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Theorem midex 28745
Description: Existence of the midpoint, part Theorem 8.22 of [Schwabhauser] p. 64. Note that this proof requires a construction in 2 dimensions or more, i.e. it does not prove the existence of a midpoint in dimension 1, for a geometry restricted to a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1 (𝜑𝐴𝑃)
mideu.2 (𝜑𝐵𝑃)
mideu.3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
midex (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem midex
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mideu.1 . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
2 colperpex.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 colperpex.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
4 colperpex.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
5 colperpex.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 mideu.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
7 colperpex.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
91adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
10 eqid 2737 . . . . 5 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
112, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10mircinv 28676 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝑆𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
12 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
1311, 12eqtr2d 2778 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
14 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐴))
1514fveq1d 6908 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆𝑥)‘𝐴) = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
1615rspceeqv 3645 . . 3 ((𝐴𝑃𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
171, 13, 16syl2an2r 685 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
187ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
1918ad4antr 732 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
201ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝑃)
2120ad4antr 732 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐴𝑃)
22 mideu.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝑃)
2322ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵𝑃)
2423ad4antr 732 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐵𝑃)
25 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝐵)
2625ad4antr 732 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐴𝐵)
27 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑞𝑃)
2827ad4antr 732 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑞𝑃)
29 simp-4r 784 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑝𝑃)
30 simpllr 776 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡𝑃)
31 simp-5r 786 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
325, 19, 31perpln1 28718 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
332, 4, 5, 19, 21, 24, 26tgelrnln 28638 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
342, 3, 4, 5, 19, 32, 33, 31perpcom 28721 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
352, 4, 5, 19, 24, 28, 32tglnne 28636 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐵𝑞)
362, 4, 5, 19, 24, 28, 35tglinecom 28643 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) = (𝑞𝐿𝐵))
3734, 36breqtrd 5169 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝐵))
38 simplr 769 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
3938simpld 494 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
405, 19, 39perpln1 28718 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
412, 3, 4, 5, 19, 40, 33, 39perpcom 28721 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑝))
4226neneqd 2945 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
4338simprd 495 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
4443simpld 494 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
4544orcomd 872 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
4645ord 865 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
4742, 46mpd 15 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
4843simprd 495 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
49 simpr 484 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞))
502, 3, 4, 5, 19, 6, 21, 24, 26, 28, 29, 30, 37, 41, 47, 48, 49mideulem 28744 . . . . 5 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
5118ad4antr 732 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5251adantr 480 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
53 simprl 771 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝑥𝑃)
54 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑆𝑥) = (𝑆𝑥)
5523ad4antr 732 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐵𝑃)
5655adantr 480 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐵𝑃)
57 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))
5857eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆𝑥)‘𝐵) = 𝐴)
592, 3, 4, 5, 6, 52, 53, 54, 56, 58mircom 28671 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆𝑥)‘𝐴) = 𝐵)
6059eqcomd 2743 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
6120ad4antr 732 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝑃)
6225ad4antr 732 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝐵)
6362necomd 2996 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐵𝐴)
64 simp-4r 784 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑝𝑃)
6527ad4antr 732 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑞𝑃)
66 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡𝑃)
67 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
6867simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
695, 51, 68perpln1 28718 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
702, 4, 5, 51, 61, 64, 69tglnne 28636 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝑝)
712, 4, 5, 51, 61, 64, 70tglinecom 28643 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) = (𝑝𝐿𝐴))
7271, 69eqeltrrd 2842 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
732, 4, 5, 51, 55, 61, 63tgelrnln 28638 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
742, 4, 5, 51, 61, 55, 62tglinecom 28643 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
7568, 71, 743brtr3d 5174 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
762, 3, 4, 5, 51, 72, 73, 75perpcom 28721 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
77 simp-5r 786 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
785, 51, 77perpln1 28718 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
7977, 74breqtrd 5169 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
802, 3, 4, 5, 51, 78, 73, 79perpcom 28721 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
8162neneqd 2945 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
8267simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
8382simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
8483orcomd 872 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
8584ord 865 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
8681, 85mpd 15 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
8786, 74eleqtrd 2843 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐿𝐴))
8882simprd 495 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
892, 3, 4, 51, 65, 66, 64, 88tgbtwncom 28496 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
90 simpr 484 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝))
912, 3, 4, 5, 51, 6, 55, 61, 63, 64, 65, 66, 76, 80, 87, 89, 90mideulem 28744 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ∃𝑥𝑃 𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))
9260, 91reximddv 3171 . . . . 5 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
93 eqid 2737 . . . . . 6 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
9418ad3antrrr 730 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9520ad3antrrr 730 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐴𝑃)
96 simpllr 776 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑝𝑃)
9723ad3antrrr 730 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐵𝑃)
98 simp-5r 786 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑞𝑃)
992, 3, 4, 93, 94, 95, 96, 97, 98legtrid 28599 . . . . 5 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ((𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞) ∨ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)))
10050, 92, 99mpjaodan 961 . . . 4 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
101 mideu.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
102101ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
1032, 3, 4, 5, 18, 20, 23, 27, 25, 102colperpex 28741 . . . . 5 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
104 r19.42v 3191 . . . . . 6 (∃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
105104rexbii 3094 . . . . 5 (∃𝑝𝑃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
106103, 105sylibr 234 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
107100, 106r19.29vva 3216 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
1087adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10922adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
1101adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
111 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
112111necomd 2996 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
113101adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺DimTarskiG≥2)
1142, 3, 4, 5, 108, 109, 110, 110, 112, 113colperpex 28741 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑞𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))))
115 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
1162, 4, 5, 108, 110, 109, 111tglinecom 28643 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
117116adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
118115, 117breqtrrd 5171 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
119118ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
120119reximdv 3170 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (∃𝑞𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → ∃𝑞𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
121114, 120mpd 15 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑞𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
122107, 121r19.29a 3162 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
12317, 122pm2.61dane 3029 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  2c2 12321  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  DimTarskiGcstrkgld 28439  Itvcitv 28441  LineGclng 28442  ≤Gcleg 28590  pInvGcmir 28660  ⟂Gcperpg 28703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkgld 28460  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-leg 28591  df-mir 28661  df-rag 28702  df-perpg 28704
This theorem is referenced by:  mideu  28746  opphllem5  28759  opphl  28762
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