MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass23l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrass23l 21840
Description: Associative identity for the ring of power series. Part of psrass23 21842 which does not require the scalar ring to be commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrass23l.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrass23l.n · = ( ·𝑠𝑆)
psrass23l.a (𝜑𝐴𝐾)
Assertion
Ref Expression
psrass23l (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   × (𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrass23l
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrass23l.n . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑆)
3 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 psrass.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 psrass.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7 psrass23l.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐾)
87adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝐴𝐾)
9 psrass23l.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘𝑅)
108, 9eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
1110adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
12 psrass.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐵)
1312ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑋𝐵)
14 ssrab2 4070 . . . . . . . . . 10 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ⊆ 𝐷
15 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
1614, 15sselid 3973 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥𝐷)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16psrvscaval 21823 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝐴 · 𝑋)‘𝑥) = (𝐴(.r𝑅)(𝑋𝑥)))
1817oveq1d 7417 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) = ((𝐴(.r𝑅)(𝑋𝑥))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))
19 psrring.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2019ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
211, 3, 6, 4, 13psrelbas 21809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2221, 16ffvelcdmd 7078 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
23 psrass.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝐵)
2423ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌𝐵)
251, 3, 6, 4, 24psrelbas 21809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
26 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} = {𝑦𝐷𝑦r𝑘}
276, 26psrbagconcl 21798 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
2827adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
2914, 28sselid 3973 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷)
3025, 29ffvelcdmd 7078 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
313, 5ringass 20150 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝐴(.r𝑅)(𝑋𝑥))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) = (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))
3220, 11, 22, 30, 31syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝐴(.r𝑅)(𝑋𝑥))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) = (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))
3318, 32eqtrd 2764 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) = (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))
3433mpteq2dva 5239 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))))
3534oveq2d 7418 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
36 eqid 2724 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3719adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
386psrbaglefi 21796 . . . . . 6 (𝑘𝐷 → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
3938adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
403, 5, 20, 22, 30ringcld 20154 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
41 ovex 7435 . . . . . . . . . 10 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
426, 41rabex2 5325 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ V
4342mptrabex 7219 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∈ V
44 funmpt 6577 . . . . . . . 8 Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))
45 fvex 6895 . . . . . . . 8 (0g𝑅) ∈ V
4643, 44, 453pm3.2i 1336 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V)
4746a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V))
48 suppssdm 8157 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))
49 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))
5049dmmptss 6231 . . . . . . . 8 dom (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ⊆ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}
5148, 50sstri 3984 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}
5251a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
53 suppssfifsupp 9375 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) finSupp (0g𝑅))
5447, 39, 52, 53syl12anc 834 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) finSupp (0g𝑅))
553, 36, 5, 37, 39, 10, 40, 54gsummulc2 20208 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))) = (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
5635, 55eqtrd 2764 . . 3 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))) = (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
5756mpteq2dva 5239 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))))))
58 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
591, 2, 9, 4, 19, 7, 12psrvscacl 21824 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝐵)
601, 4, 5, 58, 6, 59, 23psrmulfval 21816 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
611, 4, 58, 19, 12, 23psrmulcl 21819 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
621, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 61psrvsca 21822 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐷 × {𝐴}) ∘f (.r𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
6342a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
64 ovexd 7437 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))) ∈ V)
65 fconstmpt 5729 . . . . 5 (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘𝐷𝐴)
6665a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘𝐷𝐴))
671, 4, 5, 58, 6, 12, 23psrmulfval 21816 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
6863, 8, 64, 66, 67offval2 7684 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 × {𝐴}) ∘f (.r𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))))))
6962, 68eqtrd 2764 . 2 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))))))
7057, 60, 693eqtr4d 2774 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  wss 3941  {csn 4621   class class class wbr 5139  cmpt 5222   × cxp 5665  ccnv 5666  dom cdm 5667  cima 5670  Fun wfun 6528  cfv 6534  (class class class)co 7402  f cof 7662  r cofr 7663   supp csupp 8141  m cmap 8817  Fincfn 8936   finSupp cfsupp 9358  cle 11247  cmin 11442  cn 12210  0cn0 12470  Basecbs 17145  .rcmulr 17199   ·𝑠 cvsca 17202  0gc0g 17386   Σg cgsu 17387  Ringcrg 20130   mPwSer cmps 21768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-fzo 13626  df-seq 13965  df-hash 14289  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-tset 17217  df-0g 17388  df-gsum 17389  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-ghm 19131  df-cntz 19225  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-ur 20079  df-ring 20132  df-psr 21773
This theorem is referenced by:  psrass23  21842  ply1ass23l  22070
  Copyright terms: Public domain W3C validator