Theorem mplsubrg 22014

Description: The set of polynomials is closed under multiplication, i.e. it is a subring of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mpllss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mplsubrg	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem mplsubrg

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplsubg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		mplsubg.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mpllss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringgrp 20221	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8	1, 2, 3, 4, 7	mplsubg 22011	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
9	1, 4, 5	psrring 21979	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
12	10, 11	ringidcl 20245	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
14		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	1, 4, 5, 14, 15, 16, 11	psr1 21980	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
18		ovex 7457	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
19	18	mptrabex 7242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V
20		funmpt 6597	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
21		fvex 6914	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
22	19, 20, 21	3pm3.2i 1336	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V))
24		snfi 9081	. . . . . 6 ⊢ {(𝐼 × {0})} ∈ Fin
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝐼 × {0})} ∈ Fin)
26		eldifsni 4799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})}) → 𝑘 ≠ (𝐼 × {0}))
27	26	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑘 ≠ (𝐼 × {0}))
28		ifnefalse 4545	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ≠ (𝐼 × {0}) → if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})})) → if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
30	18	rabex 5339	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
32	29, 31	suppss2 8215	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝐼 × {0})})
33		suppssfifsupp 9423	. . . . 5 ⊢ ((((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({(𝐼 × {0})} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝐼 × {0})})) → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
34	23, 25, 32, 33	syl12anc 835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
35	17, 34	eqbrtrd 5175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) finSupp (0g‘𝑅))
36	2, 1, 10, 15, 3	mplelbas 22000	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) finSupp (0g‘𝑅)))
37	13, 35, 36	sylanbrc 581	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝑈)
38	4	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
39	5	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
40		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ( ∘f + “ ((𝑥 supp (0g‘𝑅)) × (𝑦 supp (0g‘𝑅)))) = ( ∘f + “ ((𝑥 supp (0g‘𝑅)) × (𝑦 supp (0g‘𝑅))))
41		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
42		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
43		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
44	1, 2, 3, 38, 39, 14, 15, 40, 41, 42, 43	mplsubrglem 22013	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)
45	44	ralrimivva 3191	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)
46		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
47	10, 11, 46	issubrg2 20576	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)))
48	9, 47	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)))
49	8, 37, 45, 48	mpbir3and 1339	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3462   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  ifcif 4533  {csn 4633   class class class wbr 5153   ↦ cmpt 5236   × cxp 5680  ^◡ccnv 5681   “ cima 5685  Fun wfun 6548  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7688   supp csupp 8174   ↑_m cmap 8855  Fincfn 8974   finSupp cfsupp 9405  0cc0 11158   + caddc 11161  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17213  ._rcmulr 17267  0_gc0g 17454  Grpcgrp 18928  SubGrpcsubg 19114  1_rcur 20164  Ringcrg 20216  SubRingcsubrg 20551   mPwSer cmps 21901   mPoly cmpl 21903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-hash 14348  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-mulg 19062  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-psr 21906  df-mpl 21908

This theorem is referenced by:  mpl1  22021  mplring  22028  mplcrng  22030  mplassa  22031  subrgmpl  22039  mplbas2  22049  subrgasclcl  22080  mplind  22083  evlseu  22098  ply1subrg  22187