Theorem psrass23l 22081

Description: Associative identity for the ring of power series. Part of psrass23 22083 which does not require the scalar ring to be commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrass23l.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrass23l.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psrass23l.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psrass23l	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   × (𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrass23l

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrass23l.n	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
3		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		psrass.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		psrass.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		psrass23l.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
8	7	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐾)
9		psrass23l.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10	8, 9	eleqtrdi 2879	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
11	10	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
12		psrass.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	12	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		ssrab2 4042	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ⊆ 𝐷
15		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
16	14, 15	sselid 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16	psrvscaval 22065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐴 · 𝑋)‘𝑥) = (𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥)))
18	17	oveq1d 7423	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = ((𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
19		psrring.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
20	19	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
21	1, 3, 6, 4, 13	psrelbas 22050	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
22	21, 16	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
23		psrass.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	23	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	1, 3, 6, 4, 24	psrelbas 22050	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
26		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
27	6, 26	psrbagconcl 22042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
28	27	adantll 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
29	14, 28	sselid 3943	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
30	25, 29	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
31	3, 5	ringass 20331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
32	20, 11, 22, 30, 31	syl13anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
33	18, 32	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
34	33	mpteq2dva 5205	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
35	34	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
36		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
37	19	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
38	6	psrbaglefi 22041	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
39	38	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
40	3, 5, 20, 22, 30	ringcld 20338	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
41		ovex 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
42	6, 41	rabex2 5309	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
43	42	mptrabex 7221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V
44		funmpt 6572	. . . . . . . 8 ⊢ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
45		fvex 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
46	43, 44, 45	3pm3.2i 1356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V)
47	46	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V))
48		suppssdm 8169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ dom (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
49		eqid 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
50	49	dmmptss 6240	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
51	48, 50	sstri 3954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
52	51	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
53		suppssfifsupp 9336	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))
54	47, 39, 52, 53	syl12anc 849	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))
55	3, 36, 5, 37, 39, 10, 40, 54	gsummulc2 20394	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
56	35, 55	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
57	56	mpteq2dva 5205	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
58		psrass.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
59	1, 2, 9, 4, 19, 7, 12	psrvscacl 22066	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝐵)
60	1, 4, 5, 58, 6, 59, 23	psrmulfval 22058	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
61	1, 4, 58, 19, 12, 23	psrmulcl 22061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
62	1, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 61	psrvsca 22064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐷 × {𝐴}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
63	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
64		ovexd 7443	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ V)
65		fconstmpt 5721	. . . . 5 ⊢ (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
66	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴))
67	1, 4, 5, 58, 6, 12, 23	psrmulfval 22058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
68	63, 8, 64, 66, 67	offval2 7692	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝐴}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
69	62, 68	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
70	57, 60, 69	3eqtr4d 2814	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3423  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   “ cima 5662  Fun wfun 6528  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ∘_f cof 7670   ∘_r cofr 7671   supp csupp 8152   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9317   ≤ cle 11240   − cmin 11437  ℕcn 12229  ℕ₀cn0 12500  Basecbs 17265  ._rcmulr 17307   ·_𝑠 cvsca 17310  0_gc0g 17488   Σ_g cgsu 17489  Ringcrg 20311   mPwSer cmps 22019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-tset 17325  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-mhm 18837  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-ghm 19280  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-ur 20260  df-ring 20313  df-psr 22024

This theorem is referenced by:  psrass23  22083  ply1ass23l  22351