MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplbas2 21816
Description: An alternative expression for the set of polynomials, as the smallest subalgebra of the set of power series that contains all the variable generators. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplbas2.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplbas2.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplbas2.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplbas2.a 𝐴 = (AlgSpanβ€˜π‘†)
mplbas2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mplbas2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
mplbas2 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) = (Baseβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem mplbas2
Dummy variables 𝑒 π‘˜ 𝑣 π‘₯ 𝑧 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplbas2.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mplbas2.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3 mplbas2.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
41, 2, 3psrassa 21753 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ AssAlg)
5 mplbas2.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
7 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
85, 1, 6, 7mplbasss 21775 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ƒ) βŠ† (Baseβ€˜π‘†)
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
10 mplbas2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
11 crngring 20139 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
123, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
131, 10, 7, 2, 12mvrf 21763 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘†))
1413ffnd 6718 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 Fn 𝐼)
152adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
1612adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
17 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
185, 10, 6, 15, 16, 17mvrcl 21770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
1918ralrimiva 3146 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
20 ffnfv 7120 . . . . . 6 (𝑉:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑉 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
2114, 19, 20sylanbrc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
2221frnd 6725 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
23 mplbas2.a . . . . 5 𝐴 = (AlgSpanβ€˜π‘†)
2423, 7aspss 21650 . . . 4 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ (Baseβ€˜π‘ƒ) βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (π΄β€˜(Baseβ€˜π‘ƒ)))
254, 9, 22, 24syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (π΄β€˜(Baseβ€˜π‘ƒ)))
261, 5, 6, 2, 12mplsubrg 21783 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
271, 5, 6, 2, 12mpllss 21781 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
28 eqid 2732 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘†) = (LSubSpβ€˜π‘†)
2923, 7, 28aspid 21648 . . . 4 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†)) β†’ (π΄β€˜(Baseβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
304, 26, 27, 29syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜(Baseβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
3125, 30sseqtrd 4022 . 2 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
32 eqid 2732 . . . 4 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
33 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
34 eqid 2732 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
352adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
36 eqid 2732 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
3712adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
38 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
395, 32, 33, 34, 35, 6, 36, 37, 38mplcoe1 21811 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯ = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))))))
40 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
415mplring 21797 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
422, 12, 41syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
43 ringabl 20169 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Abel)
4442, 43syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Abel)
4544adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 ∈ Abel)
46 ovex 7444 . . . . . 6 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
4746rabex 5332 . . . . 5 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
4847a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
4913frnd 6725 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
5023, 7aspsubrg 21649 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
514, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
525, 1, 6mplval2 21774 . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘ƒ))
5352subsubrg 20488 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))))
5426, 53syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))))
5551, 31, 54mpbir2and 711 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ))
56 subrgsubg 20467 . . . . . 6 ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ))
5755, 56syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ))
5857adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ))
595mpllmod 21796 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
602, 12, 59syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
6160ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
6223, 7, 28asplss 21647 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
634, 49, 62syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
641, 2, 12psrlmod 21740 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ LMod)
65 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘ƒ) = (LSubSpβ€˜π‘ƒ)
6652, 28, 65lsslss 20716 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†)) β†’ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))))
6764, 27, 66syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))))
6863, 31, 67mpbir2and 711 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ))
6968ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ))
70 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
715, 70, 6, 32, 38mplelf 21776 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯:{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
7271ffvelcdmda 7086 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
735, 35, 37mplsca 21791 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
7473adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
7574fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
7672, 75eleqtrd 2835 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
772ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
78 eqid 2732 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
79 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
803ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
81 simpr 485 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
825, 32, 33, 34, 77, 78, 79, 10, 80, 81mplcoe2 21815 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) = ((mulGrpβ€˜π‘ƒ) Ξ£g (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)))))
83 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
8478, 83ringidval 20077 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
855mplcrng 21799 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ CRing)
862, 3, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CRing)
8778crngmgp 20135 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ CMnd)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ CMnd)
8988ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ CMnd)
9055ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ))
9178subrgsubm 20475 . . . . . . . . 9 ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)))
9290, 91syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)))
93 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ πœ‘)
9432psrbag 21689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ (π‘˜:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin)))
9535, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ (π‘˜:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin)))
9695biimpa 477 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin))
9796simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
9897ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0)
9923, 7aspssid 21651 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ran 𝑉 βŠ† (π΄β€˜ran 𝑉))
1004, 49, 99syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† (π΄β€˜ran 𝑉))
101100ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ran 𝑉 βŠ† (π΄β€˜ran 𝑉))
10214ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑉 Fn 𝐼)
103 fnfvelrn 7082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ ran 𝑉)
104102, 103sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ ran 𝑉)
105101, 104sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
10678, 6mgpbas 20034 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
107 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
10878, 107mgpplusg 20032 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
109107subrgmcl 20474 . . . . . . . . . . . 12 (((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑒 ∈ (π΄β€˜ran 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (π΄β€˜ran 𝑉)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π‘ƒ)𝑣) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
11055, 109syl3an1 1163 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π΄β€˜ran 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (π΄β€˜ran 𝑉)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π‘ƒ)𝑣) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
11183subrg1cl 20470 . . . . . . . . . . . 12 ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
11255, 111syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
113106, 79, 108, 88, 31, 110, 84, 112mulgnn0subcl 19003 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉)) β†’ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
11493, 98, 105, 113syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
115114fmpttd 7116 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))):𝐼⟢(π΄β€˜ran 𝑉))
1162mptexd 7228 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) ∈ V)
117116ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) ∈ V)
118 funmpt 6586 . . . . . . . . . 10 Fun (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)))
119118a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))))
120 fvexd 6906 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
12196simprd 496 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin)
122 elrabi 3677 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼))
123 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
124123adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
1252ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
126 fcdmnn0supp 12532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (π‘˜ supp 0) = (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
127125, 124, 126syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘˜ supp 0) = (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
128 eqimss 4040 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ supp 0) = (β—‘π‘˜ β€œ β„•) β†’ (π‘˜ supp 0) βŠ† (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘˜ supp 0) βŠ† (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
130 c0ex 11212 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ 0 ∈ V)
132124, 129, 125, 131suppssr 8183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (π‘˜β€˜π‘§) = 0)
133122, 132sylanl2 679 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (π‘˜β€˜π‘§) = 0)
134133oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) = (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)))
1352ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
13612ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
137 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
138137adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
1395, 10, 6, 135, 136, 138mvrcl 21770 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
140106, 84, 79mulg0 18993 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘‰β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
142134, 141eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
143142, 77suppss2 8187 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) supp (1rβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
144 suppssfifsupp 9380 . . . . . . . . 9 ((((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) ∧ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ V) ∧ ((β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) supp (1rβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) finSupp (1rβ€˜π‘ƒ))
145117, 119, 120, 121, 143, 144syl32anc 1378 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) finSupp (1rβ€˜π‘ƒ))
14684, 89, 77, 92, 115, 145gsumsubmcl 19828 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ƒ) Ξ£g (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
14782, 146eqeltrd 2833 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
148 eqid 2732 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
149 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
150148, 36, 149, 65lssvscl 20710 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ LMod ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
15161, 69, 76, 147, 150syl22anc 837 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
152151fmpttd 7116 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(π΄β€˜ran 𝑉))
15346mptrabex 7229 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∈ V
154 funmpt 6586 . . . . . . 7 Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))))
155 fvex 6904 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V
156153, 154, 1553pm3.2i 1339 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
157156a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V))
1585, 1, 7, 33, 6mplelbas 21769 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…)))
159158simprbi 497 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…))
160159adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…))
161160fsuppimpd 9371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin)
162 ssidd 4005 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))
163 fvexd 6906 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
16471, 162, 48, 163suppssr 8183 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘…))
16573fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
166165adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
167164, 166eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
168167oveq1d 7426 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))))
169 eldifi 4126 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
17012ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1715, 6, 33, 34, 32, 77, 170, 81mplmon 21809 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
172 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
1736, 148, 36, 172, 40lmod0vs 20649 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
17461, 171, 173syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
175169, 174sylan2 593 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
176168, 175eqtrd 2772 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
177176, 48suppss2 8187 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))
178 suppssfifsupp 9380 . . . . 5 ((((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V) ∧ ((π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
179157, 161, 177, 178syl12anc 835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
18040, 45, 48, 58, 152, 179gsumsubgcl 19829 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
18139, 180eqeltrd 2833 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯ ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
18231, 181eqelssd 4003 1 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   supp csupp 8148   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  0cc0 11112  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  0gc0g 17389   Ξ£g cgsu 17390  SubMndcsubmnd 18704  .gcmg 18986  SubGrpcsubg 19036  CMndccmn 19689  Abelcabl 19690  mulGrpcmgp 20028  1rcur 20075  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128  SubRingcsubrg 20457  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686  AssAlgcasa 21624  AlgSpancasp 21625   mPwSer cmps 21676   mVar cmvr 21677   mPoly cmpl 21678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-srg 20081  df-ring 20129  df-cring 20130  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-assa 21627  df-asp 21628  df-psr 21681  df-mvr 21682  df-mpl 21683
This theorem is referenced by:  mplind  21850  evlseu  21865
  Copyright terms: Public domain W3C validator