Theorem mptrabex 7165

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a class abstraction based on a set, the function is a set. (Contributed by AV, 16-Jul-2019.) (Revised by AV, 26-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptrabex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptrabex	⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mptrabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrabex.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	rabex 5281	. 2 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V
3	2	mptex 7163	1 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2109  {crab 3396  Vcvv 3438   ↦ cmpt 5176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  odzval  16721  pmtrfval  19347  dmdprd  19897  dprdval  19902  psrlidm  21887  psrass23l  21892  psrass23  21894  mplsubrg  21930  mplmonmul  21959  mplbas2  21965  fusgrfis  29293  wlksnwwlknvbij  29871  clwwlkvbij  30075  sitgval  34299  fwddifnval  36136  diafval  41010  dicfval  41154