Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fwddifnval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fwddifnval 35668
Description: The value of the forward difference operator at a point. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fwddifnval.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
fwddifnval.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
fwddifnval.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
fwddifnval.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
fwddifnval.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
fwddifnval (πœ‘ β†’ ((𝑁 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜
Proof of Theorem fwddifnval
Dummy variables 𝑛 𝑓 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fwddifn 35666 . . . 4 β–³n = (𝑛 ∈ β„•0, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ↦ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜))))))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ β–³n = (𝑛 ∈ β„•0, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ↦ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)))))))
3 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 β†’ (0...𝑛) = (0...𝑁))
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (0...𝑛) = (0...𝑁))
5 dmeq 5897 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 β†’ dom 𝑓 = dom 𝐹)
65eleq2d 2813 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓 ↔ (𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
76adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓 ↔ (𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
84, 7raleqbidv 3336 . . . . . 6 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
98rabbidv 3434 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} = {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹})
10 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛Cπ‘˜) = (𝑁Cπ‘˜))
1110adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (𝑛Cπ‘˜) = (𝑁Cπ‘˜))
12 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 βˆ’ π‘˜) = (𝑁 βˆ’ π‘˜))
1312oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ (-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) = (-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)))
14 fveq1 6884 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)) = (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))
1513, 14oveqan12d 7424 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜))) = ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))
1611, 15oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))))
1716adantr 480 . . . . . 6 (((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ ((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))))
184, 17sumeq12dv 15658 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))))
199, 18mpteq12dv 5232 . . . 4 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜))))) = (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))))
2019adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜))))) = (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))))
21 fwddifnval.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
22 fwddifnval.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
23 fwddifnval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
24 cnex 11193 . . . . 5 β„‚ ∈ V
25 elpm2r 8841 . . . . 5 (((β„‚ ∈ V ∧ β„‚ ∈ V) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
2624, 24, 25mpanl12 699 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
2722, 23, 26syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
2824mptrabex 7222 . . . 4 (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))) ∈ V
2928a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))) ∈ V)
302, 20, 21, 27, 29ovmpod 7556 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 β–³n 𝐹) = (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))))
31 fvoveq1 7428 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))
3231oveq2d 7421 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))) = ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))
3332oveq2d 7421 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
3433sumeq2sdv 15656 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
3534adantl 481 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
36 fwddifnval.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
37 fwddifnval.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
3822fdmd 6722 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
3938adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
4037, 39eleqtrrd 2830 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹)
4140ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹)
42 oveq1 7412 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 β†’ (𝑦 + π‘˜) = (𝑋 + π‘˜))
4342eleq1d 2812 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 β†’ ((𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
4443ralbidv 3171 . . . 4 (𝑦 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
4544elrab 3678 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↔ (𝑋 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
4636, 41, 45sylanbrc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹})
47 sumex 15640 . . 3 Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) ∈ V
4847a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) ∈ V)
4930, 35, 46, 48fvmptd 6999 1 (πœ‘ β†’ ((𝑁 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑pm cpm 8823  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  β„•0cn0 12476  ...cfz 13490  β†‘cexp 14032  Ccbc 14267  Ξ£csu 15638   β–³n cfwddifn 35665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-sum 15639  df-fwddifn 35666
This theorem is referenced by:  fwddifn0  35669  fwddifnp1  35670
  Copyright terms: Public domain W3C validator