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Theorem lmieu 28529
Description: Uniqueness of the line mirror point. Theorem 10.2 of [Schwabhauser] p. 88. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
ismid.d βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
ismid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
ismid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
lmieu.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
lmieu.1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
lmieu.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
Assertion
Ref Expression
lmieu (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑏   𝑃,𝑏   πœ‘,𝑏   𝐴,𝑏   𝐷,𝑏   𝐿,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑏)   βˆ’ (𝑏)

Proof of Theorem lmieu
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmieu.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
21adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
3 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ Β¬ 𝐴 = 𝑏)
4 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))
5 ismid.p . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
6 ismid.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆ’ = (distβ€˜πΊ)
7 ismid.i . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
8 ismid.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
98ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
10 ismid.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
1110ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
122ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
13 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
14 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (pInvGβ€˜πΊ) = (pInvGβ€˜πΊ)
155, 6, 7, 9, 11, 12, 13midcl 28522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑃)
165, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15ismidb 28523 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ (𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))β€˜π΄) ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏)))
174, 16mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))β€˜π΄))
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))β€˜π΄))
19 lmieu.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
209adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
21 lmieu.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2221ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2412adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
2513adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
263neqned 2939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐴 β‰  𝑏)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐴 β‰  𝑏)
285, 7, 19, 20, 24, 25, 27tgelrnln 28375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
29 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏))
30 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
325, 7, 19, 20, 24, 25, 27tglinerflx1 28378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3331, 32elind 4187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐴 ∈ (𝐷 ∩ (𝐴𝐿𝑏)))
34 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷)
355, 6, 7, 9, 11, 12, 13midbtwn 28524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ (𝐴𝐼𝑏))
365, 7, 19, 9, 12, 13, 15, 26, 35btwnlng1 28364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
3834, 37elind 4187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ (𝐷 ∩ (𝐴𝐿𝑏)))
395, 7, 19, 20, 23, 28, 29, 33, 38tglineineq 28388 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐴 = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))
4039fveq2d 6886 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΄) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏)))
4140fveq1d 6884 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΄)β€˜π΄) = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))β€˜π΄))
42 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΄) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΄)
435, 6, 7, 19, 14, 20, 24, 42mircinv 28413 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π΄)β€˜π΄) = 𝐴)
4418, 41, 433eqtr2rd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐴 = 𝑏)
453, 44mtand 813 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ Β¬ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏))
468ad5antr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
4721ad5antr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
48 nne 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏) ↔ 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
4945, 48sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐷 = (𝐴𝐿𝑏))
5150, 47eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)) β†’ (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
52 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏))
535, 6, 7, 19, 46, 47, 51, 52perpneq 28459 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) ∧ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)) β†’ 𝐷 β‰  (𝐴𝐿𝑏))
5445, 53mtand 813 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝐴 = 𝑏) β†’ Β¬ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏))
5554ex 412 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) β†’ (Β¬ 𝐴 = 𝑏 β†’ Β¬ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)))
5655con4d 115 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) β†’ 𝐴 = 𝑏))
57 idd 24 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) β†’ (𝐴 = 𝑏 β†’ 𝐴 = 𝑏))
5856, 57jaod 856 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷) β†’ ((𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏) β†’ 𝐴 = 𝑏))
5958impr 454 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝐴 = 𝑏)
6059eqcomd 2730 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝑏 = 𝐴)
61 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ 𝑏 = 𝐴)
6261oveq2d 7418 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐴))
635, 6, 7, 8, 10, 1, 1midid 28526 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐴) = 𝐴)
6463ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝐴) = 𝐴)
6562, 64eqtrd 2764 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = 𝐴)
66 simpllr 773 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ 𝐷)
6765, 66eqeltrd 2825 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷)
6861eqcomd 2730 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ 𝐴 = 𝑏)
6968olcd 871 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
7067, 69jca 511 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = 𝐴) β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
7160, 70impbida 798 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴))
7271ralrimiva 3138 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴))
73 reu6i 3717 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = 𝐴)) β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
742, 72, 73syl2anc 583 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
758adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7675ad2antrr 723 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7721adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
7877ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
79 simplr 766 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
805, 19, 7, 76, 78, 79tglnpt 28294 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
81 eqid 2724 . . . . 5 ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) = ((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)
821adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
8382ad2antrr 723 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
845, 6, 7, 19, 14, 76, 80, 81, 83mircl 28406 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄) ∈ 𝑃)
85 oveq2 7410 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) β†’ (𝐴𝐿π‘₯) = (𝐴𝐿(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏)))
8685breq1d 5149 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) β†’ ((𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 ↔ (𝐴𝐿(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷))
87 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷)
88 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
895, 6, 7, 19, 75, 77, 82, 88foot 28467 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐷 (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
90 reurmo 3371 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐷 (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷 β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐷 (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐷 (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
9291ad4antr 729 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ βˆƒ*π‘₯ ∈ 𝐷 (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
9379ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
94 simpllr 773 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
9576ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
9683ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
97 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
9810ad5antr 731 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
995, 6, 7, 95, 98, 96, 97midcl 28522 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝑃)
1005, 6, 7, 95, 98, 96, 97midbtwn 28524 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ (𝐴𝐼𝑏))
10188ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷)
102 nelne2 3032 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) β‰  𝐴)
10387, 101, 102syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) β‰  𝐴)
1045, 6, 7, 95, 96, 99, 97, 100, 103tgbtwnne 28235 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝐴 β‰  𝑏)
1055, 7, 19, 95, 96, 97, 99, 104, 100btwnlng1 28364 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ (𝐴𝐿𝑏))
1065, 7, 19, 95, 96, 97, 104, 99, 103, 105tglineelsb2 28377 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴𝐿𝑏) = (𝐴𝐿(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏)))
10778ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1085, 7, 19, 95, 96, 97, 104tgelrnln 28375 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴𝐿𝑏) ∈ ran 𝐿)
109104neneqd 2937 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ Β¬ 𝐴 = 𝑏)
110 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
111110orcomd 868 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴 = 𝑏 ∨ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)))
112111ord 861 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (Β¬ 𝐴 = 𝑏 β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)))
113109, 112mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏))
1145, 6, 7, 19, 95, 107, 108, 113perpcom 28458 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴𝐿𝑏)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
115106, 114eqbrtrrd 5163 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴𝐿(𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
11686, 87, 92, 93, 94, 115rmoi2 3880 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ π‘₯ = (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏))
117116eqcomd 2730 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = π‘₯)
11880ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
1195, 6, 7, 95, 98, 96, 97, 14, 118ismidb 28523 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ (𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄) ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = π‘₯))
120117, 119mpbird 257 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))) β†’ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄))
121 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄))
12276ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
12310ad5antr 731 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ 𝐺DimTarskiGβ‰₯2)
12483ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
125 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
12680ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
1275, 6, 7, 122, 123, 124, 125, 14, 126ismidb 28523 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ (𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄) ↔ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = π‘₯))
128121, 127mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) = π‘₯)
12979ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
130128, 129eqeltrd 2825 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ (𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷)
131122adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
132 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
13319, 131, 132perpln1 28455 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ (𝐴𝐿π‘₯) ∈ ran 𝐿)
13478ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
1355, 6, 7, 19, 131, 133, 134, 132perpcom 28458 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿π‘₯))
136124adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
137126adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
1385, 7, 19, 131, 136, 137, 133tglnne 28373 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝐴 β‰  π‘₯)
139 simpllr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝑏 ∈ 𝑃)
140 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝐴 β‰  𝑏)
141140necomd 2988 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝑏 β‰  𝐴)
1425, 6, 7, 19, 14, 131, 137, 81, 136mirbtwn 28403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ π‘₯ ∈ ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)𝐼𝐴))
143 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄))
144143oveq1d 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ (𝑏𝐼𝐴) = ((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)𝐼𝐴))
145142, 144eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ π‘₯ ∈ (𝑏𝐼𝐴))
1465, 7, 19, 131, 139, 136, 137, 141, 145btwnlng1 28364 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ π‘₯ ∈ (𝑏𝐿𝐴))
1475, 7, 19, 131, 136, 137, 139, 138, 146, 141lnrot1 28368 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝑏 ∈ (𝐴𝐿π‘₯))
1485, 7, 19, 131, 136, 137, 138, 139, 141, 147tglineelsb2 28377 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ (𝐴𝐿π‘₯) = (𝐴𝐿𝑏))
149135, 148breqtrd 5165 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) ∧ 𝐴 β‰  𝑏) β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏))
150149ex 412 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ (𝐴 β‰  𝑏 β†’ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏)))
151150necon1bd 2950 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ (Β¬ 𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) β†’ 𝐴 = 𝑏))
152151orrd 860 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏))
153130, 152jca 511 . . . . . 6 ((((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)) β†’ ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
154120, 153impbida 798 . . . . 5 (((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) β†’ (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)))
155154ralrimiva 3138 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄)))
156 reu6i 3717 . . . 4 (((((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄) ∈ 𝑃 ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)) ↔ 𝑏 = (((pInvGβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)β€˜π΄))) β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
15784, 155, 156syl2anc 583 . . 3 ((((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷) β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
1585, 6, 7, 19, 75, 77, 82, 88footex 28466 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐷 (𝐴𝐿π‘₯)(βŸ‚Gβ€˜πΊ)𝐷)
159157, 158r19.29a 3154 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐷) β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
16074, 159pm2.61dan 810 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑏 ∈ 𝑃 ((𝐴(midGβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐷 ∧ (𝐷(βŸ‚Gβ€˜πΊ)(𝐴𝐿𝑏) ∨ 𝐴 = 𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒ!wreu 3366  βˆƒ*wrmo 3367   class class class wbr 5139  ran crn 5668  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  2c2 12266  Basecbs 17149  distcds 17211  TarskiGcstrkg 28172  DimTarskiGβ‰₯cstrkgld 28176  Itvcitv 28178  LineGclng 28179  pInvGcmir 28397  βŸ‚Gcperpg 28440  midGcmid 28517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-hash 14292  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802  df-trkgc 28193  df-trkgb 28194  df-trkgcb 28195  df-trkgld 28197  df-trkg 28198  df-cgrg 28256  df-leg 28328  df-mir 28398  df-rag 28439  df-perpg 28441  df-mid 28519
This theorem is referenced by:  lmif  28530  islmib  28532
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