MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplbas2 21967
Description: An alternative expression for the set of polynomials, as the smallest subalgebra of the set of power series that contains all the variable generators. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplbas2.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplbas2.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplbas2.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplbas2.a 𝐴 = (AlgSpanβ€˜π‘†)
mplbas2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mplbas2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
mplbas2 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) = (Baseβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem mplbas2
Dummy variables 𝑒 π‘˜ 𝑣 π‘₯ 𝑧 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplbas2.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mplbas2.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3 mplbas2.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
41, 2, 3psrassa 21903 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ AssAlg)
5 mplbas2.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
7 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
85, 1, 6, 7mplbasss 21926 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ƒ) βŠ† (Baseβ€˜π‘†)
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
10 mplbas2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
11 crngring 20176 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
123, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
131, 10, 7, 2, 12mvrf 21914 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘†))
1413ffnd 6717 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 Fn 𝐼)
152adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
1612adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
17 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
185, 10, 6, 15, 16, 17mvrcl 21921 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
1918ralrimiva 3141 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
20 ffnfv 7123 . . . . . 6 (𝑉:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑉 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
2114, 19, 20sylanbrc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
2221frnd 6724 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
23 mplbas2.a . . . . 5 𝐴 = (AlgSpanβ€˜π‘†)
2423, 7aspss 21797 . . . 4 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ (Baseβ€˜π‘ƒ) βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (π΄β€˜(Baseβ€˜π‘ƒ)))
254, 9, 22, 24syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (π΄β€˜(Baseβ€˜π‘ƒ)))
261, 5, 6, 2, 12mplsubrg 21934 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
271, 5, 6, 2, 12mpllss 21932 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
28 eqid 2727 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘†) = (LSubSpβ€˜π‘†)
2923, 7, 28aspid 21795 . . . 4 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†)) β†’ (π΄β€˜(Baseβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
304, 26, 27, 29syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜(Baseβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
3125, 30sseqtrd 4018 . 2 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
32 eqid 2727 . . . 4 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
33 eqid 2727 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
34 eqid 2727 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
352adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
36 eqid 2727 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
3712adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
38 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
395, 32, 33, 34, 35, 6, 36, 37, 38mplcoe1 21962 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯ = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))))))
40 eqid 2727 . . . 4 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
415mplring 21948 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
422, 12, 41syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
43 ringabl 20206 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Abel)
4442, 43syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Abel)
4544adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 ∈ Abel)
46 ovex 7447 . . . . . 6 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
4746rabex 5328 . . . . 5 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
4847a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
4913frnd 6724 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
5023, 7aspsubrg 21796 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
514, 49, 50syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
525, 1, 6mplval2 21925 . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘ƒ))
5352subsubrg 20526 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))))
5426, 53syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))))
5551, 31, 54mpbir2and 712 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ))
56 subrgsubg 20505 . . . . . 6 ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ))
5755, 56syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ))
5857adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ))
595mpllmod 21947 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
602, 12, 59syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
6160ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
6223, 7, 28asplss 21794 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
634, 49, 62syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
641, 2, 12psrlmod 21890 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ LMod)
65 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘ƒ) = (LSubSpβ€˜π‘ƒ)
6652, 28, 65lsslss 20834 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†)) β†’ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))))
6764, 27, 66syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))))
6863, 31, 67mpbir2and 712 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ))
6968ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ))
70 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
715, 70, 6, 32, 38mplelf 21927 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯:{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
7271ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
735, 35, 37mplsca 21942 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
7473adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
7574fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
7672, 75eleqtrd 2830 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
772ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
78 eqid 2727 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
79 eqid 2727 . . . . . . . 8 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
803ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
81 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
825, 32, 33, 34, 77, 78, 79, 10, 80, 81mplcoe2 21966 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) = ((mulGrpβ€˜π‘ƒ) Ξ£g (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)))))
83 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
8478, 83ringidval 20114 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
855mplcrng 21950 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ CRing)
862, 3, 85syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CRing)
8778crngmgp 20172 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ CMnd)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ CMnd)
8988ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ CMnd)
9055ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ))
9178subrgsubm 20513 . . . . . . . . 9 ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)))
9290, 91syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)))
93 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ πœ‘)
9432psrbag 21837 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ (π‘˜:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin)))
9535, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ (π‘˜:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin)))
9695biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin))
9796simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
9897ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0)
9923, 7aspssid 21798 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ran 𝑉 βŠ† (π΄β€˜ran 𝑉))
1004, 49, 99syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† (π΄β€˜ran 𝑉))
101100ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ran 𝑉 βŠ† (π΄β€˜ran 𝑉))
10214ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑉 Fn 𝐼)
103 fnfvelrn 7084 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ ran 𝑉)
104102, 103sylan 579 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ ran 𝑉)
105101, 104sseldd 3979 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
10678, 6mgpbas 20071 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
107 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
10878, 107mgpplusg 20069 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
109107subrgmcl 20512 . . . . . . . . . . . 12 (((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑒 ∈ (π΄β€˜ran 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (π΄β€˜ran 𝑉)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π‘ƒ)𝑣) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
11055, 109syl3an1 1161 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π΄β€˜ran 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (π΄β€˜ran 𝑉)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π‘ƒ)𝑣) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
11183subrg1cl 20508 . . . . . . . . . . . 12 ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
11255, 111syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
113106, 79, 108, 88, 31, 110, 84, 112mulgnn0subcl 19033 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉)) β†’ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
11493, 98, 105, 113syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
115114fmpttd 7119 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))):𝐼⟢(π΄β€˜ran 𝑉))
1162mptexd 7230 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) ∈ V)
117116ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) ∈ V)
118 funmpt 6585 . . . . . . . . . 10 Fun (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)))
119118a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))))
120 fvexd 6906 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
12196simprd 495 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin)
122 elrabi 3674 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼))
123 elmapi 8859 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
124123adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
1252ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
126 fcdmnn0supp 12550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (π‘˜ supp 0) = (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
127125, 124, 126syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘˜ supp 0) = (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
128 eqimss 4036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ supp 0) = (β—‘π‘˜ β€œ β„•) β†’ (π‘˜ supp 0) βŠ† (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘˜ supp 0) βŠ† (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
130 c0ex 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ 0 ∈ V)
132124, 129, 125, 131suppssr 8194 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (π‘˜β€˜π‘§) = 0)
133122, 132sylanl2 680 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (π‘˜β€˜π‘§) = 0)
134133oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) = (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)))
1352ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
13612ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
137 eldifi 4122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
138137adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
1395, 10, 6, 135, 136, 138mvrcl 21921 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
140106, 84, 79mulg0 19021 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘‰β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
142134, 141eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
143142, 77suppss2 8199 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) supp (1rβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
144 suppssfifsupp 9395 . . . . . . . . 9 ((((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) ∧ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ V) ∧ ((β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) supp (1rβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) finSupp (1rβ€˜π‘ƒ))
145117, 119, 120, 121, 143, 144syl32anc 1376 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) finSupp (1rβ€˜π‘ƒ))
14684, 89, 77, 92, 115, 145gsumsubmcl 19865 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ƒ) Ξ£g (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
14782, 146eqeltrd 2828 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
148 eqid 2727 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
149 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
150148, 36, 149, 65lssvscl 20828 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ LMod ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
15161, 69, 76, 147, 150syl22anc 838 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
152151fmpttd 7119 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(π΄β€˜ran 𝑉))
15346mptrabex 7231 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∈ V
154 funmpt 6585 . . . . . . 7 Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))))
155 fvex 6904 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V
156153, 154, 1553pm3.2i 1337 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
157156a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V))
1585, 1, 7, 33, 6mplelbas 21920 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…)))
159158simprbi 496 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…))
160159adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…))
161160fsuppimpd 9385 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin)
162 ssidd 4001 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))
163 fvexd 6906 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
16471, 162, 48, 163suppssr 8194 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘…))
16573fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
166165adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
167164, 166eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
168167oveq1d 7429 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))))
169 eldifi 4122 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
17012ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1715, 6, 33, 34, 32, 77, 170, 81mplmon 21960 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
172 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
1736, 148, 36, 172, 40lmod0vs 20767 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
17461, 171, 173syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
175169, 174sylan2 592 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
176168, 175eqtrd 2767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
177176, 48suppss2 8199 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))
178 suppssfifsupp 9395 . . . . 5 ((((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V) ∧ ((π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
179157, 161, 177, 178syl12anc 836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
18040, 45, 48, 58, 152, 179gsumsubgcl 19866 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
18139, 180eqeltrd 2828 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯ ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
18231, 181eqelssd 3999 1 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671  ran crn 5673   β€œ cima 5675  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   supp csupp 8159   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9377  0cc0 11130  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  Basecbs 17171  .rcmulr 17225  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  0gc0g 17412   Ξ£g cgsu 17413  SubMndcsubmnd 18730  .gcmg 19014  SubGrpcsubg 19066  CMndccmn 19726  Abelcabl 19727  mulGrpcmgp 20065  1rcur 20112  Ringcrg 20164  CRingccrg 20165  SubRingcsubrg 20495  LModclmod 20732  LSubSpclss 20804  AssAlgcasa 21771  AlgSpancasp 21772   mPwSer cmps 21824   mVar cmvr 21825   mPoly cmpl 21826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-srg 20118  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-assa 21774  df-asp 21775  df-psr 21829  df-mvr 21830  df-mpl 21831
This theorem is referenced by:  mplind  22001  evlseu  22016
  Copyright terms: Public domain W3C validator