Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fwddifnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fwddifnval 34777
Description: The value of the forward difference operator at a point. (Contributed by Scott Fenton, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fwddifnval.1 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
fwddifnval.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
fwddifnval.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
fwddifnval.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
fwddifnval.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
fwddifnval (πœ‘ β†’ ((𝑁 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝑁   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem fwddifnval
Dummy variables 𝑛 𝑓 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fwddifn 34775 . . . 4 β–³n = (𝑛 ∈ β„•0, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ↦ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜))))))
21a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ β–³n = (𝑛 ∈ β„•0, 𝑓 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚) ↦ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)))))))
3 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 β†’ (0...𝑛) = (0...𝑁))
43adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (0...𝑛) = (0...𝑁))
5 dmeq 5864 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 β†’ dom 𝑓 = dom 𝐹)
65eleq2d 2824 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝐹 β†’ ((𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓 ↔ (𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
76adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓 ↔ (𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
84, 7raleqbidv 3322 . . . . . 6 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
98rabbidv 3418 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} = {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹})
10 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛Cπ‘˜) = (𝑁Cπ‘˜))
1110adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (𝑛Cπ‘˜) = (𝑁Cπ‘˜))
12 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑁 β†’ (𝑛 βˆ’ π‘˜) = (𝑁 βˆ’ π‘˜))
1312oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 β†’ (-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) = (-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)))
14 fveq1 6846 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝐹 β†’ (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)) = (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))
1513, 14oveqan12d 7381 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜))) = ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))
1611, 15oveq12d 7380 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ ((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))))
1716adantr 482 . . . . . 6 (((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑛)) β†’ ((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))))
184, 17sumeq12dv 15598 . . . . 5 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))))
199, 18mpteq12dv 5201 . . . 4 ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜))))) = (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))))
2019adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑓 = 𝐹)) β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑛)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝑓} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑛)((𝑛Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑛 βˆ’ π‘˜)) Β· (π‘“β€˜(π‘₯ + π‘˜))))) = (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))))
21 fwddifnval.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
22 fwddifnval.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
23 fwddifnval.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
24 cnex 11139 . . . . 5 β„‚ ∈ V
25 elpm2r 8790 . . . . 5 (((β„‚ ∈ V ∧ β„‚ ∈ V) ∧ (𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
2624, 24, 25mpanl12 701 . . . 4 ((𝐹:π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† β„‚) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
2722, 23, 26syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm β„‚))
2824mptrabex 7180 . . . 4 (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))) ∈ V
2928a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))) ∈ V)
302, 20, 21, 27, 29ovmpod 7512 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 β–³n 𝐹) = (π‘₯ ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))))))
31 fvoveq1 7385 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)) = (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))
3231oveq2d 7378 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜))) = ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜))))
3332oveq2d 7378 . . . 4 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = ((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
3433sumeq2sdv 15596 . . 3 (π‘₯ = 𝑋 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
3534adantl 483 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(π‘₯ + π‘˜)))) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
36 fwddifnval.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
37 fwddifnval.5 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ 𝐴)
3822fdmd 6684 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
3938adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
4037, 39eleqtrrd 2841 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹)
4140ralrimiva 3144 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹)
42 oveq1 7369 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 β†’ (𝑦 + π‘˜) = (𝑋 + π‘˜))
4342eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑦 = 𝑋 β†’ ((𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹 ↔ (𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
4443ralbidv 3175 . . . 4 (𝑦 = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
4544elrab 3650 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹} ↔ (𝑋 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑋 + π‘˜) ∈ dom 𝐹))
4636, 41, 45sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ {𝑦 ∈ β„‚ ∣ βˆ€π‘˜ ∈ (0...𝑁)(𝑦 + π‘˜) ∈ dom 𝐹})
47 sumex 15579 . . 3 Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) ∈ V
4847a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))) ∈ V)
4930, 35, 46, 48fvmptd 6960 1 (πœ‘ β†’ ((𝑁 β–³n 𝐹)β€˜π‘‹) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑁Cπ‘˜) Β· ((-1↑(𝑁 βˆ’ π‘˜)) Β· (πΉβ€˜(𝑋 + π‘˜)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364   ↑pm cpm 8773  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  β„•0cn0 12420  ...cfz 13431  β†‘cexp 13974  Ccbc 14209  Ξ£csu 15577   β–³n cfwddifn 34774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-sum 15578  df-fwddifn 34775
This theorem is referenced by:  fwddifn0  34778  fwddifnp1  34779
  Copyright terms: Public domain W3C validator