| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | mideu.1 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃) |
| 2 | | colperpex.p |
. . . . 5
⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺) |
| 3 | | colperpex.d |
. . . . 5
⊢ − =
(dist‘𝐺) |
| 4 | | colperpex.i |
. . . . 5
⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺) |
| 5 | | colperpex.l |
. . . . 5
⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺) |
| 6 | | mideu.s |
. . . . 5
⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺) |
| 7 | | colperpex.g |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 8 | 7 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 9 | 1 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
| 10 | | eqid 2737 |
. . . . 5
⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴) |
| 11 | 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 | mircinv 28676 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴) |
| 12 | | simpr 484 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) |
| 13 | 11, 12 | eqtr2d 2778 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴)) |
| 14 | | fveq2 6906 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐴)) |
| 15 | 14 | fveq1d 6908 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆‘𝑥)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴)) |
| 16 | 15 | rspceeqv 3645 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴)) |
| 17 | 1, 13, 16 | syl2an2r 685 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴)) |
| 18 | 7 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 19 | 18 | ad4antr 732 |
. . . . . 6
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 20 | 1 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
| 21 | 20 | ad4antr 732 |
. . . . . 6
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
| 22 | | mideu.2 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃) |
| 23 | 22 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
| 24 | 23 | ad4antr 732 |
. . . . . 6
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
| 25 | | simpllr 776 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
| 26 | 25 | ad4antr 732 |
. . . . . 6
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
| 27 | | simplr 769 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝑃) |
| 28 | 27 | ad4antr 732 |
. . . . . 6
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝑃) |
| 29 | | simp-4r 784 |
. . . . . 6
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑝 ∈ 𝑃) |
| 30 | | simpllr 776 |
. . . . . 6
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ 𝑃) |
| 31 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) |
| 32 | 5, 19, 31 | perpln1 28718 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿) |
| 33 | 2, 4, 5, 19, 21, 24, 26 | tgelrnln 28638 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿) |
| 34 | 2, 3, 4, 5, 19, 32, 33, 31 | perpcom 28721 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞)) |
| 35 | 2, 4, 5, 19, 24, 28, 32 | tglnne 28636 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐵 ≠ 𝑞) |
| 36 | 2, 4, 5, 19, 24, 28, 35 | tglinecom 28643 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) = (𝑞𝐿𝐵)) |
| 37 | 34, 36 | breqtrd 5169 |
. . . . . 6
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝐵)) |
| 38 | | simplr 769 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) |
| 39 | 38 | simpld 494 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) |
| 40 | 5, 19, 39 | perpln1 28718 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿) |
| 41 | 2, 3, 4, 5, 19, 40, 33, 39 | perpcom 28721 |
. . . . . 6
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑝)) |
| 42 | 26 | neneqd 2945 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ¬ 𝐴 = 𝐵) |
| 43 | 38 | simprd 495 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) |
| 44 | 43 | simpld 494 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) |
| 45 | 44 | orcomd 872 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))) |
| 46 | 45 | ord 865 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))) |
| 47 | 42, 46 | mpd 15 |
. . . . . 6
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) |
| 48 | 43 | simprd 495 |
. . . . . 6
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)) |
| 49 | | simpr 484 |
. . . . . 6
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) |
| 50 | 2, 3, 4, 5, 19, 6,
21, 24, 26, 28, 29, 30, 37, 41, 47, 48, 49 | mideulem 28744 |
. . . . 5
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴)) |
| 51 | 18 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 52 | 51 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 53 | | simprl 771 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝑃) |
| 54 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑥) |
| 55 | 23 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
| 56 | 55 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
| 57 | | simprr 773 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵)) |
| 58 | 57 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆‘𝑥)‘𝐵) = 𝐴) |
| 59 | 2, 3, 4, 5, 6, 52,
53, 54, 56, 58 | mircom 28671 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆‘𝑥)‘𝐴) = 𝐵) |
| 60 | 59 | eqcomd 2743 |
. . . . . 6
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴)) |
| 61 | 20 | ad4antr 732 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
| 62 | 25 | ad4antr 732 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
| 63 | 62 | necomd 2996 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐵 ≠ 𝐴) |
| 64 | | simp-4r 784 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑃) |
| 65 | 27 | ad4antr 732 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑞 ∈ 𝑃) |
| 66 | | simpllr 776 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ 𝑃) |
| 67 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) |
| 68 | 67 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) |
| 69 | 5, 51, 68 | perpln1 28718 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿) |
| 70 | 2, 4, 5, 51, 61, 64, 69 | tglnne 28636 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ≠ 𝑝) |
| 71 | 2, 4, 5, 51, 61, 64, 70 | tglinecom 28643 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) = (𝑝𝐿𝐴)) |
| 72 | 71, 69 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿) |
| 73 | 2, 4, 5, 51, 55, 61, 63 | tgelrnln 28638 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿) |
| 74 | 2, 4, 5, 51, 61, 55, 62 | tglinecom 28643 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴)) |
| 75 | 68, 71, 74 | 3brtr3d 5174 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)) |
| 76 | 2, 3, 4, 5, 51, 72, 73, 75 | perpcom 28721 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴)) |
| 77 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) |
| 78 | 5, 51, 77 | perpln1 28718 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿) |
| 79 | 77, 74 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)) |
| 80 | 2, 3, 4, 5, 51, 78, 73, 79 | perpcom 28721 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞)) |
| 81 | 62 | neneqd 2945 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ¬ 𝐴 = 𝐵) |
| 82 | 67 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) |
| 83 | 82 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵)) |
| 84 | 83 | orcomd 872 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))) |
| 85 | 84 | ord 865 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))) |
| 86 | 81, 85 | mpd 15 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)) |
| 87 | 86, 74 | eleqtrd 2843 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐿𝐴)) |
| 88 | 82 | simprd 495 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)) |
| 89 | 2, 3, 4, 51, 65, 66, 64, 88 | tgbtwncom 28496 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝑞)) |
| 90 | | simpr 484 |
. . . . . . 7
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) |
| 91 | 2, 3, 4, 5, 51, 6,
55, 61, 63, 64, 65, 66, 76, 80, 87, 89, 90 | mideulem 28744 |
. . . . . 6
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵)) |
| 92 | 60, 91 | reximddv 3171 |
. . . . 5
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴)) |
| 93 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
⊢
(≤G‘𝐺) =
(≤G‘𝐺) |
| 94 | 18 | ad3antrrr 730 |
. . . . . 6
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 95 | 20 | ad3antrrr 730 |
. . . . . 6
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
| 96 | | simpllr 776 |
. . . . . 6
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑝 ∈ 𝑃) |
| 97 | 23 | ad3antrrr 730 |
. . . . . 6
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
| 98 | | simp-5r 786 |
. . . . . 6
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑞 ∈ 𝑃) |
| 99 | 2, 3, 4, 93, 94, 95, 96, 97, 98 | legtrid 28599 |
. . . . 5
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ((𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞) ∨ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝))) |
| 100 | 50, 92, 99 | mpjaodan 961 |
. . . 4
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴)) |
| 101 | | mideu.3 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2) |
| 102 | 101 | ad3antrrr 730 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺DimTarskiG≥2) |
| 103 | 2, 3, 4, 5, 18, 20, 23, 27, 25, 102 | colperpex 28741 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) |
| 104 | | r19.42v 3191 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑡 ∈
𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) |
| 105 | 104 | rexbii 3094 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑝 ∈
𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) |
| 106 | 103, 105 | sylibr 234 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) |
| 107 | 100, 106 | r19.29vva 3216 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴)) |
| 108 | 7 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG) |
| 109 | 22 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃) |
| 110 | 1 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃) |
| 111 | | simpr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵) |
| 112 | 111 | necomd 2996 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴) |
| 113 | 101 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺DimTarskiG≥2) |
| 114 | 2, 3, 4, 5, 108, 109, 110, 110, 112, 113 | colperpex 28741 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) |
| 115 | | simprl 771 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴)) |
| 116 | 2, 4, 5, 108, 110, 109, 111 | tglinecom 28643 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴)) |
| 117 | 116 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴)) |
| 118 | 115, 117 | breqtrrd 5171 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) |
| 119 | 118 | ex 412 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))) |
| 120 | 119 | reximdv 3170 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))) |
| 121 | 114, 120 | mpd 15 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) |
| 122 | 107, 121 | r19.29a 3162 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴)) |
| 123 | 17, 122 | pm2.61dane 3029 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴)) |