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Theorem midex 28996

Description: Existence of the midpoint, part Theorem 8.22 of [Schwabhauser] p. 64. Note that this proof requires a construction in 2 dimensions or more, i.e. it does not prove the existence of a midpoint in dimension 1, for a geometry restricted to a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mideu.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mideu.3	⊢ (𝜑 → 𝐺Dim_TarskiG≥2)

**Assertion**
Ref	Expression
midex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥, − 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐺 𝑥,𝐼 𝑥,𝐿 𝑥,𝑃 𝑥,𝑆 𝜑,𝑥

Proof of Theorem midex Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mideu.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		mideu.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		colperpex.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
11	2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10	mircinv 28923	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13	11, 12	eqtr2d 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
14		fveq2 6883	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐴))
15	14	fveq1d 6885	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆‘𝑥)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
16	15	rspceeqv 3605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
17	1, 13, 16	syl2an2r 697	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
18	7	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19	18	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	1	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	20	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		mideu.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23	22	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	23	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		simpllr 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
26	25	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
27		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
28	27	ad4antr 744	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
29		simp-4r 795	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
30		simpllr 787	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
31		simp-5r 797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
32	5, 19, 31	perpln1 28968	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
33	2, 4, 5, 19, 21, 24, 26	tgelrnln 28881	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
34	2, 3, 4, 5, 19, 32, 33, 31	perpcom 28971	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
35	2, 4, 5, 19, 24, 28, 32	tglnne 28879	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐵 ≠ 𝑞)
36	2, 4, 5, 19, 24, 28, 35	tglinecom 28886	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) = (𝑞𝐿𝐵))
37	34, 36	breqtrd 5138	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝐵))
38		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
39	38	simpld 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
40	5, 19, 39	perpln1 28968	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
41	2, 3, 4, 5, 19, 40, 33, 39	perpcom 28971	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑝))
42	26	neneqd 2963	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
43	38	simprd 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
44	43	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
45	44	orcomd 884	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
46	45	ord 877	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
47	42, 46	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
48	43	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
49		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞))
50	2, 3, 4, 5, 19, 6, 21, 24, 26, 28, 29, 30, 37, 41, 47, 48, 49	mideulem 28995	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
51	18	ad4antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
52	51	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
53		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
54		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑥)
55	23	ad4antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
56	55	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
57		simprr 784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))
58	57	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆‘𝑥)‘𝐵) = 𝐴)
59	2, 3, 4, 5, 6, 52, 53, 54, 56, 58	mircom 28918	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆‘𝑥)‘𝐴) = 𝐵)
60	59	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
61	20	ad4antr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
62	25	ad4antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
63	62	necomd 3013	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
64		simp-4r 795	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
65	27	ad4antr 744	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
66		simpllr 787	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
67		simplr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
68	67	simpld 499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
69	5, 51, 68	perpln1 28968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
70	2, 4, 5, 51, 61, 64, 69	tglnne 28879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ≠ 𝑝)
71	2, 4, 5, 51, 61, 64, 70	tglinecom 28886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) = (𝑝𝐿𝐴))
72	71, 69	eqeltrrd 2864	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
73	2, 4, 5, 51, 55, 61, 63	tgelrnln 28881	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
74	2, 4, 5, 51, 61, 55, 62	tglinecom 28886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
75	68, 71, 74	3brtr3d 5143	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
76	2, 3, 4, 5, 51, 72, 73, 75	perpcom 28971	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
77		simp-5r 797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
78	5, 51, 77	perpln1 28968	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
79	77, 74	breqtrd 5138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
80	2, 3, 4, 5, 51, 78, 73, 79	perpcom 28971	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
81	62	neneqd 2963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
82	67	simprd 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
83	82	simpld 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
84	83	orcomd 884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
85	84	ord 877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
86	81, 85	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
87	86, 74	eleqtrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐿𝐴))
88	82	simprd 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
89	2, 3, 4, 51, 65, 66, 64, 88	tgbtwncom 28735	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
90		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝))
91	2, 3, 4, 5, 51, 6, 55, 61, 63, 64, 65, 66, 76, 80, 87, 89, 90	mideulem 28995	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))
92	60, 91	reximddv 3181	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
93		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
94	18	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
95	20	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
96		simpllr 787	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
97	23	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
98		simp-5r 797	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
99	2, 3, 4, 93, 94, 95, 96, 97, 98	legtrid 28838	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ((𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞) ∨ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)))
100	50, 92, 99	mpjaodan 973	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
101		mideu.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
102	101	ad3antrrr 742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
103	2, 3, 4, 5, 18, 20, 23, 27, 25, 102	colperpex 28992	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
104		r19.42v 3197	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
105	104	rexbii 3112	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
106	103, 105	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
107	100, 106	r19.29vva 3225	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
108	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
109	22	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
110	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
111		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
112	111	necomd 3013	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
113	101	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
114	2, 3, 4, 5, 108, 109, 110, 110, 112, 113	colperpex 28992	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))))
115		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
116	2, 4, 5, 108, 110, 109, 111	tglinecom 28886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
117	116	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
118	115, 117	breqtrrd 5140	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
119	118	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
120	119	reximdv 3180	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
121	114, 120	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
122	107, 121	r19.29a 3173	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
123	17, 122	pm2.61dane 3045	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 400 ∨ wo 860 = wceq 1570 ∈ wcel 2143 ≠ wne 2958 ∃wrex 3089 class class class wbr 5110 ran crn 5664 ‘cfv 6538 (class class class)co 7412 2c2 12296 Basecbs 17270 distcds 17320 TarskiGcstrkg 28674 Dim_TarskiG≥cstrkgld 28678 Itvcitv 28680 LineGclng 28681 ≤Gcleg 28829 pInvGcmir 28907 ⟂Gcperpg 28953

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1825 ax-4 1839 ax-5 1940 ax-6 1997 ax-7 2038 ax-8 2145 ax-9 2153 ax-10 2176 ax-11 2192 ax-12 2213 ax-ext 2735 ax-rep 5239 ax-sep 5258 ax-nul 5270 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7734 ax-cnex 11157 ax-resscn 11158 ax-1cn 11159 ax-icn 11160 ax-addcl 11161 ax-addrcl 11162 ax-mulcl 11163 ax-mulrcl 11164 ax-mulcom 11165 ax-addass 11166 ax-mulass 11167 ax-distr 11168 ax-i2m1 11169 ax-1ne0 11170 ax-1rid 11171 ax-rnegex 11172 ax-rrecex 11173 ax-cnre 11174 ax-pre-lttri 11175 ax-pre-lttrn 11176 ax-pre-ltadd 11177 ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 401 df-or 861 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1810 df-nf 1814 df-sb 2097 df-mo 2567 df-eu 2597 df-clab 2742 df-cleq 2755 df-clel 2838 df-nfc 2912 df-ne 2959 df-nel 3065 df-ral 3080 df-rex 3090 df-rmo 3369 df-reu 3370 df-rab 3417 df-v 3457 df-sbc 3746 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4288 df-if 4489 df-pw 4565 df-sn 4591 df-pr 4593 df-tp 4595 df-op 4597 df-uni 4874 df-int 4914 df-iun 4959 df-br 5111 df-opab 5175 df-mpt 5194 df-tr 5220 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7369 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7864 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8279 df-wrecs 8310 df-recs 8359 df-rdg 8398 df-1o 8454 df-oadd 8458 df-er 8695 df-map 8827 df-pm 8828 df-en 8945 df-dom 8946 df-sdom 8947 df-fin 8948 df-dju 9888 df-card 9926 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11444 df-neg 11445 df-nn 12235 df-2 12304 df-3 12305 df-n0 12506 df-xnn0 12579 df-z 12593 df-uz 12864 df-fz 13537 df-fzo 13685 df-hash 14369 df-word 14553 df-concat 14610 df-s1 14636 df-s2 14887 df-s3 14888 df-trkgc 28695 df-trkgb 28696 df-trkgcb 28697 df-trkgld 28699 df-trkg 28700 df-cgrg 28758 df-leg 28830 df-mir 28908 df-rag 28952 df-perpg 28954

This theorem is referenced by: mideu 28997 opphllem5 29010 opphl 29013

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