MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass23l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrass23l 20799
Description: Associative identity for the ring of power series. Part of psrass23 20801 which does not require the scalar ring to be commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrass23l.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrass23l.n · = ( ·𝑠𝑆)
psrass23l.a (𝜑𝐴𝐾)
Assertion
Ref Expression
psrass23l (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   × (𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrass23l
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrass23l.n . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑆)
3 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 psrass.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑆)
5 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
6 psrass.d . . . . . . . . 9 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7 psrass23l.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐾)
87adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝐴𝐾)
9 psrass23l.k . . . . . . . . . . 11 𝐾 = (Base‘𝑅)
108, 9eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
1110adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
12 psrass.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐵)
1312ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑋𝐵)
14 ssrab2 3979 . . . . . . . . . 10 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ⊆ 𝐷
15 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
1614, 15sseldi 3885 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥𝐷)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16psrvscaval 20783 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝐴 · 𝑋)‘𝑥) = (𝐴(.r𝑅)(𝑋𝑥)))
1817oveq1d 7197 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) = ((𝐴(.r𝑅)(𝑋𝑥))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))
19 psrring.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2019ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
211, 3, 6, 4, 13psrelbas 20770 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2221, 16ffvelrnd 6874 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
23 psrass.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌𝐵)
2423ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌𝐵)
251, 3, 6, 4, 24psrelbas 20770 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
26 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘𝐷)
27 eqid 2739 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} = {𝑦𝐷𝑦r𝑘}
286, 27psrbagconcl 20759 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
2926, 15, 28syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
3014, 29sseldi 3885 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷)
3125, 30ffvelrnd 6874 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
323, 5ringass 19448 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝐴(.r𝑅)(𝑋𝑥))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) = (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))
3320, 11, 22, 31, 32syl13anc 1373 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝐴(.r𝑅)(𝑋𝑥))(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) = (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))
3418, 33eqtrd 2774 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) = (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))
3534mpteq2dva 5135 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))))
3635oveq2d 7198 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
37 eqid 2739 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
38 eqid 2739 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3919adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
406psrbaglefi 20757 . . . . . 6 (𝑘𝐷 → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
4140adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
423, 5ringcl 19445 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
4320, 22, 31, 42syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
44 ovex 7215 . . . . . . . . . 10 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
456, 44rabex2 5212 . . . . . . . . 9 𝐷 ∈ V
4645mptrabex 7010 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∈ V
47 funmpt 6387 . . . . . . . 8 Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))
48 fvex 6699 . . . . . . . 8 (0g𝑅) ∈ V
4946, 47, 483pm3.2i 1340 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V)
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V))
51 suppssdm 7884 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))
52 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))
5352dmmptss 6083 . . . . . . . 8 dom (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ⊆ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}
5451, 53sstri 3896 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}
5554a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
56 suppssfifsupp 8933 . . . . . 6 ((((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) finSupp (0g𝑅))
5750, 41, 55, 56syl12anc 836 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) finSupp (0g𝑅))
583, 37, 38, 5, 39, 41, 10, 43, 57gsummulc2 19491 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))) = (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
5936, 58eqtrd 2774 . . 3 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))) = (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
6059mpteq2dva 5135 . 2 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))))))
61 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
621, 2, 9, 4, 19, 7, 12psrvscacl 20784 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝐵)
631, 4, 5, 61, 6, 62, 23psrmulfval 20776 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
641, 4, 61, 19, 12, 23psrmulcl 20779 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
651, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 64psrvsca 20782 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐷 × {𝐴}) ∘f (.r𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
6645a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ V)
67 ovexd 7217 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))) ∈ V)
68 fconstmpt 5595 . . . . 5 (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘𝐷𝐴)
6968a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘𝐷𝐴))
701, 4, 5, 61, 6, 12, 23psrmulfval 20776 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
7166, 8, 67, 69, 70offval2 7456 . . 3 (𝜑 → ((𝐷 × {𝐴}) ∘f (.r𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))))))
7265, 71eqtrd 2774 . 2 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))))))
7360, 63, 723eqtr4d 2784 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  {crab 3058  Vcvv 3400  wss 3853  {csn 4526   class class class wbr 5040  cmpt 5120   × cxp 5533  ccnv 5534  dom cdm 5535  cima 5538  Fun wfun 6343  cfv 6349  (class class class)co 7182  f cof 7435  r cofr 7436   supp csupp 7868  m cmap 8449  Fincfn 8567   finSupp cfsupp 8918  cle 10766  cmin 10960  cn 11728  0cn0 11988  Basecbs 16598  +gcplusg 16680  .rcmulr 16681   ·𝑠 cvsca 16684  0gc0g 16828   Σg cgsu 16829  Ringcrg 19428   mPwSer cmps 20729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-ofr 7438  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-supp 7869  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-er 8332  df-map 8451  df-pm 8452  df-ixp 8520  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-fsupp 8919  df-oi 9059  df-card 9453  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-seq 13473  df-hash 13795  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-sca 16696  df-vsca 16697  df-tset 16699  df-0g 16830  df-gsum 16831  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-mhm 18084  df-grp 18234  df-minusg 18235  df-ghm 18486  df-cntz 18577  df-cmn 19038  df-abl 19039  df-mgp 19371  df-ur 19383  df-ring 19430  df-psr 20734
This theorem is referenced by:  psrass23  20801  ply1ass23l  45304
  Copyright terms: Public domain W3C validator