MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass23l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrass23l 21870
Description: Associative identity for the ring of power series. Part of psrass23 21872 which does not require the scalar ring to be commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
psrring.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘‰)
psrring.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
psrass.d ๐ท = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
psrass.t ร— = (.rโ€˜๐‘†)
psrass.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
psrass.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
psrass.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
psrass23l.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
psrass23l.n ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
psrass23l.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
Assertion
Ref Expression
psrass23l (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐ผ   ๐‘…,๐‘“   ๐‘“,๐‘‹   ๐‘“,๐‘Œ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ด(๐‘“)   ๐ต(๐‘“)   ๐ท(๐‘“)   ๐‘†(๐‘“)   ยท (๐‘“)   ร— (๐‘“)   ๐พ(๐‘“)   ๐‘‰(๐‘“)

Proof of Theorem psrass23l
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘˜ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . . . . . . 9 ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
2 psrass23l.n . . . . . . . . 9 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
3 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
4 psrass.b . . . . . . . . 9 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
5 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
6 psrass.d . . . . . . . . 9 ๐ท = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
7 psrass23l.a . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
87adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
9 psrass23l.k . . . . . . . . . . 11 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
108, 9eleqtrdi 2837 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1110adantr 480 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
12 psrass.x . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1312ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
14 ssrab2 4072 . . . . . . . . . 10 {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โІ ๐ท
15 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})
1614, 15sselid 3975 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16psrvscaval 21853 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)))
1817oveq1d 7420 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))) = ((๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘‹โ€˜๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))
19 psrring.r . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2019ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
211, 3, 6, 4, 13psrelbas 21839 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘‹:๐ทโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
2221, 16ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘‹โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
23 psrass.y . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
2423ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
251, 3, 6, 4, 24psrelbas 21839 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘Œ:๐ทโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
26 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} = {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}
276, 26psrbagconcl 21828 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})
2827adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})
2914, 28sselid 3975 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ท)
3025, 29ffvelcdmd 7081 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
313, 5ringass 20158 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘‹โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘‹โ€˜๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))
3220, 11, 22, 30, 31syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ((๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘‹โ€˜๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))
3318, 32eqtrd 2766 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))
3433mpteq2dva 5241 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))))
3534oveq2d 7421 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
36 eqid 2726 . . . . 5 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
3719adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
386psrbaglefi 21826 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โˆˆ Fin)
3938adantl 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โˆˆ Fin)
403, 5, 20, 22, 30ringcld 20162 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
41 ovex 7438 . . . . . . . . . 10 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
426, 41rabex2 5327 . . . . . . . . 9 ๐ท โˆˆ V
4342mptrabex 7222 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆˆ V
44 funmpt 6580 . . . . . . . 8 Fun (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))
45 fvex 6898 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V
4643, 44, 453pm3.2i 1336 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆง (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
4746a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆง (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V))
48 suppssdm 8162 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ dom (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))
49 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))
5049dmmptss 6234 . . . . . . . 8 dom (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โІ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}
5148, 50sstri 3986 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}
5251a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})
53 suppssfifsupp 9380 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆง (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V) โˆง ({๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
5447, 39, 52, 53syl12anc 834 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
553, 36, 5, 37, 39, 10, 40, 54gsummulc2 20216 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
5635, 55eqtrd 2766 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
5756mpteq2dva 5241 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))))))
58 psrass.t . . 3 ร— = (.rโ€˜๐‘†)
591, 2, 9, 4, 19, 7, 12psrvscacl 21854 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
601, 4, 5, 58, 6, 59, 23psrmulfval 21846 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
611, 4, 58, 19, 12, 23psrmulcl 21849 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
621, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 61psrvsca 21852 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐ท ร— {๐ด}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
6342a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ V)
64 ovexd 7440 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))) โˆˆ V)
65 fconstmpt 5731 . . . . 5 (๐ท ร— {๐ด}) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐ด)
6665a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ร— {๐ด}) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐ด))
671, 4, 5, 58, 6, 12, 23psrmulfval 21846 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
6863, 8, 64, 66, 67offval2 7687 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ร— {๐ด}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))))))
6962, 68eqtrd 2766 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))))))
7057, 60, 693eqtr4d 2776 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468   โІ wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224   ร— cxp 5667  โ—กccnv 5668  dom cdm 5669   โ€œ cima 5672  Fun wfun 6531  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7665   โˆ˜r cofr 7666   supp csupp 8146   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  Basecbs 17153  .rcmulr 17207   ยท๐‘  cvsca 17210  0gc0g 17394   ฮฃg cgsu 17395  Ringcrg 20138   mPwSer cmps 21798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-tset 17225  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-psr 21803
This theorem is referenced by:  psrass23  21872  ply1ass23l  22100
  Copyright terms: Public domain W3C validator