Theorem mplsubrg 21209

Description: The set of polynomials is closed under multiplication, i.e. it is a subring of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mpllss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mplsubrg	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem mplsubrg

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplsubg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		mplsubg.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mpllss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringgrp 19786	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8	1, 2, 3, 4, 7	mplsubg 21206	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
9	1, 4, 5	psrring 21178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
12	10, 11	ringidcl 19805	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
14		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	1, 4, 5, 14, 15, 16, 11	psr1 21179	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
18		ovex 7304	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
19	18	mptrabex 7098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V
20		funmpt 6470	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
21		fvex 6784	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
22	19, 20, 21	3pm3.2i 1338	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V))
24		snfi 8817	. . . . . 6 ⊢ {(𝐼 × {0})} ∈ Fin
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝐼 × {0})} ∈ Fin)
26		eldifsni 4729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})}) → 𝑘 ≠ (𝐼 × {0}))
27	26	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑘 ≠ (𝐼 × {0}))
28		ifnefalse 4477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ≠ (𝐼 × {0}) → if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})})) → if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
30	18	rabex 5260	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
32	29, 31	suppss2 8007	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝐼 × {0})})
33		suppssfifsupp 9121	. . . . 5 ⊢ ((((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({(𝐼 × {0})} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝐼 × {0})})) → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
34	23, 25, 32, 33	syl12anc 834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
35	17, 34	eqbrtrd 5101	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) finSupp (0g‘𝑅))
36	2, 1, 10, 15, 3	mplelbas 21197	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) finSupp (0g‘𝑅)))
37	13, 35, 36	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝑈)
38	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
39	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
40		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ∘f + “ ((𝑥 supp (0g‘𝑅)) × (𝑦 supp (0g‘𝑅)))) = ( ∘f + “ ((𝑥 supp (0g‘𝑅)) × (𝑦 supp (0g‘𝑅))))
41		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
42		simprl 768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
43		simprr 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
44	1, 2, 3, 38, 39, 14, 15, 40, 41, 42, 43	mplsubrglem 21208	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)
45	44	ralrimivva 3117	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)
46		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
47	10, 11, 46	issubrg2 20042	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)))
48	9, 47	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)))
49	8, 37, 45, 48	mpbir3and 1341	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∀wral 3066  {crab 3070  Vcvv 3431   ∖ cdif 3889   ⊆ wss 3892  ifcif 4465  {csn 4567   class class class wbr 5079   ↦ cmpt 5162   × cxp 5588  ^◡ccnv 5589   “ cima 5593  Fun wfun 6426  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271   ∘_f cof 7525   supp csupp 7968   ↑_m cmap 8598  Fincfn 8716   finSupp cfsupp 9106  0cc0 10872   + caddc 10875  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16910  ._rcmulr 16961  0_gc0g 17148  Grpcgrp 18575  SubGrpcsubg 18747  1_rcur 19735  Ringcrg 19781  SubRingcsubrg 20018   mPwSer cmps 21105   mPoly cmpl 21107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-ofr 7528  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-seq 13720  df-hash 14043  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-tset 16979  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-mhm 18428  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-mulg 18699  df-subg 18750  df-ghm 18830  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-subrg 20020  df-psr 21110  df-mpl 21112

This theorem is referenced by:  mpl1  21214  mplring  21222  mplcrng  21224  mplassa  21225  subrgmpl  21231  mplbas2  21241  subrgasclcl  21273  mplind  21276  evlseu  21291  ply1subrg  21366