MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mptrabex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mptrabex 7228
Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a class abstraction based on a set, the function is a set. (Contributed by AV, 16-Jul-2019.) (Revised by AV, 26-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
mptrabex.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
mptrabex (𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝜑} ↦ 𝐵) ∈ V
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mptrabex
StepHypRef Expression
1 mptrabex.1 . . 3 𝐴 ∈ V
21rabex 5331 . 2 {𝑦𝐴𝜑} ∈ V
32mptex 7226 1 (𝑥 ∈ {𝑦𝐴𝜑} ↦ 𝐵) ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472  cmpt 5230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550
This theorem is referenced by:  odzval  16728  pmtrfval  19359  dmdprd  19909  dprdval  19914  psrlidm  21742  psrass23l  21747  psrass23  21749  mplsubrg  21783  mplmonmul  21810  mplbas2  21816  fusgrfis  28854  wlksnwwlknvbij  29429  clwwlkvbij  29633  sitgval  33629  fwddifnval  35439  diafval  40205  dicfval  40349
  Copyright terms: Public domain W3C validator