Theorem psrass23l 21945

Description: Associative identity for the ring of power series. Part of psrass23 21947 which does not require the scalar ring to be commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrass23l.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrass23l.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psrass23l.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psrass23l	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   × (𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrass23l

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrass23l.n	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
3		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		psrass.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		psrass.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		psrass23l.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐾)
9		psrass23l.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10	8, 9	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
12		psrass.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	12	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		ssrab2 4020	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ⊆ 𝐷
15		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
16	14, 15	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16	psrvscaval 21929	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐴 · 𝑋)‘𝑥) = (𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥)))
18	17	oveq1d 7382	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = ((𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
19		psrring.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
20	19	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
21	1, 3, 6, 4, 13	psrelbas 21914	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
22	21, 16	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
23		psrass.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	23	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	1, 3, 6, 4, 24	psrelbas 21914	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
26		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
27	6, 26	psrbagconcl 21907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
28	27	adantll 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
29	14, 28	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
30	25, 29	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
31	3, 5	ringass 20234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
32	20, 11, 22, 30, 31	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
33	18, 32	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
34	33	mpteq2dva 5178	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
35	34	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
36		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
37	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
38	6	psrbaglefi 21906	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
39	38	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
40	3, 5, 20, 22, 30	ringcld 20241	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
41		ovex 7400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
42	6, 41	rabex2 5282	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
43	42	mptrabex 7180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V
44		funmpt 6536	. . . . . . . 8 ⊢ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
45		fvex 6853	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
46	43, 44, 45	3pm3.2i 1341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V)
47	46	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V))
48		suppssdm 8127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ dom (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
49		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
50	49	dmmptss 6205	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
51	48, 50	sstri 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
52	51	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
53		suppssfifsupp 9293	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))
54	47, 39, 52, 53	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))
55	3, 36, 5, 37, 39, 10, 40, 54	gsummulc2 20296	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
56	35, 55	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
57	56	mpteq2dva 5178	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
58		psrass.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
59	1, 2, 9, 4, 19, 7, 12	psrvscacl 21930	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝐵)
60	1, 4, 5, 58, 6, 59, 23	psrmulfval 21922	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
61	1, 4, 58, 19, 12, 23	psrmulcl 21925	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
62	1, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 61	psrvsca 21928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐷 × {𝐴}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
63	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
64		ovexd 7402	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ V)
65		fconstmpt 5693	. . . . 5 ⊢ (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
66	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴))
67	1, 4, 5, 58, 6, 12, 23	psrmulfval 21922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
68	63, 8, 64, 66, 67	offval2 7651	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝐴}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
69	62, 68	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
70	57, 60, 69	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3389  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631   “ cima 5634  Fun wfun 6492  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629   ∘_r cofr 7630   supp csupp 8110   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893   finSupp cfsupp 9274   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Ringcrg 20214   mPwSer cmps 21884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-hash 14293  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-tset 17239  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mhm 18751  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-ghm 19188  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-psr 21889

This theorem is referenced by:  psrass23  21947  ply1ass23l  22190