Theorem psrass23l 21987

Description: Associative identity for the ring of power series. Part of psrass23 21989 which does not require the scalar ring to be commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrass23l.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrass23l.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psrass23l.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psrass23l	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   × (𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrass23l

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrass23l.n	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
3		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		psrass.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		psrass.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		psrass23l.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐾)
9		psrass23l.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10	8, 9	eleqtrdi 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
12		psrass.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		ssrab2 4080	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ⊆ 𝐷
15		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
16	14, 15	sselid 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16	psrvscaval 21970	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐴 · 𝑋)‘𝑥) = (𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥)))
18	17	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = ((𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
19		psrring.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
20	19	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
21	1, 3, 6, 4, 13	psrelbas 21954	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
22	21, 16	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
23		psrass.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	1, 3, 6, 4, 24	psrelbas 21954	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
26		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
27	6, 26	psrbagconcl 21947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
28	27	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
29	14, 28	sselid 3981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
30	25, 29	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
31	3, 5	ringass 20250	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
32	20, 11, 22, 30, 31	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
33	18, 32	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
34	33	mpteq2dva 5242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
35	34	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
36		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
37	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
38	6	psrbaglefi 21946	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
39	38	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
40	3, 5, 20, 22, 30	ringcld 20257	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
41		ovex 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
42	6, 41	rabex2 5341	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
43	42	mptrabex 7245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V
44		funmpt 6604	. . . . . . . 8 ⊢ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
45		fvex 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
46	43, 44, 45	3pm3.2i 1340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V)
47	46	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V))
48		suppssdm 8202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ dom (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
49		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
50	49	dmmptss 6261	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
51	48, 50	sstri 3993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
52	51	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
53		suppssfifsupp 9420	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))
54	47, 39, 52, 53	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))
55	3, 36, 5, 37, 39, 10, 40, 54	gsummulc2 20314	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
56	35, 55	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
57	56	mpteq2dva 5242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
58		psrass.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
59	1, 2, 9, 4, 19, 7, 12	psrvscacl 21971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝐵)
60	1, 4, 5, 58, 6, 59, 23	psrmulfval 21963	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
61	1, 4, 58, 19, 12, 23	psrmulcl 21966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
62	1, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 61	psrvsca 21969	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐷 × {𝐴}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
63	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
64		ovexd 7466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ V)
65		fconstmpt 5747	. . . . 5 ⊢ (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
66	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴))
67	1, 4, 5, 58, 6, 12, 23	psrmulfval 21963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
68	63, 8, 64, 66, 67	offval2 7717	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝐴}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
69	62, 68	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
70	57, 60, 69	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  ^◡ccnv 5684  dom cdm 5685   “ cima 5688  Fun wfun 6555  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ∘_r cofr 7696   supp csupp 8185   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298   ·_𝑠 cvsca 17301  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  Ringcrg 20230   mPwSer cmps 21924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-psr 21929

This theorem is referenced by:  psrass23  21989  ply1ass23l  22228