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Theorem midex 29218

Description: Existence of the midpoint, part Theorem 8.22 of [Schwabhauser] p. 64. Note that this proof requires a construction in 2 dimensions or more, i.e. it does not prove the existence of a midpoint in dimension 1, for a geometry restricted to a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mideu.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mideu.3	⊢ (𝜑 → 𝐺Dim_TarskiG≥2)

**Assertion**
Ref	Expression
midex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))

Distinct variable groups: 𝑥, − 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐺 𝑥,𝐼 𝑥,𝐿 𝑥,𝑃 𝑥,𝑆 𝜑,𝑥

Proof of Theorem midex Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mideu.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		mideu.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		colperpex.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
11	2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10	mircinv 29145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13	11, 12	eqtr2d 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
14		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐴))
15	14	fveq1d 6887	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆‘𝑥)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
16	15	rspceeqv 3598	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
17	1, 13, 16	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
18	7	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19	18	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	1	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	20	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		mideu.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23	22	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	23	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
26	25	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
27		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
28	27	ad4antr 745	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
29		simp-4r 796	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
30		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
31		simp-5r 798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
32	5, 19, 31	perpln1 29190	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
33	2, 4, 5, 19, 21, 24, 26	tgelrnln 29103	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
34	2, 3, 4, 5, 19, 32, 33, 31	perpcom 29193	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
35	2, 4, 5, 19, 24, 28, 32	tglnne 29101	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐵 ≠ 𝑞)
36	2, 4, 5, 19, 24, 28, 35	tglinecom 29108	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) = (𝑞𝐿𝐵))
37	34, 36	breqtrd 5130	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝐵))
38		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
39	38	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
40	5, 19, 39	perpln1 29190	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
41	2, 3, 4, 5, 19, 40, 33, 39	perpcom 29193	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑝))
42	26	neneqd 2960	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
43	38	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
44	43	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
45	44	orcomd 885	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
46	45	ord 878	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
47	42, 46	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
48	43	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
49		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞))
50	2, 3, 4, 5, 19, 6, 21, 24, 26, 28, 29, 30, 37, 41, 47, 48, 49	mideulem 29217	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
51	18	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
52	51	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
53		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
54		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑥)
55	23	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
56	55	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
57		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))
58	57	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆‘𝑥)‘𝐵) = 𝐴)
59	2, 3, 4, 5, 6, 52, 53, 54, 56, 58	mircom 29140	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆‘𝑥)‘𝐴) = 𝐵)
60	59	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
61	20	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
62	25	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
63	62	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
64		simp-4r 796	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
65	27	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
66		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
67		simplr 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
68	67	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
69	5, 51, 68	perpln1 29190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
70	2, 4, 5, 51, 61, 64, 69	tglnne 29101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ≠ 𝑝)
71	2, 4, 5, 51, 61, 64, 70	tglinecom 29108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) = (𝑝𝐿𝐴))
72	71, 69	eqeltrrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
73	2, 4, 5, 51, 55, 61, 63	tgelrnln 29103	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
74	2, 4, 5, 51, 61, 55, 62	tglinecom 29108	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
75	68, 71, 74	3brtr3d 5135	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
76	2, 3, 4, 5, 51, 72, 73, 75	perpcom 29193	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
77		simp-5r 798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
78	5, 51, 77	perpln1 29190	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
79	77, 74	breqtrd 5130	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
80	2, 3, 4, 5, 51, 78, 73, 79	perpcom 29193	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
81	62	neneqd 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
82	67	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
83	82	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
84	83	orcomd 885	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
85	84	ord 878	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
86	81, 85	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
87	86, 74	eleqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐿𝐴))
88	82	simprd 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
89	2, 3, 4, 51, 65, 66, 64, 88	tgbtwncom 28956	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
90		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝))
91	2, 3, 4, 5, 51, 6, 55, 61, 63, 64, 65, 66, 76, 80, 87, 89, 90	mideulem 29217	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))
92	60, 91	reximddv 3178	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
93		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
94	18	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
95	20	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
96		simpllr 788	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
97	23	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
98		simp-5r 798	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
99	2, 3, 4, 93, 94, 95, 96, 97, 98	legtrid 29059	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ((𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞) ∨ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)))
100	50, 92, 99	mpjaodan 973	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
101		mideu.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
102	101	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
103	2, 3, 4, 5, 18, 20, 23, 27, 25, 102	colperpex 29214	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
104		r19.42v 3194	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
105	104	rexbii 3109	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
106	103, 105	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
107	100, 106	r19.29vva 3222	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
108	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
109	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
110	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
111		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
112	111	necomd 3010	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
113	101	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺Dim_TarskiG≥2)
114	2, 3, 4, 5, 108, 109, 110, 110, 112, 113	colperpex 29214	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))))
115		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
116	2, 4, 5, 108, 110, 109, 111	tglinecom 29108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
117	116	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
118	115, 117	breqtrrd 5132	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
119	118	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
120	119	reximdv 3177	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
121	114, 120	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
122	107, 121	r19.29a 3170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
123	17, 122	pm2.61dane 3042	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 401 ∨ wo 861 = wceq 1569 ∈ wcel 2144 ≠ wne 2955 ∃wrex 3086 class class class wbr 5102 ran crn 5651 ‘cfv 6538 (class class class)co 7420 2c2 12400 Basecbs 17392 distcds 17442 TarskiGcstrkg 28894 Dim_TarskiG≥cstrkgld 28898 Itvcitv 28900 LineGclng 28901 ≤Gcleg 29050 pInvGcmir 29129 ⟂Gcperpg 29175

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1827 ax-4 1841 ax-5 1942 ax-6 1999 ax-7 2040 ax-8 2146 ax-9 2154 ax-10 2177 ax-11 2193 ax-12 2212 ax-ext 2732 ax-rep 5231 ax-sep 5248 ax-nul 5259 ax-pow 5326 ax-pr 5390 ax-un 7751 ax-cnex 11259 ax-resscn 11260 ax-1cn 11261 ax-icn 11262 ax-addcl 11263 ax-addrcl 11264 ax-mulcl 11265 ax-mulrcl 11266 ax-mulcom 11267 ax-addass 11268 ax-mulass 11269 ax-distr 11270 ax-i2m1 11271 ax-1ne0 11272 ax-1rid 11273 ax-rnegex 11274 ax-rrecex 11275 ax-cnre 11276 ax-pre-lttri 11277 ax-pre-lttrn 11278 ax-pre-ltadd 11279 ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1572 df-fal 1582 df-ex 1812 df-nf 1816 df-sb 2099 df-mo 2564 df-eu 2594 df-clab 2739 df-cleq 2752 df-clel 2835 df-nfc 2909 df-ne 2956 df-nel 3062 df-ral 3077 df-rex 3087 df-rmo 3365 df-reu 3366 df-rab 3413 df-v 3452 df-sbc 3739 df-csb 3847 df-ss 3896 df-pss 4014 df-dif 4047 df-in 4091 df-un 4151 df-nul 4279 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4585 df-pr 4587 df-tp 4589 df-op 4835 df-uni 4867 df-int 4907 df-iun 4952 df-br 5103 df-opab 5167 df-mpt 5186 df-tr 5212 df-id 5545 df-eprel 5550 df-po 5558 df-so 5559 df-fr 5603 df-we 5605 df-xp 5656 df-rel 5657 df-cnv 5658 df-co 5659 df-dm 5660 df-rn 5661 df-res 5662 df-ima 5663 df-pred 6304 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6494 df-fun 6540 df-fn 6541 df-f 6542 df-f1 6543 df-fo 6544 df-f1o 6545 df-fv 6546 df-riota 7377 df-ov 7423 df-oprab 7424 df-mpo 7425 df-om 7878 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8302 df-wrecs 8333 df-recs 8382 df-rdg 8421 df-1o 8479 df-oadd 8483 df-er 8720 df-map 8852 df-pm 8853 df-en 8977 df-dom 8978 df-sdom 8979 df-fin 8980 df-dju 9985 df-card 10023 df-pnf 11348 df-mnf 11349 df-xr 11350 df-ltxr 11351 df-le 11352 df-sub 11546 df-neg 11547 df-nn 12339 df-2 12408 df-3 12409 df-n0 12610 df-xnn0 12683 df-z 12697 df-uz 12969 df-fz 13643 df-fzo 13792 df-hash 14478 df-word 14662 df-concat 14719 df-s1 14746 df-s2 15003 df-s3 15004 df-trkgc 28915 df-trkgb 28916 df-trkgcb 28917 df-trkgld 28919 df-trkg 28920 df-cgrg 28979 df-leg 29051 df-mir 29130 df-rag 29174 df-perpg 29176

This theorem is used by: mideu 29219 opphllem5 29232 opphl 29235

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