733 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
48 nne 2948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏) ↔ 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
4945, 48sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
5049adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
5150, 47eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)) β†’ (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
52 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏))
535, 6, 7, 19, 46, 47, 51, 52perpneq 27698 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏))
5445, 53mtand 815 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ Β¬ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏))
5554ex 414 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) β†’ (Β¬ 𝐴 = 𝑏 β†’ Β¬ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)))
5655con4d 115 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) β†’ 𝐴 = 𝑏))
57 idd 24 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) β†’ (𝐴 = 𝑏 β†’ 𝐴 = 𝑏))
5856, 57jaod 858 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) β†’ ((𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐴 = 𝑏))
5958impr 456 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝐴 = 𝑏)
6059eqcomd 2743 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝑏 = 𝐴)
61 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ 𝑏 = 𝐴)
6261oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐴))
635, 6, 7, 8, 10, 1, 1midid 27765 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐴) = 𝐴)
6463ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐴) = 𝐴)
6562, 64eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = 𝐴)
66 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
6765, 66eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷)
6861eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ 𝐴 = 𝑏)
6968olcd 873 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
7067, 69jca 513 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
7160, 70impbida 800 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴))
7271ralrimiva 3144 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴))
73 reu6i 3691 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴)) β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
742, 72, 73syl2anc 585 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
758adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7675ad2antrr 725 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7721adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7877ad2antrr 725 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
79 simplr 768 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
805, 19, 7, 76, 78, 79tglnpt 27533 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
81 eqid 2737 . . . . 5 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)
821adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8382ad2antrr 725 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
845, 6, 7, 19, 14, 76, 80, 81, 83mircl 27645 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄) ∈ 𝑃)
85 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) β†’ (𝐴𝐿π‘₯) = (𝐴𝐿(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏)))
8685breq1d 5120 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) β†’ ((𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ↔ (𝐴𝐿(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷))
87 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷)
88 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
895, 6, 7, 19, 75, 77, 82, 88foot 27706 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐷 (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
90 reurmo 3359 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐷 (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐷 (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐷 (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
9291ad4antr 731 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐷 (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
9379ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
94 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
9576ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
9683ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
97 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
9810ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
995, 6, 7, 95, 98, 96, 97midcl 27761 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑃)
1005, 6, 7, 95, 98, 96, 97midbtwn 27763 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ (𝐴𝐼𝑏))
10188ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
102 nelne2 3043 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) β‰  𝐴)
10387, 101, 102syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) β‰  𝐴)
1045, 6, 7, 95, 96, 99, 97, 100, 103tgbtwnne 27474 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝐴 β‰  𝑏)
1055, 7, 19, 95, 96, 97, 99, 104, 100btwnlng1 27603 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
1065, 7, 19, 95, 96, 97, 104, 99, 103, 105tglineelsb2 27616 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴𝐿𝑏) = (𝐴𝐿(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏)))
10778ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1085, 7, 19, 95, 96, 97, 104tgelrnln 27614 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
109104neneqd 2949 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ Β¬ 𝐴 = 𝑏)
110 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
111110orcomd 870 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴 = 𝑏 ∨ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)))
112111ord 863 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (Β¬ 𝐴 = 𝑏 β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)))
113109, 112mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏))
1145, 6, 7, 19, 95, 107, 108, 113perpcom 27697 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴𝐿𝑏)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
115106, 114eqbrtrrd 5134 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴𝐿(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
11686, 87, 92, 93, 94, 115rmoi2 3854 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ π‘₯ = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))
117116eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = π‘₯)
11880ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
1195, 6, 7, 95, 98, 96, 97, 14, 118ismidb 27762 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄) ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = π‘₯))
120117, 119mpbird 257 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄))
121 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄))
12276ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
12310ad5antr 733 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
12483ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
125 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
12680ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
1275, 6, 7, 122, 123, 124, 125, 14, 126ismidb 27762 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ (𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄) ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = π‘₯))
128121, 127mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = π‘₯)
12979ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
130128, 129eqeltrd 2838 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷)
131122adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
132 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
13319, 131, 132perpln1 27694 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ (𝐴𝐿π‘₯) ∈ ran 𝐿)
13478ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1355, 6, 7, 19, 131, 133, 134, 132perpcom 27697 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯))
136124adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
137126adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
1385, 7, 19, 131, 136, 137, 133tglnne 27612 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝐴 β‰  π‘₯)
139 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
140 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝐴 β‰  𝑏)
141140necomd 3000 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝑏 β‰  𝐴)
1425, 6, 7, 19, 14, 131, 137, 81, 136mirbtwn 27642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ π‘₯ ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)𝐼𝐴))
143 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄))
144143oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ (𝑏𝐼𝐴) = ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)𝐼𝐴))
145142, 144eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ π‘₯ ∈ (𝑏𝐼𝐴))
1465, 7, 19, 131, 139, 136, 137, 141, 145btwnlng1 27603 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ π‘₯ ∈ (𝑏𝐿𝐴))
1475, 7, 19, 131, 136, 137, 139, 138, 146, 141lnrot1 27607 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (𝐴𝐿π‘₯))
1485, 7, 19, 131, 136, 137, 138, 139, 141, 147tglineelsb2 27616 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ (𝐴𝐿π‘₯) = (𝐴𝐿𝑏))
149135, 148breqtrd 5136 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏))
150149ex 414 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ (𝐴 β‰  𝑏 β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)))
151150necon1bd 2962 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ (Β¬ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) β†’ 𝐴 = 𝑏))
152151orrd 862 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
153130, 152jca 513 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
154120, 153impbida 800 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)))
155154ralrimiva 3144 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)))
156 reu6i 3691 . . . 4 (((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄) ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄))) β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
15784, 155, 156syl2anc 585 . . 3 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
1585, 6, 7, 19, 75, 77, 82, 88footex 27705 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
159157, 158r19.29a 3160 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
16074, 159pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒ!wreu 3354  βˆƒ*wrmo 3355   class class class wbr 5110  ran crn 5639  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  2c2 12215  Basecbs 17090  distcds 17149  TarskiGcstrkg 27411  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 27415  Itvcitv 27417  LineGclng 27418  pInvGcmir 27636  βŸ‚Gcperpg 27679  midGcmid 27756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-s2 14744  df-s3 14745  df-trkgc 27432  df-trkgb 27433  df-trkgcb 27434  df-trkgld 27436  df-trkg 27437  df-cgrg 27495  df-leg 27567  df-mir 27637  df-rag 27678  df-perpg 27680  df-mid 27758
This theorem is referenced by:  lmif  27769  islmib  27771
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