MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplsubrg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mplsubrg 21906
Description: The set of polynomials is closed under multiplication, i.e. it is a subring of the set of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplsubg.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplsubg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsubg.u π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mplsubg.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mpllss.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
mplsubrg (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Proof of Theorem mplsubrg
Dummy variables π‘˜ π‘₯ 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplsubg.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mplsubg.p . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 mplsubg.u . . 3 π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 mplsubg.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 mpllss.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6 ringgrp 20143 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
75, 6syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
81, 2, 3, 4, 7mplsubg 21903 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†))
91, 4, 5psrring 21873 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
10 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
11 eqid 2726 . . . . 5 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
1210, 11ringidcl 20165 . . . 4 (𝑆 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
139, 12syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
14 eqid 2726 . . . . 5 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
15 eqid 2726 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
16 eqid 2726 . . . . 5 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
171, 4, 5, 14, 15, 16, 11psr1 21874 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) = (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))
18 ovex 7438 . . . . . . . 8 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1918mptrabex 7222 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ V
20 funmpt 6580 . . . . . . 7 Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))
21 fvex 6898 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
2219, 20, 213pm3.2i 1336 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
2322a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V))
24 snfi 9046 . . . . . 6 {(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin
2524a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin)
26 eldifsni 4788 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})}) β†’ π‘˜ β‰  (𝐼 Γ— {0}))
2726adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ π‘˜ β‰  (𝐼 Γ— {0}))
28 ifnefalse 4535 . . . . . . 7 (π‘˜ β‰  (𝐼 Γ— {0}) β†’ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
3018rabex 5325 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
3130a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
3229, 31suppss2 8186 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {(𝐼 Γ— {0})})
33 suppssfifsupp 9380 . . . . 5 ((((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V) ∧ ({(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
3423, 25, 32, 33syl12anc 834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(π‘˜ = (𝐼 Γ— {0}), (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
3517, 34eqbrtrd 5163 . . 3 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) finSupp (0gβ€˜π‘…))
362, 1, 10, 15, 3mplelbas 21892 . . 3 ((1rβ€˜π‘†) ∈ π‘ˆ ↔ ((1rβ€˜π‘†) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) finSupp (0gβ€˜π‘…)))
3713, 35, 36sylanbrc 582 . 2 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘†) ∈ π‘ˆ)
384adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
395adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
40 eqid 2726 . . . 4 ( ∘f + β€œ ((π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) Γ— (𝑦 supp (0gβ€˜π‘…)))) = ( ∘f + β€œ ((π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) Γ— (𝑦 supp (0gβ€˜π‘…))))
41 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
42 simprl 768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
43 simprr 770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
441, 2, 3, 38, 39, 14, 15, 40, 41, 42, 43mplsubrglem 21905 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ π‘ˆ)
4544ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ π‘ˆ)
46 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
4710, 11, 46issubrg2 20494 . . 3 (𝑆 ∈ Ring β†’ (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ↔ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ π‘ˆ)))
489, 47syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ↔ (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘†) ∧ (1rβ€˜π‘†) ∈ π‘ˆ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)𝑦) ∈ π‘ˆ)))
498, 37, 45, 48mpbir3and 1339 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   supp csupp 8146   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  0cc0 11112   + caddc 11115  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19047  1rcur 20086  Ringcrg 20138  SubRingcsubrg 20469   mPwSer cmps 21798   mPoly cmpl 21800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-psr 21803  df-mpl 21805
This theorem is referenced by:  mpl1  21913  mplring  21920  mplcrng  21922  mplassa  21923  subrgmpl  21929  mplbas2  21939  subrgasclcl  21970  mplind  21973  evlseu  21988  ply1subrg  22071
  Copyright terms: Public domain W3C validator