Theorem mamures 22565

Description: Rows in a matrix product are functions only of the corresponding rows in the left argument. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamures.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamures.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
mamures.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamures.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamures.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
mamures.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝑀)
mamures.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamures.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
mamures	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))

Proof of Theorem mamures

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamures.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝑀)
2		ssidd 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝑃)
3		resmpo 7532	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ⊆ 𝑀 ∧ 𝑃 ⊆ 𝑃) → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
5		ovres 7578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
6	5	3ad2antl2 1204	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
7	6	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) = (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘))
8	7	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)) = ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))
9	8	mpteq2dva 5203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))
10	9	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))))
11	10	mpoeq3dva 7489	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
12	4, 11	eqtrd 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
13		mamures.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
14		mamures.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16		mamures.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
17		mamures.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
18		mamures.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
19		mamures.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
20		mamures.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
21		mamures.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))
22	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	mamuval 22561	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
23	22	reseq1d 5976	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)))
24		mamures.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
25	17, 1	ssfid 9227	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
26		elmapi 8844	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
27	20, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
28		xpss1 5679	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝑀 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
29	1, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
30	27, 29	fssresd 6745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵)
31	14	fvexi 6895	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
33		xpfi 9277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
34	25, 18, 33	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
35	32, 34	elmapd 8835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝑁)) ↔ (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵))
36	30, 35	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝑁)))
37	24, 14, 15, 16, 25, 18, 19, 36, 21	mamuval 22561	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
38	12, 23, 37	3eqtr4d 2807	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454   ⊆ wss 3904  ⟨cotp 4596   ↦ cmpt 5191   × cxp 5658   ↾ cres 5662  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317   Σ_g cgsu 17499   maMul cmmul 22558

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-ot 4597  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-1o 8451  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-fin 8945  df-mamu 22559

This theorem is used by:  mdetmul  22791