Theorem ragtrivb 26793

Description: Trivial right angle. Theorem 8.5 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
israg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
israg.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
israg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
israg.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
israg.s	⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
israg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
israg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
israg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
israg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ragtrivb	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Proof of Theorem ragtrivb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		israg.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		israg.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		israg.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		israg.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		israg.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
6		israg.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		israg.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑆‘𝐵) = (𝑆‘𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	mircinv 26759	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝐵)‘𝐵) = 𝐵)
10	9	oveq2d 7229	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐵)) = (𝐴 − 𝐵))
11	10	eqcomd 2743	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐵)))
12		israg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 7, 7	israg 26788	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 − ((𝑆‘𝐵)‘𝐵))))
14	11, 13	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐵”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ⟨“cs3 14407  Basecbs 16760  distcds 16811  TarskiGcstrkg 26521  Itvcitv 26527  LineGclng 26528  pInvGcmir 26743  ∟Gcrag 26784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-s1 14153  df-s2 14413  df-s3 14414  df-trkgc 26539  df-trkgb 26540  df-trkgcb 26541  df-trkg 26544  df-mir 26744  df-rag 26785

This theorem is referenced by:  ragtriva  26796  ragcgr  26798  perprag  26817  perpdragALT  26818  lmiisolem  26887