Theorem mplsubrg 21979

Description: The set of polynomials is closed under multiplication, i.e. it is a subring of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsubg.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
mplsubg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
mpllss.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
mplsubrg	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

Proof of Theorem mplsubrg

Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplsubg.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsubg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		mplsubg.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
4		mplsubg.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		mpllss.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		ringgrp 20210	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8	1, 2, 3, 4, 7	mplsubg 21976	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆))
9	1, 4, 5	psrring 21944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
10		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
11		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
12	10, 11	ringidcl 20237	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
14		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
15		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
17	1, 4, 5, 14, 15, 16, 11	psr1 21945	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) = (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))))
18		ovex 7389	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
19	18	mptrabex 7169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V
20		funmpt 6523	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)))
21		fvex 6840	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
22	19, 20, 21	3pm3.2i 1346	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V)
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V))
24		snfi 8980	. . . . . 6 ⊢ {(𝐼 × {0})} ∈ Fin
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(𝐼 × {0})} ∈ Fin)
26		eldifsni 4723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})}) → 𝑘 ≠ (𝐼 × {0}))
27	26	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑘 ≠ (𝐼 × {0}))
28		ifnefalse 4466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ≠ (𝐼 × {0}) → if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∖ {(𝐼 × {0})})) → if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
30	18	rabex 5267	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
32	29, 31	suppss2 8140	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝐼 × {0})})
33		suppssfifsupp 9283	. . . . 5 ⊢ ((((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∈ V ∧ Fun (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) ∧ ({(𝐼 × {0})} ∈ Fin ∧ ((𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {(𝐼 × {0})})) → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
34	23, 25, 32, 33	syl12anc 842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ↦ if(𝑘 = (𝐼 × {0}), (1r‘𝑅), (0g‘𝑅))) finSupp (0g‘𝑅))
35	17, 34	eqbrtrd 5094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) finSupp (0g‘𝑅))
36	2, 1, 10, 15, 3	mplelbas 21965	. . 3 ⊢ ((1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ↔ ((1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) finSupp (0g‘𝑅)))
37	13, 35, 36	sylanbrc 589	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ 𝑈)
38	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝐼 ∈ 𝑊)
39	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑅 ∈ Ring)
40		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ( ∘f + “ ((𝑥 supp (0g‘𝑅)) × (𝑦 supp (0g‘𝑅)))) = ( ∘f + “ ((𝑥 supp (0g‘𝑅)) × (𝑦 supp (0g‘𝑅))))
41		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
42		simprl 776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
43		simprr 778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
44	1, 2, 3, 38, 39, 14, 15, 40, 41, 42, 43	mplsubrglem 21978	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)
45	44	ralrimivva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)
46		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
47	10, 11, 46	issubrg2 20564	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)))
48	9, 47	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆) ↔ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑆) ∧ (1r‘𝑆) ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(.r‘𝑆)𝑦) ∈ 𝑈)))
49	8, 37, 45, 48	mpbir3and 1349	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubRing‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  {crab 3391  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ifcif 4454  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   × cxp 5616  ^◡ccnv 5617   “ cima 5621  Fun wfun 6479  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   supp csupp 8100   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  0cc0 11029   + caddc 11032  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  Grpcgrp 18900  SubGrpcsubg 19087  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  SubRingcsubrg 20541   mPwSer cmps 21879   mPoly cmpl 21881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-psr 21884  df-mpl 21886

This theorem is referenced by:  mpl1  21986  mplring  21993  mplcrng  21995  mplassa  21996  subrgmpl  22007  mplbas2  22018  subrgasclcl  22043  mplind  22046  evlseu  22059  ply1subrg  22182  mplnzr  33697  mplvrpmrhm  33731  mplmonprod  33738