MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamures Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamures 21892
Description: Rows in a matrix product are functions only of the corresponding rows in the left argument. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mamures.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.g 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamures.r (𝜑𝑅𝑉)
mamures.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamures.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamures.p (𝜑𝑃 ∈ Fin)
mamures.i (𝜑𝐼𝑀)
mamures.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamures.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
Assertion
Ref Expression
mamures (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))

Proof of Theorem mamures
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamures.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑀)
2 ssidd 4006 . . . 4 (𝜑𝑃𝑃)
3 resmpo 7528 . . . 4 ((𝐼𝑀𝑃𝑃) → ((𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
41, 2, 3syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → ((𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
5 ovres 7573 . . . . . . . . 9 ((𝑖𝐼𝑘𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
653ad2antl2 1187 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
76eqcomd 2739 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) = (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘))
87oveq1d 7424 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗)) = ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))
98mpteq2dva 5249 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))
109oveq2d 7425 . . . 4 ((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))))
1110mpoeq3dva 7486 . . 3 (𝜑 → (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
124, 11eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
13 mamures.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
14 mamures.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
15 eqid 2733 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
16 mamures.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑉)
17 mamures.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
18 mamures.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
19 mamures.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
20 mamures.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
21 mamures.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
2213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21mamuval 21888 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
2322reseq1d 5981 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)))
24 mamures.g . . 3 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
2517, 1ssfid 9267 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
26 elmapi 8843 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
2720, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
28 xpss1 5696 . . . . . 6 (𝐼𝑀 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
291, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
3027, 29fssresd 6759 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵)
3114fvexi 6906 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3231a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
33 xpfi 9317 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
3425, 18, 33syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
3532, 34elmapd 8834 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵m (𝐼 × 𝑁)) ↔ (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵))
3630, 35mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵m (𝐼 × 𝑁)))
3724, 14, 15, 16, 25, 18, 19, 36, 21mamuval 21888 . 2 (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
3812, 23, 373eqtr4d 2783 1 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  wss 3949  cotp 4637  cmpt 5232   × cxp 5675  cres 5679  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7409  cmpo 7411  m cmap 8820  Fincfn 8939  Basecbs 17144  .rcmulr 17198   Σg cgsu 17386   maMul cmmul 21885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-map 8822  df-en 8940  df-fin 8943  df-mamu 21886
This theorem is referenced by:  mdetmul  22125
  Copyright terms: Public domain W3C validator