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Theorem midex 28664
Description: Existence of the midpoint, part Theorem 8.22 of [Schwabhauser] p. 64. Note that this proof requires a construction in 2 dimensions or more, i.e. it does not prove the existence of a midpoint in dimension 1, for a geometry restricted to a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1 (𝜑𝐴𝑃)
mideu.2 (𝜑𝐵𝑃)
mideu.3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
midex (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem midex
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mideu.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
2 colperpex.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 colperpex.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
4 colperpex.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 colperpex.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 mideu.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7 colperpex.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
87adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
91adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
10 eqid 2726 . . . . 5 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
112, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10mircinv 28595 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝑆𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
12 simpr 483 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
1311, 12eqtr2d 2767 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
14 fveq2 6901 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐴))
1514fveq1d 6903 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆𝑥)‘𝐴) = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
1615rspceeqv 3630 . . 3 ((𝐴𝑃𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
171, 13, 16syl2an2r 683 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
187ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1918ad4antr 730 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
201ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝑃)
2120ad4antr 730 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐴𝑃)
22 mideu.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑃)
2322ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵𝑃)
2423ad4antr 730 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐵𝑃)
25 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝐵)
2625ad4antr 730 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐴𝐵)
27 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑞𝑃)
2827ad4antr 730 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑞𝑃)
29 simp-4r 782 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑝𝑃)
30 simpllr 774 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡𝑃)
31 simp-5r 784 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
325, 19, 31perpln1 28637 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
332, 4, 5, 19, 21, 24, 26tgelrnln 28557 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
342, 3, 4, 5, 19, 32, 33, 31perpcom 28640 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
352, 4, 5, 19, 24, 28, 32tglnne 28555 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐵𝑞)
362, 4, 5, 19, 24, 28, 35tglinecom 28562 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) = (𝑞𝐿𝐵))
3734, 36breqtrd 5179 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝐵))
38 simplr 767 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
3938simpld 493 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
405, 19, 39perpln1 28637 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
412, 3, 4, 5, 19, 40, 33, 39perpcom 28640 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑝))
4226neneqd 2935 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
4338simprd 494 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
4443simpld 493 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
4544orcomd 869 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
4645ord 862 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
4742, 46mpd 15 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
4843simprd 494 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
49 simpr 483 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞))
502, 3, 4, 5, 19, 6, 21, 24, 26, 28, 29, 30, 37, 41, 47, 48, 49mideulem 28663 . . . . 5 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
5118ad4antr 730 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5251adantr 479 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
53 simprl 769 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝑥𝑃)
54 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑆𝑥) = (𝑆𝑥)
5523ad4antr 730 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐵𝑃)
5655adantr 479 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐵𝑃)
57 simprr 771 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))
5857eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆𝑥)‘𝐵) = 𝐴)
592, 3, 4, 5, 6, 52, 53, 54, 56, 58mircom 28590 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆𝑥)‘𝐴) = 𝐵)
6059eqcomd 2732 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
6120ad4antr 730 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝑃)
6225ad4antr 730 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝐵)
6362necomd 2986 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐵𝐴)
64 simp-4r 782 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑝𝑃)
6527ad4antr 730 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑞𝑃)
66 simpllr 774 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡𝑃)
67 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
6867simpld 493 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
695, 51, 68perpln1 28637 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
702, 4, 5, 51, 61, 64, 69tglnne 28555 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝑝)
712, 4, 5, 51, 61, 64, 70tglinecom 28562 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) = (𝑝𝐿𝐴))
7271, 69eqeltrrd 2827 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
732, 4, 5, 51, 55, 61, 63tgelrnln 28557 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
742, 4, 5, 51, 61, 55, 62tglinecom 28562 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
7568, 71, 743brtr3d 5184 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
762, 3, 4, 5, 51, 72, 73, 75perpcom 28640 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
77 simp-5r 784 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
785, 51, 77perpln1 28637 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
7977, 74breqtrd 5179 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
802, 3, 4, 5, 51, 78, 73, 79perpcom 28640 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
8162neneqd 2935 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
8267simprd 494 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
8382simpld 493 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
8483orcomd 869 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
8584ord 862 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
8681, 85mpd 15 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
8786, 74eleqtrd 2828 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐿𝐴))
8882simprd 494 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
892, 3, 4, 51, 65, 66, 64, 88tgbtwncom 28415 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
90 simpr 483 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝))
912, 3, 4, 5, 51, 6, 55, 61, 63, 64, 65, 66, 76, 80, 87, 89, 90mideulem 28663 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ∃𝑥𝑃 𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))
9260, 91reximddv 3161 . . . . 5 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
93 eqid 2726 . . . . . 6 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
9418ad3antrrr 728 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9520ad3antrrr 728 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐴𝑃)
96 simpllr 774 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑝𝑃)
9723ad3antrrr 728 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐵𝑃)
98 simp-5r 784 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑞𝑃)
992, 3, 4, 93, 94, 95, 96, 97, 98legtrid 28518 . . . . 5 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ((𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞) ∨ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)))
10050, 92, 99mpjaodan 956 . . . 4 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
101 mideu.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
102101ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
1032, 3, 4, 5, 18, 20, 23, 27, 25, 102colperpex 28660 . . . . 5 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
104 r19.42v 3181 . . . . . 6 (∃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
105104rexbii 3084 . . . . 5 (∃𝑝𝑃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
106103, 105sylibr 233 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
107100, 106r19.29vva 3204 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
1087adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10922adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
1101adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
111 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
112111necomd 2986 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
113101adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺DimTarskiG≥2)
1142, 3, 4, 5, 108, 109, 110, 110, 112, 113colperpex 28660 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑞𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))))
115 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
1162, 4, 5, 108, 110, 109, 111tglinecom 28562 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
117116adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
118115, 117breqtrrd 5181 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
119118ex 411 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
120119reximdv 3160 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (∃𝑞𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → ∃𝑞𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
121114, 120mpd 15 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑞𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
122107, 121r19.29a 3152 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
12317, 122pm2.61dane 3019 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060   class class class wbr 5153  ran crn 5683  cfv 6554  (class class class)co 7424  2c2 12319  Basecbs 17213  distcds 17275  TarskiGcstrkg 28354  DimTarskiGcstrkgld 28358  Itvcitv 28360  LineGclng 28361  ≤Gcleg 28509  pInvGcmir 28579  ⟂Gcperpg 28622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-concat 14579  df-s1 14604  df-s2 14857  df-s3 14858  df-trkgc 28375  df-trkgb 28376  df-trkgcb 28377  df-trkgld 28379  df-trkg 28380  df-cgrg 28438  df-leg 28510  df-mir 28580  df-rag 28621  df-perpg 28623
This theorem is referenced by:  mideu  28665  opphllem5  28678  opphl  28681
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