Theorem midex 27968

Description: Existence of the midpoint, part Theorem 8.22 of [Schwabhauser] p. 64. Note that this proof requires a construction in 2 dimensions or more, i.e. it does not prove the existence of a midpoint in dimension 1, for a geometry restricted to a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
colperpex.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
colperpex.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
mideu.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
mideu.3	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Assertion

Ref	Expression
midex	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥, −   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem midex

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mideu.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2		colperpex.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		colperpex.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
4		colperpex.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5		colperpex.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6		mideu.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7		colperpex.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9	1	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘𝐴)
11	2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10	mircinv 27899	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ((𝑆‘𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
12		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
13	11, 12	eqtr2d 2774	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
14		fveq2 6888	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐴))
15	14	fveq1d 6890	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆‘𝑥)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴))
16	15	rspceeqv 3632	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 = ((𝑆‘𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
17	1, 13, 16	syl2an2r 684	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
18	7	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
19	18	ad4antr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
20	1	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
21	20	ad4antr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
22		mideu.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
23	22	ad3antrrr 729	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
24	23	ad4antr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
26	25	ad4antr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
27		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
28	27	ad4antr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
29		simp-4r 783	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
30		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
31		simp-5r 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
32	5, 19, 31	perpln1 27941	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
33	2, 4, 5, 19, 21, 24, 26	tgelrnln 27861	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
34	2, 3, 4, 5, 19, 32, 33, 31	perpcom 27944	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
35	2, 4, 5, 19, 24, 28, 32	tglnne 27859	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝐵 ≠ 𝑞)
36	2, 4, 5, 19, 24, 28, 35	tglinecom 27866	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) = (𝑞𝐿𝐵))
37	34, 36	breqtrd 5173	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝐵))
38		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
39	38	simpld 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
40	5, 19, 39	perpln1 27941	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
41	2, 3, 4, 5, 19, 40, 33, 39	perpcom 27944	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑝))
42	26	neneqd 2946	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
43	38	simprd 497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
44	43	simpld 496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
45	44	orcomd 870	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
46	45	ord 863	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
47	42, 46	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
48	43	simprd 497	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
49		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞))
50	2, 3, 4, 5, 19, 6, 21, 24, 26, 28, 29, 30, 37, 41, 47, 48, 49	mideulem 27967	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
51	18	ad4antr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
52	51	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
53		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝑥 ∈ 𝑃)
54		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝑥)
55	23	ad4antr 731	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
56	55	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
57		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))
58	57	eqcomd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆‘𝑥)‘𝐵) = 𝐴)
59	2, 3, 4, 5, 6, 52, 53, 54, 56, 58	mircom 27894	. . . . . . 7 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆‘𝑥)‘𝐴) = 𝐵)
60	59	eqcomd 2739	. . . . . 6 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
61	20	ad4antr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
62	25	ad4antr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
63	62	necomd 2997	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐵 ≠ 𝐴)
64		simp-4r 783	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑝 ∈ 𝑃)
65	27	ad4antr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑞 ∈ 𝑃)
66		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ 𝑃)
67		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
68	67	simpld 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
69	5, 51, 68	perpln1 27941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
70	2, 4, 5, 51, 61, 64, 69	tglnne 27859	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝐴 ≠ 𝑝)
71	2, 4, 5, 51, 61, 64, 70	tglinecom 27866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) = (𝑝𝐿𝐴))
72	71, 69	eqeltrrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
73	2, 4, 5, 51, 55, 61, 63	tgelrnln 27861	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
74	2, 4, 5, 51, 61, 55, 62	tglinecom 27866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
75	68, 71, 74	3brtr3d 5178	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
76	2, 3, 4, 5, 51, 72, 73, 75	perpcom 27944	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
77		simp-5r 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
78	5, 51, 77	perpln1 27941	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
79	77, 74	breqtrd 5173	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
80	2, 3, 4, 5, 51, 78, 73, 79	perpcom 27944	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
81	62	neneqd 2946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
82	67	simprd 497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
83	82	simpld 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
84	83	orcomd 870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
85	84	ord 863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
86	81, 85	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
87	86, 74	eleqtrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐿𝐴))
88	82	simprd 497	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
89	2, 3, 4, 51, 65, 66, 64, 88	tgbtwncom 27719	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
90		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝))
91	2, 3, 4, 5, 51, 6, 55, 61, 63, 64, 65, 66, 76, 80, 87, 89, 90	mideulem 27967	. . . . . 6 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐴 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐵))
92	60, 91	reximddv 3172	. . . . 5 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
93		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
94	18	ad3antrrr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
95	20	ad3antrrr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
96		simpllr 775	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑝 ∈ 𝑃)
97	23	ad3antrrr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
98		simp-5r 785	. . . . . 6 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑞 ∈ 𝑃)
99	2, 3, 4, 93, 94, 95, 96, 97, 98	legtrid 27822	. . . . 5 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ((𝐴 − 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 − 𝑞) ∨ (𝐵 − 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 − 𝑝)))
100	50, 92, 99	mpjaodan 958	. . . 4 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑡 ∈ 𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
101		mideu.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
102	101	ad3antrrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
103	2, 3, 4, 5, 18, 20, 23, 27, 25, 102	colperpex 27964	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
104		r19.42v 3191	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
105	104	rexbii 3095	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ∃𝑝 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
106	103, 105	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ∃𝑡 ∈ 𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
107	100, 106	r19.29vva 3214	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑞 ∈ 𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
108	7	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
109	22	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑃)
110	1	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝑃)
111		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
112	111	necomd 2997	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
113	101	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐺DimTarskiG≥2)
114	2, 3, 4, 5, 108, 109, 110, 110, 112, 113	colperpex 27964	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))))
115		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
116	2, 4, 5, 108, 110, 109, 111	tglinecom 27866	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
117	116	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
118	115, 117	breqtrrd 5175	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
119	118	ex 414	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
120	119	reximdv 3171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃𝑞 ∈ 𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
121	114, 120	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑞 ∈ 𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
122	107, 121	r19.29a 3163	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))
123	17, 122	pm2.61dane 3030	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 𝐵 = ((𝑆‘𝑥)‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   class class class wbr 5147  ran crn 5676  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  2c2 12263  Basecbs 17140  distcds 17202  TarskiGcstrkg 27658  Dim_TarskiG≥cstrkgld 27662  Itvcitv 27664  LineGclng 27665  ≤Gcleg 27813  pInvGcmir 27883  ⟂Gcperpg 27926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-s2 14795  df-s3 14796  df-trkgc 27679  df-trkgb 27680  df-trkgcb 27681  df-trkgld 27683  df-trkg 27684  df-cgrg 27742  df-leg 27814  df-mir 27884  df-rag 27925  df-perpg 27927

This theorem is referenced by:  mideu  27969  opphllem5  27982  opphl  27985