MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubrg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mplsubrg 21555
Description: The set of polynomials is closed under multiplication, i.e. it is a subring of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mplsubg.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mpllss.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
mplsubrg (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Proof of Theorem mplsubrg
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mplsubg.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mplsubg.u . . 3 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 mplsubg.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 mpllss.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6 ringgrp 20054 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
81, 2, 3, 4, 7mplsubg 21552 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†))
91, 4, 5psrring 21522 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
10 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
11 eqid 2732 . . . . 5 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
1210, 11ringidcl 20076 . . . 4 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
139, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
14 eqid 2732 . . . . 5 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
15 eqid 2732 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
16 eqid 2732 . . . . 5 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
171, 4, 5, 14, 15, 16, 11psr1 21523 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) = (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))
18 ovex 7438 . . . . . . . 8 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1918mptrabex 7223 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ V
20 funmpt 6583 . . . . . . 7 Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))
21 fvex 6901 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
2219, 20, 213pm3.2i 1339 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
2322a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V))
24 snfi 9040 . . . . . 6 {(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin
2524a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin)
26 eldifsni 4792 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})}) β†’ π‘˜ β‰  (𝐼 Γ— {0}))
2726adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ π‘˜ β‰  (𝐼 Γ— {0}))
28 ifnefalse 4539 . . . . . . 7 (π‘˜ β‰  (𝐼 Γ— {0}) β†’ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
3018rabex 5331 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
3130a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
3229, 31suppss2 8181 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {(𝐼 Γ— {0})})
33 suppssfifsupp 9374 . . . . 5 ((((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V) ∧ ({(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
3423, 25, 32, 33syl12anc 835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
3517, 34eqbrtrd 5169 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) finSupp (0gβ€˜π‘…))
362, 1, 10, 15, 3mplelbas 21541 . . 3 ((1rβ€˜π‘†) ∈ π‘ˆ ↔ ((1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) finSupp (0gβ€˜π‘…)))
3713, 35, 36sylanbrc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ π‘ˆ)
384adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
395adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
40 eqid 2732 . . . 4 ( ∘f + β€œ ((π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) Γ— (𝑦 supp (0gβ€˜π‘…)))) = ( ∘f + β€œ ((π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) Γ— (𝑦 supp (0gβ€˜π‘…))))
41 eqid 2732 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
42 simprl 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
43 simprr 771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
441, 2, 3, 38, 39, 14, 15, 40, 41, 42, 43mplsubrglem 21554 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ π‘ˆ)
4544ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ π‘ˆ)
46 eqid 2732 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
4710, 11, 46issubrg2 20375 . . 3 (𝑆 ∈ Ring β†’ (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ↔ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ π‘ˆ)))
489, 47syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ↔ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ π‘ˆ)))
498, 37, 45, 48mpbir3and 1342 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  Fun wfun 6534  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664   supp csupp 8142   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  0cc0 11106   + caddc 11109  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  SubGrpcsubg 18994  1rcur 19998  Ringcrg 20049  SubRingcsubrg 20351   mPwSer cmps 21448   mPoly cmpl 21450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-subrg 20353  df-psr 21453  df-mpl 21455
This theorem is referenced by:  mpl1  21562  mplring  21569  mplcrng  21571  mplassa  21572  subrgmpl  21578  mplbas2  21588  subrgasclcl  21619  mplind  21622  evlseu  21637  ply1subrg  21712
  Copyright terms: Public domain W3C validator