Theorem mptrabex 7180

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a class abstraction based on a set, the function is a set. (Contributed by AV, 16-Jul-2019.) (Revised by AV, 26-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptrabex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptrabex	⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mptrabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrabex.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	rabex 5281	. 2 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V
3	2	mptex 7178	1 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507

This theorem is referenced by:  odzval  16762  pmtrfval  19425  dmdprd  19975  dprdval  19980  psrlidm  21940  psrass23l  21945  psrass23  21947  mplsubrg  21983  mplmonmul  22014  mplbas2  22020  fusgrfis  29399  wlksnwwlknvbij  29976  clwwlkvbij  30183  psrmonmul  33694  sitgval  34476  fwddifnval  36345  diafval  41477  dicfval  41621