Theorem mamures 22362

Description: Rows in a matrix product are functions only of the corresponding rows in the left argument. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamures.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamures.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
mamures.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamures.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamures.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
mamures.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝑀)
mamures.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamures.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
mamures	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))

Proof of Theorem mamures

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamures.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝑀)
2		ssidd 3946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝑃)
3		resmpo 7487	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ⊆ 𝑀 ∧ 𝑃 ⊆ 𝑃) → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
5		ovres 7533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
6	5	3ad2antl2 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
7	6	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) = (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘))
8	7	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)) = ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))
9	8	mpteq2dva 5179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))
10	9	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))))
11	10	mpoeq3dva 7444	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
12	4, 11	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
13		mamures.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
14		mamures.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16		mamures.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
17		mamures.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
18		mamures.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
19		mamures.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
20		mamures.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
21		mamures.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))
22	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	mamuval 22358	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
23	22	reseq1d 5944	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)))
24		mamures.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
25	17, 1	ssfid 9179	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
26		elmapi 8796	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
27	20, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
28		xpss1 5650	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝑀 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
29	1, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
30	27, 29	fssresd 6708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵)
31	14	fvexi 6855	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
33		xpfi 9230	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
34	25, 18, 33	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
35	32, 34	elmapd 8787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝑁)) ↔ (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵))
36	30, 35	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝑁)))
37	24, 14, 15, 16, 25, 18, 19, 36, 21	mamuval 22358	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
38	12, 23, 37	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ⟨cotp 4576   ↦ cmpt 5167   × cxp 5629   ↾ cres 5633  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221   Σ_g cgsu 17403   maMul cmmul 22355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-1o 8405  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-fin 8897  df-mamu 22356

This theorem is referenced by:  mdetmul  22588