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Theorem midex 28713

Description: Existence of the midpoint, part Theorem 8.22 of [Schwabhauser] p. 64. Note that this proof requires a construction in 2 dimensions or more, i.e. it does not prove the existence of a midpoint in dimension 1, for a geometry restricted to a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mideu.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mideu.3	⊢ (𝜑 → 𝐺Dim_TarskiG≥2)

**Assertion**
Ref	Expression
midex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥, − 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐺 𝑥,𝐼 𝑥,𝐿 𝑥,𝑃 𝑥,𝑆 𝜑,𝑥

Proof of Theorem midex Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mideu.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		mideu.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		colperpex.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
11	2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10	mircinv 28644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13	11, 12	eqtr2d 2767	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
14		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐴))
15	14	fveq1d 6824	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆‘𝑥)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
16	15	rspceeqv 3600	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
17	1, 13, 16	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
18	7	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19	18	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	1	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	20	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		mideu.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23	22	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	23	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
26	25	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
27		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
28	27	ad4antr 732	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
29		simp-4r 783	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
30		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
31		simp-5r 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
32	5, 19, 31	perpln1 28686	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
33	2, 4, 5, 19, 21, 24, 26	tgelrnln 28606	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
34	2, 3, 4, 5, 19, 32, 33, 31	perpcom 28689	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
35	2, 4, 5, 19, 24, 28, 32	tglnne 28604	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐵 ≠ 𝑞)
36	2, 4, 5, 19, 24, 28, 35	tglinecom 28611	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) = (𝑞𝐿𝐵))
37	34, 36	breqtrd 5117	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝐵))
38		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
39	38	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
40	5, 19, 39	perpln1 28686	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
41	2, 3, 4, 5, 19, 40, 33, 39	perpcom 28689	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑝))
42	26	neneqd 2933	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
43	38	simprd 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
44	43	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
45	44	orcomd 871	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
46	45	ord 864	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
47	42, 46	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
48	43	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
49		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞))
50	2, 3, 4, 5, 19, 6, 21, 24, 26, 28, 29, 30, 37, 41, 47, 48, 49	mideulem 28712	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
51	18	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
52	51	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
53		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
54		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑥)
55	23	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
56	55	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
57		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))
58	57	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆‘𝑥)‘𝐵) = 𝐴)
59	2, 3, 4, 5, 6, 52, 53, 54, 56, 58	mircom 28639	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆‘𝑥)‘𝐴) = 𝐵)
60	59	eqcomd 2737	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
61	20	ad4antr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
62	25	ad4antr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
63	62	necomd 2983	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
64		simp-4r 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
65	27	ad4antr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
66		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
67		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
68	67	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
69	5, 51, 68	perpln1 28686	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
70	2, 4, 5, 51, 61, 64, 69	tglnne 28604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ≠ 𝑝)
71	2, 4, 5, 51, 61, 64, 70	tglinecom 28611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) = (𝑝𝐿𝐴))
72	71, 69	eqeltrrd 2832	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
73	2, 4, 5, 51, 55, 61, 63	tgelrnln 28606	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
74	2, 4, 5, 51, 61, 55, 62	tglinecom 28611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
75	68, 71, 74	3brtr3d 5122	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
76	2, 3, 4, 5, 51, 72, 73, 75	perpcom 28689	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
77		simp-5r 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
78	5, 51, 77	perpln1 28686	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
79	77, 74	breqtrd 5117	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
80	2, 3, 4, 5, 51, 78, 73, 79	perpcom 28689	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
81	62	neneqd 2933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
82	67	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
83	82	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
84	83	orcomd 871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
85	84	ord 864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
86	81, 85	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
87	86, 74	eleqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐿𝐴))
88	82	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
89	2, 3, 4, 51, 65, 66, 64, 88	tgbtwncom 28464	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
90		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝))
91	2, 3, 4, 5, 51, 6, 55, 61, 63, 64, 65, 66, 76, 80, 87, 89, 90	mideulem 28712	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))
92	60, 91	reximddv 3148	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
93		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
94	18	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
95	20	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
96		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
97	23	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
98		simp-5r 785	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
99	2, 3, 4, 93, 94, 95, 96, 97, 98	legtrid 28567	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ((𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞) ∨ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)))
100	50, 92, 99	mpjaodan 960	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
101		mideu.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
102	101	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
103	2, 3, 4, 5, 18, 20, 23, 27, 25, 102	colperpex 28709	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
104		r19.42v 3164	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
105	104	rexbii 3079	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
106	103, 105	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
107	100, 106	r19.29vva 3192	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
108	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
109	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
110	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
111		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
112	111	necomd 2983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
113	101	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
114	2, 3, 4, 5, 108, 109, 110, 110, 112, 113	colperpex 28709	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))))
115		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
116	2, 4, 5, 108, 110, 109, 111	tglinecom 28611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
117	116	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
118	115, 117	breqtrrd 5119	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
119	118	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
120	119	reximdv 3147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
121	114, 120	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
122	107, 121	r19.29a 3140	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
123	17, 122	pm2.61dane 3015	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 395 ∨ wo 847 = wceq 1541 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2928 ∃wrex 3056 class class class wbr 5091 ran crn 5617 ‘cfv 6481 (class class class)co 7346 2c2 12177 Basecbs 17117 distcds 17167 TarskiGcstrkg 28403 Dim_TarskiG≥cstrkgld 28407 Itvcitv 28409 LineGclng 28410 ≤Gcleg 28558 pInvGcmir 28628 ⟂Gcperpg 28671

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2144 ax-11 2160 ax-12 2180 ax-ext 2703 ax-rep 5217 ax-sep 5234 ax-nul 5244 ax-pow 5303 ax-pr 5370 ax-un 7668 ax-cnex 11059 ax-resscn 11060 ax-1cn 11061 ax-icn 11062 ax-addcl 11063 ax-addrcl 11064 ax-mulcl 11065 ax-mulrcl 11066 ax-mulcom 11067 ax-addass 11068 ax-mulass 11069 ax-distr 11070 ax-i2m1 11071 ax-1ne0 11072 ax-1rid 11073 ax-rnegex 11074 ax-rrecex 11075 ax-cnre 11076 ax-pre-lttri 11077 ax-pre-lttrn 11078 ax-pre-ltadd 11079 ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2710 df-cleq 2723 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2929 df-nel 3033 df-ral 3048 df-rex 3057 df-rmo 3346 df-reu 3347 df-rab 3396 df-v 3438 df-sbc 3742 df-csb 3851 df-dif 3905 df-un 3907 df-in 3909 df-ss 3919 df-pss 3922 df-nul 4284 df-if 4476 df-pw 4552 df-sn 4577 df-pr 4579 df-tp 4581 df-op 4583 df-uni 4860 df-int 4898 df-iun 4943 df-br 5092 df-opab 5154 df-mpt 5173 df-tr 5199 df-id 5511 df-eprel 5516 df-po 5524 df-so 5525 df-fr 5569 df-we 5571 df-xp 5622 df-rel 5623 df-cnv 5624 df-co 5625 df-dm 5626 df-rn 5627 df-res 5628 df-ima 5629 df-pred 6248 df-ord 6309 df-on 6310 df-lim 6311 df-suc 6312 df-iota 6437 df-fun 6483 df-fn 6484 df-f 6485 df-f1 6486 df-fo 6487 df-f1o 6488 df-fv 6489 df-riota 7303 df-ov 7349 df-oprab 7350 df-mpo 7351 df-om 7797 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8211 df-wrecs 8242 df-recs 8291 df-rdg 8329 df-1o 8385 df-oadd 8389 df-er 8622 df-map 8752 df-pm 8753 df-en 8870 df-dom 8871 df-sdom 8872 df-fin 8873 df-dju 9791 df-card 9829 df-pnf 11145 df-mnf 11146 df-xr 11147 df-ltxr 11148 df-le 11149 df-sub 11343 df-neg 11344 df-nn 12123 df-2 12185 df-3 12186 df-n0 12379 df-xnn0 12452 df-z 12466 df-uz 12730 df-fz 13405 df-fzo 13552 df-hash 14235 df-word 14418 df-concat 14475 df-s1 14501 df-s2 14752 df-s3 14753 df-trkgc 28424 df-trkgb 28425 df-trkgcb 28426 df-trkgld 28428 df-trkg 28429 df-cgrg 28487 df-leg 28559 df-mir 28629 df-rag 28670 df-perpg 28672

This theorem is referenced by: mideu 28714 opphllem5 28727 opphl 28730

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