MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplbas2 21597
Description: An alternative expression for the set of polynomials, as the smallest subalgebra of the set of power series that contains all the variable generators. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplbas2.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplbas2.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplbas2.v 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
mplbas2.a 𝐴 = (AlgSpanβ€˜π‘†)
mplbas2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mplbas2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
Assertion
Ref Expression
mplbas2 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) = (Baseβ€˜π‘ƒ))

Proof of Theorem mplbas2
Dummy variables 𝑒 π‘˜ 𝑣 π‘₯ 𝑧 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplbas2.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 mplbas2.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3 mplbas2.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CRing)
41, 2, 3psrassa 21534 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ AssAlg)
5 mplbas2.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
6 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
7 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
85, 1, 6, 7mplbasss 21556 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘ƒ) βŠ† (Baseβ€˜π‘†)
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
10 mplbas2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (𝐼 mVar 𝑅)
11 crngring 20068 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
123, 11syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
131, 10, 7, 2, 12mvrf 21544 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘†))
1413ffnd 6719 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑉 Fn 𝐼)
152adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
1612adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
17 simpr 486 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
185, 10, 6, 15, 16, 17mvrcl 21551 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
1918ralrimiva 3147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
20 ffnfv 7118 . . . . . 6 (𝑉:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘ƒ) ↔ (𝑉 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘‰β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)))
2114, 19, 20sylanbrc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
2221frnd 6726 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
23 mplbas2.a . . . . 5 𝐴 = (AlgSpanβ€˜π‘†)
2423, 7aspss 21431 . . . 4 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ (Baseβ€˜π‘ƒ) βŠ† (Baseβ€˜π‘†) ∧ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (π΄β€˜(Baseβ€˜π‘ƒ)))
254, 9, 22, 24syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (π΄β€˜(Baseβ€˜π‘ƒ)))
261, 5, 6, 2, 12mplsubrg 21564 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
271, 5, 6, 2, 12mpllss 21562 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
28 eqid 2733 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘†) = (LSubSpβ€˜π‘†)
2923, 7, 28aspid 21429 . . . 4 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†)) β†’ (π΄β€˜(Baseβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
304, 26, 27, 29syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜(Baseβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
3125, 30sseqtrd 4023 . 2 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))
32 eqid 2733 . . . 4 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
33 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
34 eqid 2733 . . . 4 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
352adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
36 eqid 2733 . . . 4 ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ) = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
3712adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
38 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
395, 32, 33, 34, 35, 6, 36, 37, 38mplcoe1 21592 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯ = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))))))
40 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
415mplring 21578 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
422, 12, 41syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
43 ringabl 20098 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Abel)
4442, 43syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Abel)
4544adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑃 ∈ Abel)
46 ovex 7442 . . . . . 6 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
4746rabex 5333 . . . . 5 {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V
4847a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
4913frnd 6726 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘†))
5023, 7aspsubrg 21430 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
514, 49, 50syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
525, 1, 6mplval2 21555 . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑆 β†Ύs (Baseβ€˜π‘ƒ))
5352subsubrg 20345 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))))
5426, 53syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))))
5551, 31, 54mpbir2and 712 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ))
56 subrgsubg 20325 . . . . . 6 ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ))
5755, 56syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ))
5857adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ƒ))
595mpllmod 21577 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
602, 12, 59syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
6160ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
6223, 7, 28asplss 21428 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
634, 49, 62syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†))
641, 2, 12psrlmod 21521 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ LMod)
65 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (LSubSpβ€˜π‘ƒ) = (LSubSpβ€˜π‘ƒ)
6652, 28, 65lsslss 20572 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ LMod ∧ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†)) β†’ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))))
6764, 27, 66syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ) ↔ ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘†) ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) βŠ† (Baseβ€˜π‘ƒ))))
6863, 31, 67mpbir2and 712 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ))
6968ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ))
70 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
715, 70, 6, 32, 38mplelf 21557 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯:{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(Baseβ€˜π‘…))
7271ffvelcdmda 7087 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
735, 35, 37mplsca 21572 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
7473adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
7574fveq2d 6896 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
7672, 75eleqtrd 2836 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
772ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
78 eqid 2733 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜π‘ƒ) = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
79 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
803ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
81 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
825, 32, 33, 34, 77, 78, 79, 10, 80, 81mplcoe2 21596 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) = ((mulGrpβ€˜π‘ƒ) Ξ£g (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)))))
83 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
8478, 83ringidval 20006 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
855mplcrng 21580 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ CRing)
862, 3, 85syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ CRing)
8778crngmgp 20064 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ CRing β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ CMnd)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ CMnd)
8988ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (mulGrpβ€˜π‘ƒ) ∈ CMnd)
9055ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ))
9178subrgsubm 20332 . . . . . . . . 9 ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)))
9290, 91syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ)))
93 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ πœ‘)
9432psrbag 21470 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ (π‘˜:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin)))
9535, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↔ (π‘˜:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin)))
9695biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (π‘˜:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin))
9796simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
9897ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0)
9923, 7aspssid 21432 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ AssAlg ∧ ran 𝑉 βŠ† (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ran 𝑉 βŠ† (π΄β€˜ran 𝑉))
1004, 49, 99syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran 𝑉 βŠ† (π΄β€˜ran 𝑉))
101100ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ran 𝑉 βŠ† (π΄β€˜ran 𝑉))
10214ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑉 Fn 𝐼)
103 fnfvelrn 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉 Fn 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ ran 𝑉)
104102, 103sylan 581 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ ran 𝑉)
105101, 104sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
10678, 6mgpbas 19993 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
107 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
10878, 107mgpplusg 19991 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
109107subrgmcl 20331 . . . . . . . . . . . 12 (((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) ∧ 𝑒 ∈ (π΄β€˜ran 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (π΄β€˜ran 𝑉)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π‘ƒ)𝑣) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
11055, 109syl3an1 1164 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ (π΄β€˜ran 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ (π΄β€˜ran 𝑉)) β†’ (𝑒(.rβ€˜π‘ƒ)𝑣) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
11183subrg1cl 20327 . . . . . . . . . . . 12 ((π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (SubRingβ€˜π‘ƒ) β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
11255, 111syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
113106, 79, 108, 88, 31, 110, 84, 112mulgnn0subcl 18967 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉)) β†’ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
11493, 98, 105, 113syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
115114fmpttd 7115 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))):𝐼⟢(π΄β€˜ran 𝑉))
1162mptexd 7226 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) ∈ V)
117116ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) ∈ V)
118 funmpt 6587 . . . . . . . . . 10 Fun (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)))
119118a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ Fun (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))))
120 fvexd 6907 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
12196simprd 497 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin)
122 elrabi 3678 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} β†’ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼))
123 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
124123adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
1252ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
126 fcdmnn0supp 12528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (π‘˜ supp 0) = (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
127125, 124, 126syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘˜ supp 0) = (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
128 eqimss 4041 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ supp 0) = (β—‘π‘˜ β€œ β„•) β†’ (π‘˜ supp 0) βŠ† (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ (π‘˜ supp 0) βŠ† (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
130 c0ex 11208 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) β†’ 0 ∈ V)
132124, 129, 125, 131suppssr 8181 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ (β„•0 ↑m 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (π‘˜β€˜π‘§) = 0)
133122, 132sylanl2 680 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (π‘˜β€˜π‘§) = 0)
134133oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) = (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)))
1352ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
13612ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
137 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
138137adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
1395, 10, 6, 135, 136, 138mvrcl 21551 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (π‘‰β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
140106, 84, 79mulg0 18957 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘‰β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (0(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
142134, 141eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼 βˆ– (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
143142, 77suppss2 8185 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) supp (1rβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (β—‘π‘˜ β€œ β„•))
144 suppssfifsupp 9378 . . . . . . . . 9 ((((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) ∧ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ V) ∧ ((β—‘π‘˜ β€œ β„•) ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) supp (1rβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (β—‘π‘˜ β€œ β„•))) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) finSupp (1rβ€˜π‘ƒ))
145117, 119, 120, 121, 143, 144syl32anc 1379 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§))) finSupp (1rβ€˜π‘ƒ))
14684, 89, 77, 92, 115, 145gsumsubmcl 19787 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((mulGrpβ€˜π‘ƒ) Ξ£g (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§)(.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))(π‘‰β€˜π‘§)))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
14782, 146eqeltrd 2834 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
148 eqid 2733 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
149 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
150148, 36, 149, 65lssvscl 20566 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ LMod ∧ (π΄β€˜ran 𝑉) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ƒ)) ∧ ((π‘₯β€˜π‘˜) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
15161, 69, 76, 147, 150syl22anc 838 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
152151fmpttd 7115 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))):{𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}⟢(π΄β€˜ran 𝑉))
15346mptrabex 7227 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∈ V
154 funmpt 6587 . . . . . . 7 Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))))
155 fvex 6905 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V
156153, 154, 1553pm3.2i 1340 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V)
157156a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V))
1585, 1, 7, 33, 6mplelbas 21550 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…)))
159158simprbi 498 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…))
160159adantl 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯ finSupp (0gβ€˜π‘…))
161160fsuppimpd 9369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin)
162 ssidd 4006 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))
163 fvexd 6907 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
16471, 162, 48, 163suppssr 8181 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘…))
16573fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
166165adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
167164, 166eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘₯β€˜π‘˜) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
168167oveq1d 7424 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))))
169 eldifi 4127 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin})
17012ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1715, 6, 33, 34, 32, 77, 170, 81mplmon 21590 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
172 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
1736, 148, 36, 172, 40lmod0vs 20505 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
17461, 171, 173syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
175169, 174sylan2 594 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
176168, 175eqtrd 2773 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘˜ ∈ ({𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))) = (0gβ€˜π‘ƒ))
177176, 48suppss2 8185 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))
178 suppssfifsupp 9378 . . . . 5 ((((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∈ V ∧ Fun (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) ∧ (0gβ€˜π‘ƒ) ∈ V) ∧ ((π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)) ∈ Fin ∧ ((π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) supp (0gβ€˜π‘ƒ)) βŠ† (π‘₯ supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
179157, 161, 177, 178syl12anc 836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…))))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
18040, 45, 48, 58, 152, 179gsumsubgcl 19788 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ ((π‘₯β€˜π‘˜)( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)(𝑦 ∈ {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin} ↦ if(𝑦 = π‘˜, (1rβ€˜π‘…), (0gβ€˜π‘…)))))) ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
18139, 180eqeltrd 2834 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ π‘₯ ∈ (π΄β€˜ran 𝑉))
18231, 181eqelssd 4004 1 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜ran 𝑉) = (Baseβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   supp csupp 8146   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  0cc0 11110  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  SubMndcsubmnd 18670  .gcmg 18950  SubGrpcsubg 19000  CMndccmn 19648  Abelcabl 19649  mulGrpcmgp 19987  1rcur 20004  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  SubRingcsubrg 20315  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542  AssAlgcasa 21405  AlgSpancasp 21406   mPwSer cmps 21457   mVar cmvr 21458   mPoly cmpl 21459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-srg 20010  df-ring 20058  df-cring 20059  df-subrg 20317  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-assa 21408  df-asp 21409  df-psr 21462  df-mvr 21463  df-mpl 21464
This theorem is referenced by:  mplind  21631  evlseu  21646
  Copyright terms: Public domain W3C validator