Theorem mptrabex 7083

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a class abstraction based on a set, the function is a set. (Contributed by AV, 16-Jul-2019.) (Revised by AV, 26-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptrabex.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mptrabex	⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↦ 𝐵) ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mptrabex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrabex.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	rabex 5251	. 2 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ∈ V
3	2	mptex 7081	1 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑} ↦ 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2108  {crab 3067  Vcvv 3422   ↦ cmpt 5153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426

This theorem is referenced by:  odzval  16420  pmtrfval  18973  dmdprd  19516  dprdval  19521  psrlidm  21082  psrass23l  21087  psrass23  21089  mplsubrg  21121  mplmonmul  21147  mplbas2  21153  fusgrfis  27600  wlksnwwlknvbij  28174  clwwlkvbij  28378  sitgval  32199  fwddifnval  34392  diafval  38972  dicfval  39116