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Theorem midex 28759
Description: Existence of the midpoint, part Theorem 8.22 of [Schwabhauser] p. 64. Note that this proof requires a construction in 2 dimensions or more, i.e. it does not prove the existence of a midpoint in dimension 1, for a geometry restricted to a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1 (𝜑𝐴𝑃)
mideu.2 (𝜑𝐵𝑃)
mideu.3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
midex (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem midex
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mideu.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
2 colperpex.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 colperpex.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
4 colperpex.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 colperpex.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 mideu.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7 colperpex.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
91adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
10 eqid 2734 . . . . 5 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
112, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10mircinv 28690 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝑆𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
12 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
1311, 12eqtr2d 2775 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
14 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐴))
1514fveq1d 6908 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆𝑥)‘𝐴) = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
1615rspceeqv 3644 . . 3 ((𝐴𝑃𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
171, 13, 16syl2an2r 685 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
187ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1918ad4antr 732 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
201ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝑃)
2120ad4antr 732 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐴𝑃)
22 mideu.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑃)
2322ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵𝑃)
2423ad4antr 732 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐵𝑃)
25 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝐵)
2625ad4antr 732 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐴𝐵)
27 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑞𝑃)
2827ad4antr 732 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑞𝑃)
29 simp-4r 784 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑝𝑃)
30 simpllr 776 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡𝑃)
31 simp-5r 786 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
325, 19, 31perpln1 28732 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
332, 4, 5, 19, 21, 24, 26tgelrnln 28652 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
342, 3, 4, 5, 19, 32, 33, 31perpcom 28735 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
352, 4, 5, 19, 24, 28, 32tglnne 28650 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐵𝑞)
362, 4, 5, 19, 24, 28, 35tglinecom 28657 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) = (𝑞𝐿𝐵))
3734, 36breqtrd 5173 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝐵))
38 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
3938simpld 494 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
405, 19, 39perpln1 28732 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
412, 3, 4, 5, 19, 40, 33, 39perpcom 28735 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑝))
4226neneqd 2942 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
4338simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
4443simpld 494 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
4544orcomd 871 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
4645ord 864 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
4742, 46mpd 15 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
4843simprd 495 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
49 simpr 484 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞))
502, 3, 4, 5, 19, 6, 21, 24, 26, 28, 29, 30, 37, 41, 47, 48, 49mideulem 28758 . . . . 5 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
5118ad4antr 732 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5251adantr 480 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
53 simprl 771 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝑥𝑃)
54 eqid 2734 . . . . . . . 8 (𝑆𝑥) = (𝑆𝑥)
5523ad4antr 732 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐵𝑃)
5655adantr 480 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐵𝑃)
57 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))
5857eqcomd 2740 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆𝑥)‘𝐵) = 𝐴)
592, 3, 4, 5, 6, 52, 53, 54, 56, 58mircom 28685 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆𝑥)‘𝐴) = 𝐵)
6059eqcomd 2740 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
6120ad4antr 732 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝑃)
6225ad4antr 732 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝐵)
6362necomd 2993 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐵𝐴)
64 simp-4r 784 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑝𝑃)
6527ad4antr 732 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑞𝑃)
66 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡𝑃)
67 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
6867simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
695, 51, 68perpln1 28732 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
702, 4, 5, 51, 61, 64, 69tglnne 28650 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝑝)
712, 4, 5, 51, 61, 64, 70tglinecom 28657 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) = (𝑝𝐿𝐴))
7271, 69eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
732, 4, 5, 51, 55, 61, 63tgelrnln 28652 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
742, 4, 5, 51, 61, 55, 62tglinecom 28657 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
7568, 71, 743brtr3d 5178 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
762, 3, 4, 5, 51, 72, 73, 75perpcom 28735 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
77 simp-5r 786 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
785, 51, 77perpln1 28732 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
7977, 74breqtrd 5173 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
802, 3, 4, 5, 51, 78, 73, 79perpcom 28735 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
8162neneqd 2942 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
8267simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
8382simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
8483orcomd 871 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
8584ord 864 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
8681, 85mpd 15 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
8786, 74eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐿𝐴))
8882simprd 495 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
892, 3, 4, 51, 65, 66, 64, 88tgbtwncom 28510 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
90 simpr 484 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝))
912, 3, 4, 5, 51, 6, 55, 61, 63, 64, 65, 66, 76, 80, 87, 89, 90mideulem 28758 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ∃𝑥𝑃 𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))
9260, 91reximddv 3168 . . . . 5 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
93 eqid 2734 . . . . . 6 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
9418ad3antrrr 730 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9520ad3antrrr 730 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐴𝑃)
96 simpllr 776 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑝𝑃)
9723ad3antrrr 730 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐵𝑃)
98 simp-5r 786 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑞𝑃)
992, 3, 4, 93, 94, 95, 96, 97, 98legtrid 28613 . . . . 5 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ((𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞) ∨ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)))
10050, 92, 99mpjaodan 960 . . . 4 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
101 mideu.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
102101ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
1032, 3, 4, 5, 18, 20, 23, 27, 25, 102colperpex 28755 . . . . 5 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
104 r19.42v 3188 . . . . . 6 (∃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
105104rexbii 3091 . . . . 5 (∃𝑝𝑃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
106103, 105sylibr 234 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
107100, 106r19.29vva 3213 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
1087adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10922adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
1101adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
111 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
112111necomd 2993 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
113101adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺DimTarskiG≥2)
1142, 3, 4, 5, 108, 109, 110, 110, 112, 113colperpex 28755 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑞𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))))
115 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
1162, 4, 5, 108, 110, 109, 111tglinecom 28657 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
117116adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
118115, 117breqtrrd 5175 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
119118ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
120119reximdv 3167 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (∃𝑞𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → ∃𝑞𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
121114, 120mpd 15 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑞𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
122107, 121r19.29a 3159 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
12317, 122pm2.61dane 3026 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067   class class class wbr 5147  ran crn 5689  cfv 6562  (class class class)co 7430  2c2 12318  Basecbs 17244  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28449  DimTarskiGcstrkgld 28453  Itvcitv 28455  LineGclng 28456  ≤Gcleg 28604  pInvGcmir 28674  ⟂Gcperpg 28717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-s2 14883  df-s3 14884  df-trkgc 28470  df-trkgb 28471  df-trkgcb 28472  df-trkgld 28474  df-trkg 28475  df-cgrg 28533  df-leg 28605  df-mir 28675  df-rag 28716  df-perpg 28718
This theorem is referenced by:  mideu  28760  opphllem5  28773  opphl  28776
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