Theorem mplsubrg 22048

Description: The set of polynomials is closed under multiplication, i.e. it is a subring of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mpllss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mplsubrg	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem mplsubrg

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplsubg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		mplsubg.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mpllss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringgrp 20265	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8	1, 2, 3, 4, 7	mplsubg 22045	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
9	1, 4, 5	psrring 22013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
12	10, 11	ringidcl 20289	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
14		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	1, 4, 5, 14, 15, 16, 11	psr1 22014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
18		ovex 7481	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
19	18	mptrabex 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V
20		funmpt 6616	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
21		fvex 6933	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
22	19, 20, 21	3pm3.2i 1339	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V))
24		snfi 9109	. . . . . 6 ⊢ {(𝐼 × {0})} ∈ Fin
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝐼 × {0})} ∈ Fin)
26		eldifsni 4815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})}) → 𝑘 ≠ (𝐼 × {0}))
27	26	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑘 ≠ (𝐼 × {0}))
28		ifnefalse 4560	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ≠ (𝐼 × {0}) → if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})})) → if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
30	18	rabex 5357	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
32	29, 31	suppss2 8241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝐼 × {0})})
33		suppssfifsupp 9449	. . . . 5 ⊢ ((((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({(𝐼 × {0})} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝐼 × {0})})) → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
34	23, 25, 32, 33	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
35	17, 34	eqbrtrd 5188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) finSupp (0g‘𝑅))
36	2, 1, 10, 15, 3	mplelbas 22034	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) finSupp (0g‘𝑅)))
37	13, 35, 36	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝑈)
38	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
39	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
40		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ∘f + “ ((𝑥 supp (0g‘𝑅)) × (𝑦 supp (0g‘𝑅)))) = ( ∘f + “ ((𝑥 supp (0g‘𝑅)) × (𝑦 supp (0g‘𝑅))))
41		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
42		simprl 770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
43		simprr 772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
44	1, 2, 3, 38, 39, 14, 15, 40, 41, 42, 43	mplsubrglem 22047	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)
45	44	ralrimivva 3208	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)
46		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
47	10, 11, 46	issubrg2 20620	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)))
48	9, 47	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)))
49	8, 37, 45, 48	mpbir3and 1342	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ifcif 4548  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  Fun wfun 6567  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712   supp csupp 8201   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003   finSupp cfsupp 9431  0cc0 11184   + caddc 11187  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  SubGrpcsubg 19160  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  SubRingcsubrg 20595   mPwSer cmps 21947   mPoly cmpl 21949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-psr 21952  df-mpl 21954

This theorem is referenced by:  mpl1  22055  mplring  22062  mplcrng  22064  mplassa  22065  subrgmpl  22073  mplbas2  22083  subrgasclcl  22114  mplind  22117  evlseu  22130  ply1subrg  22220