Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fwddifnval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fwddifnval 35816
Description: The value of the forward difference operator at a point. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fwddifnval.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
fwddifnval.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
fwddifnval.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
fwddifnval.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
fwddifnval.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
fwddifnval (πœ‘ β†’ ((𝑁 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜
Proof of Theorem fwddifnval
Dummy variables 𝑛 𝑓 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fwddifn 35814 . . . 4 β–³n = (𝑛 ∈ β„•0, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ↦ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜))))))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ β–³n = (𝑛 ∈ β„•0, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ↦ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)))))))
3 oveq2 7424 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 β†’ (0...𝑛) = (0...𝑁))
43adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (0...𝑛) = (0...𝑁))
5 dmeq 5900 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 β†’ dom 𝑓 = dom 𝐹)
65eleq2d 2811 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓 ↔ (𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
76adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓 ↔ (𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
84, 7raleqbidv 3330 . . . . . 6 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
98rabbidv 3427 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} = {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹})
10 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛Cπ‘˜) = (𝑁Cπ‘˜))
1110adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (𝑛Cπ‘˜) = (𝑁Cπ‘˜))
12 oveq1 7423 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 βˆ’ π‘˜) = (𝑁 βˆ’ π‘˜))
1312oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ (-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) = (-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)))
14 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)) = (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))
1513, 14oveqan12d 7435 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜))) = ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))
1611, 15oveq12d 7434 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))))
1716adantr 479 . . . . . 6 (((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ ((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))))
184, 17sumeq12dv 15684 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))))
199, 18mpteq12dv 5234 . . . 4 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜))))) = (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))))
2019adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜))))) = (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))))
21 fwddifnval.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
22 fwddifnval.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
23 fwddifnval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
24 cnex 11219 . . . . 5 β„‚ ∈ V
25 elpm2r 8862 . . . . 5 (((β„‚ ∈ V ∧ β„‚ ∈ V) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
2624, 24, 25mpanl12 700 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
2722, 23, 26syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
2824mptrabex 7233 . . . 4 (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))) ∈ V
2928a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))) ∈ V)
302, 20, 21, 27, 29ovmpod 7570 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 β–³n 𝐹) = (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))))
31 fvoveq1 7439 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))
3231oveq2d 7432 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))) = ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))
3332oveq2d 7432 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
3433sumeq2sdv 15682 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
3534adantl 480 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
36 fwddifnval.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
37 fwddifnval.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
3822fdmd 6728 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
3938adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
4037, 39eleqtrrd 2828 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹)
4140ralrimiva 3136 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹)
42 oveq1 7423 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 β†’ (𝑦 + π‘˜) = (𝑋 + π‘˜))
4342eleq1d 2810 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 β†’ ((𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
4443ralbidv 3168 . . . 4 (𝑦 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
4544elrab 3674 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↔ (𝑋 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
4636, 41, 45sylanbrc 581 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹})
47 sumex 15666 . . 3 Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) ∈ V
4847a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) ∈ V)
4930, 35, 46, 48fvmptd 7007 1 (πœ‘ β†’ ((𝑁 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ↑pm cpm 8844  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143   βˆ’ cmin 11474  -cneg 11475  β„•0cn0 12502  ...cfz 13516  β†‘cexp 14058  Ccbc 14293  Ξ£csu 15664   β–³n cfwddifn 35813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-seq 13999  df-sum 15665  df-fwddifn 35814
This theorem is referenced by:  fwddifn0  35817  fwddifnp1  35818
  Copyright terms: Public domain W3C validator