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Theorem lmieu 28792
Description: Uniqueness of the line mirror point. Theorem 10.2 of [Schwabhauser] p. 88. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
lmieu.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
lmieu.1 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmieu.a (𝜑𝐴𝑃)
Assertion
Ref Expression
lmieu (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑏   𝑃,𝑏   𝜑,𝑏   𝐴,𝑏   𝐷,𝑏   𝐿,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑏)   (𝑏)

Proof of Theorem lmieu
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmieu.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴𝐷) → 𝐴𝑃)
3 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → ¬ 𝐴 = 𝑏)
4 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏))
5 ismid.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (Base‘𝐺)
6 ismid.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 = (dist‘𝐺)
7 ismid.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8 ismid.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 ismid.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
1110ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐺DimTarskiG≥2)
122ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐴𝑃)
13 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝑏𝑃)
14 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
155, 6, 7, 9, 11, 12, 13midcl 28785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑃)
165, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15ismidb 28786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏)))
174, 16mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))‘𝐴))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))‘𝐴))
19 lmieu.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (LineG‘𝐺)
209adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21 lmieu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
2221ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2412adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴𝑃)
2513adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝑏𝑃)
263neqned 2947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐴𝑏)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴𝑏)
285, 7, 19, 20, 24, 25, 27tgelrnln 28638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏))
30 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐴𝐷)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴𝐷)
325, 7, 19, 20, 24, 25, 27tglinerflx1 28641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3331, 32elind 4200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴 ∈ (𝐷 ∩ (𝐴𝐿𝑏)))
34 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷)
355, 6, 7, 9, 11, 12, 13midbtwn 28787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐼𝑏))
365, 7, 19, 9, 12, 13, 15, 26, 35btwnlng1 28627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3834, 37elind 4200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐷 ∩ (𝐴𝐿𝑏)))
395, 7, 19, 20, 23, 28, 29, 33, 38tglineineq 28651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴 = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏))
4039fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → ((pInvG‘𝐺)‘𝐴) = ((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏)))
4140fveq1d 6908 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐴) = (((pInvG‘𝐺)‘(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))‘𝐴))
42 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((pInvG‘𝐺)‘𝐴) = ((pInvG‘𝐺)‘𝐴)
435, 6, 7, 19, 14, 20, 24, 42mircinv 28676 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → (((pInvG‘𝐺)‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
4418, 41, 433eqtr2rd 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏)) → 𝐴 = 𝑏)
453, 44mtand 816 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → ¬ 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏))
468ad5antr 734 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
4721ad5antr 734 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
48 nne 2944 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏) ↔ 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
4945, 48sylib 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
5150, 47eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
52 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏))
535, 6, 7, 19, 46, 47, 51, 52perpneq 28722 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)) → 𝐷 ≠ (𝐴𝐿𝑏))
5445, 53mtand 816 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ ¬ 𝐴 = 𝑏) → ¬ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏))
5554ex 412 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) → (¬ 𝐴 = 𝑏 → ¬ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)))
5655con4d 115 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) → 𝐴 = 𝑏))
57 idd 24 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) → (𝐴 = 𝑏𝐴 = 𝑏))
5856, 57jaod 860 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷) → ((𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏) → 𝐴 = 𝑏))
5958impr 454 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐴 = 𝑏)
6059eqcomd 2743 . . . . 5 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑏 = 𝐴)
61 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → 𝑏 = 𝐴)
6261oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = (𝐴(midG‘𝐺)𝐴))
635, 6, 7, 8, 10, 1, 1midid 28789 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(midG‘𝐺)𝐴) = 𝐴)
6463ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴(midG‘𝐺)𝐴) = 𝐴)
6562, 64eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝐴)
66 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴𝐷)
6765, 66eqeltrd 2841 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷)
6861eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → 𝐴 = 𝑏)
6968olcd 875 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
7067, 69jca 511 . . . . 5 ((((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
7160, 70impbida 801 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐷) ∧ 𝑏𝑃) → (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴))
7271ralrimiva 3146 . . 3 ((𝜑𝐴𝐷) → ∀𝑏𝑃 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴))
73 reu6i 3734 . . 3 ((𝐴𝑃 ∧ ∀𝑏𝑃 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴)) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
742, 72, 73syl2anc 584 . 2 ((𝜑𝐴𝐷) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
758adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7675ad2antrr 726 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7721adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7877ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
79 simplr 769 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥𝐷)
805, 19, 7, 76, 78, 79tglnpt 28557 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝑥𝑃)
81 eqid 2737 . . . . 5 ((pInvG‘𝐺)‘𝑥) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑥)
821adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → 𝐴𝑃)
8382ad2antrr 726 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → 𝐴𝑃)
845, 6, 7, 19, 14, 76, 80, 81, 83mircl 28669 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴) ∈ 𝑃)
85 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) → (𝐴𝐿𝑥) = (𝐴𝐿(𝐴(midG‘𝐺)𝑏)))
8685breq1d 5153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) → ((𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷 ↔ (𝐴𝐿(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))(⟂G‘𝐺)𝐷))
87 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷)
88 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ¬ 𝐴𝐷)
895, 6, 7, 19, 75, 77, 82, 88foot 28730 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃!𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
90 reurmo 3383 . . . . . . . . . . 11 (∃!𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷 → ∃*𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃*𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9291ad4antr 732 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → ∃*𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9379ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑥𝐷)
94 simpllr 776 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
9576ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9683ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐴𝑃)
97 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑏𝑃)
9810ad5antr 734 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐺DimTarskiG≥2)
995, 6, 7, 95, 98, 96, 97midcl 28785 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝑃)
1005, 6, 7, 95, 98, 96, 97midbtwn 28787 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐼𝑏))
10188ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → ¬ 𝐴𝐷)
102 nelne2 3040 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ≠ 𝐴)
10387, 101, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ≠ 𝐴)
1045, 6, 7, 95, 96, 99, 97, 100, 103tgbtwnne 28498 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐴𝑏)
1055, 7, 19, 95, 96, 97, 99, 104, 100btwnlng1 28627 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
1065, 7, 19, 95, 96, 97, 104, 99, 103, 105tglineelsb2 28640 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿𝑏) = (𝐴𝐿(𝐴(midG‘𝐺)𝑏)))
10778ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1085, 7, 19, 95, 96, 97, 104tgelrnln 28638 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
109104neneqd 2945 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → ¬ 𝐴 = 𝑏)
110 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
111110orcomd 872 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴 = 𝑏𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)))
112111ord 865 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (¬ 𝐴 = 𝑏𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)))
113109, 112mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏))
1145, 6, 7, 19, 95, 107, 108, 113perpcom 28721 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿𝑏)(⟂G‘𝐺)𝐷)
115106, 114eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴𝐿(𝐴(midG‘𝐺)𝑏))(⟂G‘𝐺)𝐷)
11686, 87, 92, 93, 94, 115rmoi2 3893 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑥 = (𝐴(midG‘𝐺)𝑏))
117116eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝑥)
11880ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑥𝑃)
1195, 6, 7, 95, 98, 96, 97, 14, 118ismidb 28786 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → (𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝑥))
120117, 119mpbird 257 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴))
121 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴))
12276ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
12310ad5antr 734 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
12483ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝐴𝑃)
125 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝑏𝑃)
12680ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝑥𝑃)
1275, 6, 7, 122, 123, 124, 125, 14, 126ismidb 28786 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴) ↔ (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝑥))
128121, 127mpbid 232 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) = 𝑥)
12979ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → 𝑥𝐷)
130128, 129eqeltrd 2841 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷)
131122adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐺 ∈ TarskiG)
132 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
13319, 131, 132perpln1 28718 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴𝐿𝑥) ∈ ran 𝐿)
13478ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1355, 6, 7, 19, 131, 133, 134, 132perpcom 28721 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
136124adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑃)
137126adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑥𝑃)
1385, 7, 19, 131, 136, 137, 133tglnne 28636 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑥)
139 simpllr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏𝑃)
140 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐴𝑏)
141140necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏𝐴)
1425, 6, 7, 19, 14, 131, 137, 81, 136mirbtwn 28666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑥 ∈ ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)𝐼𝐴))
143 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴))
144143oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝑏𝐼𝐴) = ((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)𝐼𝐴))
145142, 144eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑏𝐼𝐴))
1465, 7, 19, 131, 139, 136, 137, 141, 145btwnlng1 28627 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑥 ∈ (𝑏𝐿𝐴))
1475, 7, 19, 131, 136, 137, 139, 138, 146, 141lnrot1 28631 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐴𝐿𝑥))
1485, 7, 19, 131, 136, 137, 138, 139, 141, 147tglineelsb2 28640 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → (𝐴𝐿𝑥) = (𝐴𝐿𝑏))
149135, 148breqtrd 5169 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) ∧ 𝐴𝑏) → 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏))
150149ex 412 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝐴𝑏𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏)))
151150necon1bd 2958 . . . . . . . 8 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (¬ 𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) → 𝐴 = 𝑏))
152151orrd 864 . . . . . . 7 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
153130, 152jca 511 . . . . . 6 ((((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)) → ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
154120, 153impbida 801 . . . . 5 (((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) ∧ 𝑏𝑃) → (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)))
155154ralrimiva 3146 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∀𝑏𝑃 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴)))
156 reu6i 3734 . . . 4 (((((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴) ∈ 𝑃 ∧ ∀𝑏𝑃 (((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑥)‘𝐴))) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
15784, 155, 156syl2anc 584 . . 3 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) ∧ 𝑥𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
1585, 6, 7, 19, 75, 77, 82, 88footex 28729 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃𝑥𝐷 (𝐴𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐷)
159157, 158r19.29a 3162 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐷) → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
16074, 159pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∃!𝑏𝑃 ((𝐴(midG‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  ∃!wreu 3378  ∃*wrmo 3379   class class class wbr 5143  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  2c2 12321  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  DimTarskiGcstrkgld 28439  Itvcitv 28441  LineGclng 28442  pInvGcmir 28660  ⟂Gcperpg 28703  midGcmid 28780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkgld 28460  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-leg 28591  df-mir 28661  df-rag 28702  df-perpg 28704  df-mid 28782
This theorem is referenced by:  lmif  28793  islmib  28795
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