MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass23l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrass23l 21916
Description: Associative identity for the ring of power series. Part of psrass23 21918 which does not require the scalar ring to be commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 14-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
psrring.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘‰)
psrring.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
psrass.d ๐ท = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
psrass.t ร— = (.rโ€˜๐‘†)
psrass.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
psrass.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
psrass.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
psrass23l.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
psrass23l.n ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
psrass23l.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
Assertion
Ref Expression
psrass23l (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐ผ   ๐‘…,๐‘“   ๐‘“,๐‘‹   ๐‘“,๐‘Œ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ด(๐‘“)   ๐ต(๐‘“)   ๐ท(๐‘“)   ๐‘†(๐‘“)   ยท (๐‘“)   ร— (๐‘“)   ๐พ(๐‘“)   ๐‘‰(๐‘“)

Proof of Theorem psrass23l
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘˜ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . . . . . . 9 ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
2 psrass23l.n . . . . . . . . 9 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
3 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
4 psrass.b . . . . . . . . 9 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
5 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
6 psrass.d . . . . . . . . 9 ๐ท = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
7 psrass23l.a . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
87adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
9 psrass23l.k . . . . . . . . . . 11 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
108, 9eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1110adantr 479 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
12 psrass.x . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
1312ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
14 ssrab2 4069 . . . . . . . . . 10 {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โІ ๐ท
15 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})
1614, 15sselid 3970 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16psrvscaval 21899 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)))
1817oveq1d 7431 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))) = ((๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘‹โ€˜๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))
19 psrring.r . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2019ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
211, 3, 6, 4, 13psrelbas 21883 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘‹:๐ทโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
2221, 16ffvelcdmd 7090 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘‹โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
23 psrass.y . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
2423ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
251, 3, 6, 4, 24psrelbas 21883 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘Œ:๐ทโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
26 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} = {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}
276, 26psrbagconcl 21871 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})
2827adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})
2914, 28sselid 3970 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ท)
3025, 29ffvelcdmd 7090 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
313, 5ringass 20197 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘‹โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘‹โ€˜๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))
3220, 11, 22, 30, 31syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ((๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘‹โ€˜๐‘ฅ))(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))
3318, 32eqtrd 2765 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))
3433mpteq2dva 5243 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))))
3534oveq2d 7432 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
36 eqid 2725 . . . . 5 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
3719adantr 479 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
386psrbaglefi 21869 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โˆˆ Fin)
3938adantl 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โˆˆ Fin)
403, 5, 20, 22, 30ringcld 20203 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
41 ovex 7449 . . . . . . . . . 10 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
426, 41rabex2 5331 . . . . . . . . 9 ๐ท โˆˆ V
4342mptrabex 7233 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆˆ V
44 funmpt 6586 . . . . . . . 8 Fun (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))
45 fvex 6905 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V
4643, 44, 453pm3.2i 1336 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆง (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
4746a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆง (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V))
48 suppssdm 8180 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ dom (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))
49 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))
5049dmmptss 6240 . . . . . . . 8 dom (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โІ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}
5148, 50sstri 3982 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}
5251a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})
53 suppssfifsupp 9403 . . . . . 6 ((((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆง (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V) โˆง ({๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
5447, 39, 52, 53syl12anc 835 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
553, 36, 5, 37, 39, 10, 40, 54gsummulc2 20257 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
5635, 55eqtrd 2765 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
5756mpteq2dva 5243 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))))))
58 psrass.t . . 3 ร— = (.rโ€˜๐‘†)
591, 2, 9, 4, 19, 7, 12psrvscacl 21900 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
601, 4, 5, 58, 6, 59, 23psrmulfval 21892 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (((๐ด ยท ๐‘‹)โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
611, 4, 58, 19, 12, 23psrmulcl 21895 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
621, 2, 9, 4, 5, 6, 7, 61psrvsca 21898 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐ท ร— {๐ด}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
6342a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ V)
64 ovexd 7451 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))) โˆˆ V)
65 fconstmpt 5734 . . . . 5 (๐ท ร— {๐ด}) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐ด)
6665a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ร— {๐ด}) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐ด))
671, 4, 5, 58, 6, 12, 23psrmulfval 21892 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
6863, 8, 64, 66, 67offval2 7702 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ร— {๐ด}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))))))
6962, 68eqtrd 2765 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))))))
7057, 60, 693eqtr4d 2775 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   โІ wss 3939  {csn 4624   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226   ร— cxp 5670  โ—กccnv 5671  dom cdm 5672   โ€œ cima 5675  Fun wfun 6537  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   โˆ˜f cof 7680   โˆ˜r cofr 7681   supp csupp 8163   โ†‘m cmap 8843  Fincfn 8962   finSupp cfsupp 9385   โ‰ค cle 11279   โˆ’ cmin 11474  โ„•cn 12242  โ„•0cn0 12502  Basecbs 17179  .rcmulr 17233   ยท๐‘  cvsca 17236  0gc0g 17420   ฮฃg cgsu 17421  Ringcrg 20177   mPwSer cmps 21841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-tset 17251  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-psr 21846
This theorem is referenced by:  psrass23  21918  ply1ass23l  22154
  Copyright terms: Public domain W3C validator