Theorem mplsubrg 22367

Description: The set of polynomials is closed under multiplication, i.e. it is a subring of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mpllss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mplsubrg	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem mplsubrg

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplsubg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		mplsubg.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mpllss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringgrp 20515	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8	1, 2, 3, 4, 7	mplsubg 22364	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
9	1, 4, 5	psrring 22332	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
12	10, 11	ringidcl 20545	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
13	9, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
14		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	1, 4, 5, 14, 15, 16, 11	psr1 22333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
18		ovex 7484	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
19	18	mptrabex 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V
20		funmpt 6606	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
21		fvex 6929	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
22	19, 20, 21	3pm3.2i 1358	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V))
24		snfi 9109	. . . . . 6 ⊢ {(𝐼 × {0})} ∈ Fin
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝐼 × {0})} ∈ Fin)
26		eldifsni 4755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})}) → 𝑘 ≠ (𝐼 × {0}))
27	26	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑘 ≠ (𝐼 × {0}))
28		ifnefalse 4497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ≠ (𝐼 × {0}) → if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	27, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})})) → if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
30	18	rabex 5307	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
32	29, 31	suppss2 8255	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝐼 × {0})})
33		suppssfifsupp 9409	. . . . 5 ⊢ ((((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({(𝐼 × {0})} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝐼 × {0})})) → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
34	23, 25, 32, 33	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
35	17, 34	eqbrtrd 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) finSupp (0g‘𝑅))
36	2, 1, 10, 15, 3	mplelbas 22353	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) finSupp (0g‘𝑅)))
37	13, 35, 36	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝑈)
38	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
39	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
40		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ∘f + “ ((𝑥 supp (0g‘𝑅)) × (𝑦 supp (0g‘𝑅)))) = ( ∘f + “ ((𝑥 supp (0g‘𝑅)) × (𝑦 supp (0g‘𝑅))))
41		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
42		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
43		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
44	1, 2, 3, 38, 39, 14, 15, 40, 41, 42, 43	mplsubrglem 22366	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)
45	44	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)
46		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
47	10, 11, 46	issubrg2 20895	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)))
48	9, 47	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)))
49	8, 37, 45, 48	mpbir3and 1361	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048  ifcif 4485  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192   × cxp 5656  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661  Fun wfun 6560  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ∘_f cof 7723   supp csupp 8214   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011   finSupp cfsupp 9391  0cc0 11239   + caddc 11242  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660  Grpcgrp 19194  SubGrpcsubg 19380  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  SubRingcsubrg 20872   mPwSer cmps 22267   mPoly cmpl 22269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-hash 14516  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-mhm 19028  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-mulg 19328  df-subg 19383  df-ghm 19478  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-subrng 20849  df-subrg 20873  df-psr 22272  df-mpl 22274

This theorem is used by:  mpl1  22374  mplring  22381  mplcrng  22383  mplassa  22384  subrgmpl  22395  mplbas2  22406  subrgasclcl  22431  mplind  22434  evlseu  22447  ply1subrg  22570  mplnzr  34256  mplvrpmrhm  34290  mplmonprod  34297