Theorem psrass23l 22267

Description: Associative identity for the ring of power series. Part of psrass23 22269 which does not require the scalar ring to be commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psrass.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t	⊢ × = (.r‘𝑆)
psrass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
psrass.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
psrass23l.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrass23l.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
psrass23l.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)

Assertion

Ref	Expression
psrass23l	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   × (𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrass23l

Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrass23l.n	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)
3		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		psrass.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
6		psrass.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
7		psrass23l.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
8	7	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝐾)
9		psrass23l.k	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
10	8, 9	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
11	10	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
12		psrass.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	12	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14		ssrab2 4028	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ⊆ 𝐷
15		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
16	14, 15	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑥 ∈ 𝐷)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16	psrvscaval 22251	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐴 · 𝑋)‘𝑥) = (𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥)))
18	17	oveq1d 7433	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = ((𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
19		psrring.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
20	19	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
21	1, 3, 6, 4, 13	psrelbas 22236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
22	21, 16	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
23		psrass.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
24	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌 ∈ 𝐵)
25	1, 3, 6, 4, 24	psrelbas 22236	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
26		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
27	6, 26	psrbagconcl 22228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐷 ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
28	27	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
29	14, 28	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑘 ∘f − 𝑥) ∈ 𝐷)
30	25, 29	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
31	3, 5	ringass 20473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
32	20, 11, 22, 30, 31	syl13anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝐴(.r‘𝑅)(𝑋‘𝑥))(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
33	18, 32	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) = (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))
34	33	mpteq2dva 5198	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))
35	34	oveq2d 7434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
36		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
37	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
38	6	psrbaglefi 22227	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐷 → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
39	38	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin)
40	3, 5, 20, 22, 30	ringcld 20477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}) → ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
41		ovex 7451	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
42	6, 41	rabex2 5302	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 ∈ V
43	42	mptrabex 7229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V
44		funmpt 6576	. . . . . . . 8 ⊢ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
45		fvex 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
46	43, 44, 45	3pm3.2i 1358	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V)
47	46	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V))
48		suppssdm 8187	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ dom (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
49		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))
50	49	dmmptss 6241	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
51	48, 50	sstri 3940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘}
52	51	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})
53		suppssfifsupp 9365	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘})) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))
54	47, 39, 52, 53	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))) finSupp (0g‘𝑅))
55	3, 36, 5, 37, 39, 10, 40, 54	gsummulc2 20539	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (𝐴(.r‘𝑅)((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
56	35, 55	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) = (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
57	56	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
58		psrass.t	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑆)
59	1, 2, 9, 4, 19, 7, 12	psrvscacl 22252	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝐵)
60	1, 4, 5, 58, 6, 59, 23	psrmulfval 22244	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ (((𝐴 · 𝑋)‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
61	1, 4, 58, 19, 12, 23	psrmulcl 22247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
62	1, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 61	psrvsca 22250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐷 × {𝐴}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
63	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
64		ovexd 7453	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))) ∈ V)
65		fconstmpt 5713	. . . . 5 ⊢ (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
66	65	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴))
67	1, 4, 5, 58, 6, 12, 23	psrmulfval 22244	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥)))))))
68	63, 8, 64, 66, 67	offval2 7711	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 × {𝐴}) ∘f (.r‘𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
69	62, 68	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ (𝐴(.r‘𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝑘} ↦ ((𝑋‘𝑥)(.r‘𝑅)(𝑌‘(𝑘 ∘f − 𝑥))))))))
70	57, 60, 69	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651   “ cima 5654  Fun wfun 6531  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∘_f cof 7689   ∘_r cofr 7690   supp csupp 8170   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8966   finSupp cfsupp 9346   ≤ cle 11337   − cmin 11534  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422   ·_𝑠 cvsca 17425  0_gc0g 17603   Σ_g cgsu 17604  Ringcrg 20452   mPwSer cmps 22205

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-hash 14468  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-tset 17440  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-ghm 19421  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454  df-psr 22210

This theorem is used by:  psrass23  22269  ply1ass23l  22537