Theorem mamures 22340

Description: Rows in a matrix product are functions only of the corresponding rows in the left argument. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamures.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamures.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
mamures.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamures.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamures.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
mamures.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝑀)
mamures.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamures.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
mamures	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))

Proof of Theorem mamures

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamures.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝑀)
2		ssidd 3946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝑃)
3		resmpo 7478	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ⊆ 𝑀 ∧ 𝑃 ⊆ 𝑃) → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
5		ovres 7524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
6	5	3ad2antl2 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
7	6	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) = (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘))
8	7	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)) = ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))
9	8	mpteq2dva 5179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))
10	9	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))))
11	10	mpoeq3dva 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
12	4, 11	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
13		mamures.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
14		mamures.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16		mamures.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
17		mamures.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
18		mamures.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
19		mamures.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
20		mamures.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
21		mamures.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))
22	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	mamuval 22336	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
23	22	reseq1d 5935	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)))
24		mamures.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
25	17, 1	ssfid 9170	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
26		elmapi 8787	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
27	20, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
28		xpss1 5641	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝑀 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
29	1, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
30	27, 29	fssresd 6699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵)
31	14	fvexi 6846	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
33		xpfi 9221	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
34	25, 18, 33	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
35	32, 34	elmapd 8778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝑁)) ↔ (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵))
36	30, 35	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝑁)))
37	24, 14, 15, 16, 25, 18, 19, 36, 21	mamuval 22336	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
38	12, 23, 37	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ⟨cotp 4576   ↦ cmpt 5167   × cxp 5620   ↾ cres 5624  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ↑_m cmap 8764  Fincfn 8884  Basecbs 17137  ._rcmulr 17179   Σ_g cgsu 17361   maMul cmmul 22333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-1o 8396  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-fin 8888  df-mamu 22334

This theorem is referenced by:  mdetmul  22566