Theorem psrlidm 22161

Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psr1cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
psr1cl.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
psr1cl.u	⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrlidm.t	⊢ · = (.r‘𝑆)
psrlidm.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrlidm	⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓, 0   𝑓,𝐼,𝑥   𝑥,𝐵   𝑅,𝑓,𝑥   𝑥,𝐷   𝑓,𝑋,𝑥   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑆   𝑥, 1

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   𝑈(𝑥, 𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrlidm

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrring.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		psr1cl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		psr1cl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psrlidm.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑆)
6		psrring.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		psrring.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
8		psr1cl.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9		psr1cl.o	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
10		psr1cl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
11	1, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4	psr1cl 22160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)
12		psrlidm.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	1, 4, 5, 6, 11, 12	psrmulcl 22146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) ∈ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 13	psrelbas 22135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑋):𝐷⟶(Base‘𝑅))
15	14	ffnd 6710	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) Fn 𝐷)
16	1, 2, 3, 4, 12	psrelbas 22135	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
17	16	ffnd 6710	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn 𝐷)
18		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑈 ∈ 𝐵)
20	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 ∈ 𝐷)
22	1, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21	psrmulval 22144	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑈 · 𝑋)‘𝑦) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))))
23		breq1 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (𝐼 × {0}) → (𝑔 ∘r ≤ 𝑦 ↔ (𝐼 × {0}) ∘r ≤ 𝑦))
24		fconstmpt 5725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 × {0}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0)
25	3	fczpsrbag 22121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
26	7, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
27	24, 26	eqeltrid 2869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
28	27	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷)
29	3	psrbagf 22118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
30	29	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦:𝐼⟶ℕ0)
31	30	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑥) ∈ ℕ0)
32	31	nn0ge0d 12583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 0 ≤ (𝑦‘𝑥))
33	32	ralrimiva 3159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 0 ≤ (𝑦‘𝑥))
34		0nn0 12534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
35	34	fconst6 6772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0
36		ffn 6709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 × {0}):𝐼⟶ℕ0 → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
37	35, 36	mp1i 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) Fn 𝐼)
38	30	ffnd 6710	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑦 Fn 𝐼)
39	7	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ 𝑉)
40		inidm 4179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
41	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 0 ∈ ℕ0)
42		fvconst2g 7207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
43	41, 42	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {0})‘𝑥) = 0)
44		eqidd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑦‘𝑥) = (𝑦‘𝑥))
45	37, 38, 39, 39, 40, 43, 44	ofrfval 7694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝐼 × {0}) ∘r ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐼 0 ≤ (𝑦‘𝑥)))
46	33, 45	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) ∘r ≤ 𝑦)
47	23, 28, 46	elrabd 3654	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝐼 × {0}) ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦})
48	47	snssd 4754	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {(𝐼 × {0})} ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦})
49	48	resmptd 6044	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})}) = (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))))
50	49	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))))
51		ringcmn 20410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
52	6, 51	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
53	52	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ CMnd)
54		ovex 7452	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
55	3, 54	rab2ex 5314	. . . . . 6 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∈ V
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∈ V)
57	6	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑅 ∈ Ring)
58		breq1 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝑧 → (𝑔 ∘r ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ∘r ≤ 𝑦))
59	58	elrab 3652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↔ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘r ≤ 𝑦))
60	59	bilani 510	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘r ≤ 𝑦))
61	60	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∈ 𝐷)
62	1, 2, 3, 4, 19	psrelbas 22135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑈:𝐷⟶(Base‘𝑅))
63	62	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) → (𝑈‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
64	61, 63	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → (𝑈‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
65	16	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
66	21	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑦 ∈ 𝐷)
67	3	psrbagf 22118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
68	61, 67	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑧:𝐼⟶ℕ0)
69	60	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → 𝑧 ∘r ≤ 𝑦)
70	3	psrbagcon 22125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑧 ∘r ≤ 𝑦) → ((𝑦 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘f − 𝑧) ∘r ≤ 𝑦))
71	66, 68, 69, 70	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → ((𝑦 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘f − 𝑧) ∘r ≤ 𝑦))
72	71	simpld 500	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → (𝑦 ∘f − 𝑧) ∈ 𝐷)
73	65, 72	ffvelcdmd 7084	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → (𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
74	2, 18	ringcl 20376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑈‘𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
75	57, 64, 73, 74	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}) → ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) ∈ (Base‘𝑅))
76	75	fmpttd 7114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦}⟶(Base‘𝑅))
77		eldifi 4085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})}) → 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦})
78	77, 60	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘r ≤ 𝑦))
79	78	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑧 ∈ 𝐷)
80		eqeq1 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = (𝐼 × {0}) ↔ 𝑧 = (𝐼 × {0})))
81	80	ifbid 4513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
82	9	fvexi 6899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ V
83	8	fvexi 6899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
84	82, 83	ifex 4540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) ∈ V
85	81, 10, 84	fvmpt 6993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐷 → (𝑈‘𝑧) = if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
86	79, 85	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑈‘𝑧) = if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ))
87		eldifn 4086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})}) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})})
88	87	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ¬ 𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})})
89		velsn 4607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↔ 𝑧 = (𝐼 × {0}))
90	88, 89	sylnib 331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ¬ 𝑧 = (𝐼 × {0}))
91	90	iffalsed 4500	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → if(𝑧 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 0 )
92	86, 91	eqtrd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑈‘𝑧) = 0 )
93	92	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) = ( 0 (.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))
94	6	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → 𝑅 ∈ Ring)
95	77, 73	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → (𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
96	2, 18, 8	ringlz 20422	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) = 0 )
97	94, 95, 96	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ( 0 (.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) = 0 )
98	93, 97	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ∖ {(𝐼 × {0})})) → ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) = 0 )
99	98, 56	suppss2 8202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {(𝐼 × {0})})
100	3, 54	rabex2 5313	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ V
101	100	mptrabex 7230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ∈ V
102	101	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ∈ V)
103		funmpt 6578	. . . . . . 7 ⊢ Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))
104	103	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))))
105	83	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 0 ∈ V)
106		snfi 9047	. . . . . . 7 ⊢ {(𝐼 × {0})} ∈ Fin
107	106	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → {(𝐼 × {0})} ∈ Fin)
108		suppssfifsupp 9347	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({(𝐼 × {0})} ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) supp 0 ) ⊆ {(𝐼 × {0})})) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) finSupp 0 )
109	102, 104, 105, 107, 99, 108	syl32anc 1405	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) finSupp 0 )
110	2, 8, 53, 56, 76, 99, 109	gsumres 20027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)))) ↾ {(𝐼 × {0})})) = (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))))
111	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
112		ringmnd 20369	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
113	111, 112	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → 𝑅 ∈ Mnd)
114		iftrue 4495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝐼 × {0}) → if(𝑥 = (𝐼 × {0}), 1 , 0 ) = 1 )
115	114, 10, 82	fvmpt 6993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
116	28, 115	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑈‘(𝐼 × {0})) = 1 )
117		nn0cn 12529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → 𝑧 ∈ ℂ)
118	117	subid1d 11573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 − 0) = 𝑧)
119	118	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
120	39, 30, 41, 119	caofid0r 7718	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑦 ∘f − (𝐼 × {0})) = 𝑦)
121	120	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑋‘(𝑦 ∘f − (𝐼 × {0}))) = (𝑋‘𝑦))
122	116, 121	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − (𝐼 × {0})))) = ( 1 (.r‘𝑅)(𝑋‘𝑦)))
123	16	ffvelcdmda 7083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑋‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅))
124	2, 18, 9	ringlidm 20397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋‘𝑦) ∈ (Base‘𝑅)) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑋‘𝑦)) = (𝑋‘𝑦))
125	111, 123, 124	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ( 1 (.r‘𝑅)(𝑋‘𝑦)) = (𝑋‘𝑦))
126	122, 125	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − (𝐼 × {0})))) = (𝑋‘𝑦))
127	126, 123	eqeltrd 2865	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − (𝐼 × {0})))) ∈ (Base‘𝑅))
128		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑈‘𝑧) = (𝑈‘(𝐼 × {0})))
129		oveq2 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑦 ∘f − 𝑧) = (𝑦 ∘f − (𝐼 × {0})))
130	129	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝐼 × {0}) → (𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧)) = (𝑋‘(𝑦 ∘f − (𝐼 × {0}))))
131	128, 130	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝐼 × {0}) → ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − (𝐼 × {0})))))
132	2, 131	gsumsn 20068	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝐼 × {0}) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − (𝐼 × {0})))) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − (𝐼 × {0})))))
133	113, 28, 127, 132	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {(𝐼 × {0})} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − (𝐼 × {0})))))
134	50, 110, 133	3eqtr3d 2808	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → (𝑅 Σg (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≤ 𝑦} ↦ ((𝑈‘𝑧)(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − 𝑧))))) = ((𝑈‘(𝐼 × {0}))(.r‘𝑅)(𝑋‘(𝑦 ∘f − (𝐼 × {0})))))
135	22, 134, 126	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) → ((𝑈 · 𝑋)‘𝑦) = (𝑋‘𝑦))
136	15, 17, 135	eqfnfvd 7032	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  {crab 3418  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  ifcif 4489  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662   ↾ cres 5665   “ cima 5666  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7682   ∘_r cofr 7683   supp csupp 8162   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949   finSupp cfsupp 9328  0cc0 11115   ≤ cle 11259   − cmin 11456  ℕcn 12248  ℕ₀cn0 12519  Basecbs 17291  ._rcmulr 17333  0_gc0g 17514   Σ_g cgsu 17515  Mndcmnd 18824  CMndccmn 19894  1_rcur 20307  Ringcrg 20359   mPwSer cmps 22104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-ofr 7685  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-hash 14385  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-tset 17351  df-0g 17516  df-gsum 17517  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-mulg 19178  df-cntz 19431  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-psr 22109

This theorem is used by:  psrring  22169  psr1  22170