Theorem mamures 22742

Description: Rows in a matrix product are functions only of the corresponding rows in the left argument. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamures.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamures.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
mamures.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamures.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamures.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
mamures.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝑀)
mamures.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamures.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
mamures	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))

Proof of Theorem mamures

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamures.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝑀)
2		ssidd 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝑃)
3		resmpo 7563	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ⊆ 𝑀 ∧ 𝑃 ⊆ 𝑃) → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
5		ovres 7610	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
6	5	3ad2antl2 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
7	6	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) = (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘))
8	7	oveq1d 7458	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)) = ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))
9	8	mpteq2dva 5201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))
10	9	oveq2d 7459	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))))
11	10	mpoeq3dva 7520	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
12	4, 11	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
13		mamures.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
14		mamures.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16		mamures.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
17		mamures.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
18		mamures.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
19		mamures.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
20		mamures.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
21		mamures.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))
22	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	mamuval 22738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
23	22	reseq1d 5980	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)))
24		mamures.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
25	17, 1	ssfid 9288	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
26		elmapi 8897	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
27	20, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
28		xpss1 5674	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝑀 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
29	1, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
30	27, 29	fssresd 6771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵)
31	14	fvexi 6922	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
33		xpfi 9339	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
34	25, 18, 33	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
35	32, 34	elmapd 8888	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝑁)) ↔ (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵))
36	30, 35	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝑁)))
37	24, 14, 15, 16, 25, 18, 19, 36, 21	mamuval 22738	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
38	12, 23, 37	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ⟨cotp 4861   ↦ cmpt 5189   × cxp 5653   ↾ cres 5657  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445   ↑_m cmap 8875  Fincfn 9001  Basecbs 17416  ._rcmulr 17458   Σ_g cgsu 17640   maMul cmmul 22735

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-1o 8504  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-fin 9005  df-mamu 22736

This theorem is used by:  mdetmul  22968