MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubrg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mplsubrg 21964
Description: The set of polynomials is closed under multiplication, i.e. it is a subring of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mplsubg.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mpllss.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
mplsubrg (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Proof of Theorem mplsubrg
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mplsubg.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mplsubg.u . . 3 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 mplsubg.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 mpllss.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6 ringgrp 20192 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
81, 2, 3, 4, 7mplsubg 21961 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†))
91, 4, 5psrring 21929 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
10 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
11 eqid 2728 . . . . 5 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
1210, 11ringidcl 20216 . . . 4 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
139, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
14 eqid 2728 . . . . 5 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
15 eqid 2728 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
16 eqid 2728 . . . . 5 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
171, 4, 5, 14, 15, 16, 11psr1 21930 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) = (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))
18 ovex 7459 . . . . . . . 8 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1918mptrabex 7243 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ V
20 funmpt 6596 . . . . . . 7 Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))
21 fvex 6915 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
2219, 20, 213pm3.2i 1336 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
2322a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V))
24 snfi 9077 . . . . . 6 {(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin
2524a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin)
26 eldifsni 4798 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})}) β†’ π‘˜ β‰  (𝐼 Γ— {0}))
2726adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ π‘˜ β‰  (𝐼 Γ— {0}))
28 ifnefalse 4544 . . . . . . 7 (π‘˜ β‰  (𝐼 Γ— {0}) β†’ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
3018rabex 5338 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
3130a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
3229, 31suppss2 8214 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {(𝐼 Γ— {0})})
33 suppssfifsupp 9413 . . . . 5 ((((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V) ∧ ({(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
3423, 25, 32, 33syl12anc 835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
3517, 34eqbrtrd 5174 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) finSupp (0gβ€˜π‘…))
362, 1, 10, 15, 3mplelbas 21950 . . 3 ((1rβ€˜π‘†) ∈ π‘ˆ ↔ ((1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) finSupp (0gβ€˜π‘…)))
3713, 35, 36sylanbrc 581 . 2 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ π‘ˆ)
384adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
395adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
40 eqid 2728 . . . 4 ( ∘f + β€œ ((π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) Γ— (𝑦 supp (0gβ€˜π‘…)))) = ( ∘f + β€œ ((π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) Γ— (𝑦 supp (0gβ€˜π‘…))))
41 eqid 2728 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
42 simprl 769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
43 simprr 771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
441, 2, 3, 38, 39, 14, 15, 40, 41, 42, 43mplsubrglem 21963 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ π‘ˆ)
4544ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ π‘ˆ)
46 eqid 2728 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
4710, 11, 46issubrg2 20545 . . 3 (𝑆 ∈ Ring β†’ (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ↔ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ π‘ˆ)))
489, 47syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ↔ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ π‘ˆ)))
498, 37, 45, 48mpbir3and 1339 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4532  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681   β€œ cima 5685  Fun wfun 6547  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7690   supp csupp 8173   ↑m cmap 8853  Fincfn 8972   finSupp cfsupp 9395  0cc0 11148   + caddc 11151  β„•cn 12252  β„•0cn0 12512  Basecbs 17189  .rcmulr 17243  0gc0g 17430  Grpcgrp 18904  SubGrpcsubg 19089  1rcur 20135  Ringcrg 20187  SubRingcsubrg 20520   mPwSer cmps 21851   mPoly cmpl 21853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-ofr 7693  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-psr 21856  df-mpl 21858
This theorem is referenced by:  mpl1  21971  mplring  21978  mplcrng  21980  mplassa  21981  subrgmpl  21987  mplbas2  21997  subrgasclcl  22028  mplind  22031  evlseu  22046  ply1subrg  22135
  Copyright terms: Public domain W3C validator