Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamures Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mamures 20995
 Description: Rows in a matrix product are functions only of the corresponding rows in the left argument. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mamures.f 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.g 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamures.r (𝜑𝑅𝑉)
mamures.m (𝜑𝑀 ∈ Fin)
mamures.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
mamures.p (𝜑𝑃 ∈ Fin)
mamures.i (𝜑𝐼𝑀)
mamures.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
mamures.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
Assertion
Ref Expression
mamures (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))

Proof of Theorem mamures
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamures.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑀)
2 ssidd 3989 . . . 4 (𝜑𝑃𝑃)
3 resmpo 7266 . . . 4 ((𝐼𝑀𝑃𝑃) → ((𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
41, 2, 3syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → ((𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
5 ovres 7308 . . . . . . . . 9 ((𝑖𝐼𝑘𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
653ad2antl2 1182 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
76eqcomd 2827 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) = (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘))
87oveq1d 7165 . . . . . 6 (((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗)) = ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))
98mpteq2dva 5153 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))
109oveq2d 7166 . . . 4 ((𝜑𝑖𝐼𝑗𝑃) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))))
1110mpoeq3dva 7225 . . 3 (𝜑 → (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
124, 11eqtrd 2856 . 2 (𝜑 → ((𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
13 mamures.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
14 mamures.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
15 eqid 2821 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
16 mamures.r . . . 4 (𝜑𝑅𝑉)
17 mamures.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Fin)
18 mamures.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
19 mamures.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Fin)
20 mamures.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)))
21 mamures.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐵m (𝑁 × 𝑃)))
2213, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21mamuval 20991 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
2322reseq1d 5846 . 2 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑖𝑀, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)))
24 mamures.g . . 3 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
2517, 1ssfid 8735 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
26 elmapi 8422 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐵m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
2720, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
28 xpss1 5568 . . . . . 6 (𝐼𝑀 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
291, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
3027, 29fssresd 6539 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵)
3114fvexi 6678 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
3231a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
33 xpfi 8783 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
3425, 18, 33syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
3532, 34elmapd 8414 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵m (𝐼 × 𝑁)) ↔ (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵))
3630, 35mpbird 259 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵m (𝐼 × 𝑁)))
3724, 14, 15, 16, 25, 18, 19, 36, 21mamuval 20991 . 2 (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌) = (𝑖𝐼, 𝑗𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
3812, 23, 373eqtr4d 2866 1 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  ⟨cotp 4568   ↦ cmpt 5138   × cxp 5547   ↾ cres 5551  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152   ↑m cmap 8400  Fincfn 8503  Basecbs 16477  .rcmulr 16560   Σg cgsu 16708   maMul cmmul 20988 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-ot 4569  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-fin 8507  df-mamu 20989 This theorem is referenced by:  mdetmul  21226
 Copyright terms: Public domain W3C validator