Theorem mamures 22426

Description: Rows in a matrix product are functions only of the corresponding rows in the left argument. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mamures.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.g	⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
mamures.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mamures.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
mamures.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
mamures.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mamures.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
mamures.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝑀)
mamures.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
mamures.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))

Assertion

Ref	Expression
mamures	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))

Proof of Theorem mamures

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mamures.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝑀)
2		ssidd 3950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ⊆ 𝑃)
3		resmpo 7501	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ⊆ 𝑀 ∧ 𝑃 ⊆ 𝑃) → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
4	1, 2, 3	syl2anc 592	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
5		ovres 7547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
6	5	3ad2antl2 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘) = (𝑖𝑋𝑘))
7	6	eqcomd 2758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑋𝑘) = (𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘))
8	7	oveq1d 7396	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)) = ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))
9	8	mpteq2dva 5183	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))) = (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))
10	9	oveq2d 7397	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ 𝑗 ∈ 𝑃) → (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗)))))
11	10	mpoeq3dva 7458	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
12	4, 11	eqtrd 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
13		mamures.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑅 maMul ⟨𝑀, 𝑁, 𝑃⟩)
14		mamures.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
15		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
16		mamures.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
17		mamures.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Fin)
18		mamures.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
19		mamures.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Fin)
20		mamures.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)))
21		mamures.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑃)))
22	13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	mamuval 22422	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐹𝑌) = (𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
23	22	reseq1d 5953	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑖 ∈ 𝑀, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖𝑋𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))) ↾ (𝐼 × 𝑃)))
24		mamures.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑅 maMul ⟨𝐼, 𝑁, 𝑃⟩)
25	17, 1	ssfid 9198	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
26		elmapi 8815	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑀 × 𝑁)) → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
27	20, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(𝑀 × 𝑁)⟶𝐵)
28		xpss1 5655	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝑀 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
29	1, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ⊆ (𝑀 × 𝑁))
30	27, 29	fssresd 6716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵)
31	14	fvexi 6866	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
32	31	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
33		xpfi 9249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
34	25, 18, 33	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × 𝑁) ∈ Fin)
35	32, 34	elmapd 8806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝑁)) ↔ (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)):(𝐼 × 𝑁)⟶𝐵))
36	30, 35	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁)) ∈ (𝐵 ↑m (𝐼 × 𝑁)))
37	24, 14, 15, 16, 25, 18, 19, 36, 21	mamuval 22422	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌) = (𝑖 ∈ 𝐼, 𝑗 ∈ 𝑃 ↦ (𝑅 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖(𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝑘)(.r‘𝑅)(𝑘𝑌𝑗))))))
38	12, 23, 37	3eqtr4d 2797	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐹𝑌) ↾ (𝐼 × 𝑃)) = ((𝑋 ↾ (𝐼 × 𝑁))𝐺𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444   ⊆ wss 3895  ⟨cotp 4580   ↦ cmpt 5171   × cxp 5634   ↾ cres 5638  ⟶wf 6502  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381   ∈ cmpo 7383   ↑_m cmap 8792  Fincfn 8912  Basecbs 17217  ._rcmulr 17259   Σ_g cgsu 17441   maMul cmmul 22419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-ot 4581  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-1o 8421  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-fin 8916  df-mamu 22420

This theorem is referenced by:  mdetmul  22652