MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrlidm 21860
Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
psr1cl.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
psr1cl.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
psr1cl.u π‘ˆ = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psrlidm.t Β· = (.rβ€˜π‘†)
psrlidm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
psrlidm (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓, 0   𝑓,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝐡   𝑅,𝑓,π‘₯   π‘₯,𝐷   𝑓,𝑋,π‘₯   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑉   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑆   π‘₯, 1
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   Β· (𝑓)   π‘ˆ(π‘₯,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrlidm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 psr1cl.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
4 psr1cl.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
5 psrlidm.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘†)
6 psrring.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 psrring.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 psr1cl.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
9 psr1cl.o . . . . . 6 1 = (1rβ€˜π‘…)
10 psr1cl.u . . . . . 6 π‘ˆ = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ))
111, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4psr1cl 21859 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
12 psrlidm.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
131, 4, 5, 6, 11, 12psrmulcl 21844 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 21834 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
1514ffnd 6711 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋) Fn 𝐷)
161, 2, 3, 4, 12psrelbas 21834 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
1716ffnd 6711 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 Fn 𝐷)
18 eqid 2726 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1911adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
2012adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
21 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
221, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21psrmulval 21842 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘ˆ Β· 𝑋)β€˜π‘¦) = (𝑅 Ξ£g (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))))
23 breq1 5144 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝑦 ↔ (𝐼 Γ— {0}) ∘r ≀ 𝑦))
24 fconstmpt 5731 . . . . . . . . . 10 (𝐼 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)
253fczpsrbag 21812 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
267, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
2724, 26eqeltrid 2831 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐷)
2827adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐷)
293psrbagf 21807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
3130ffvelcdmda 7079 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3231nn0ge0d 12536 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (π‘¦β€˜π‘₯))
3332ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 0 ≀ (π‘¦β€˜π‘₯))
34 0nn0 12488 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ β„•0
3534fconst6 6774 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 Γ— {0}):πΌβŸΆβ„•0
36 ffn 6710 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 Γ— {0}):πΌβŸΆβ„•0 β†’ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼)
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼)
3830ffnd 6711 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
397adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
40 inidm 4213 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
4134a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ β„•0)
42 fvconst2g 7198 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
4341, 42sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
44 eqidd 2727 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) = (π‘¦β€˜π‘₯))
4537, 38, 39, 39, 40, 43, 44ofrfval 7676 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐼 Γ— {0}) ∘r ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 0 ≀ (π‘¦β€˜π‘₯)))
4633, 45mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∘r ≀ 𝑦)
4723, 28, 46elrabd 3680 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦})
4847snssd 4807 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ {(𝐼 Γ— {0})} βŠ† {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦})
4948resmptd 6033 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) β†Ύ {(𝐼 Γ— {0})}) = (𝑧 ∈ {(𝐼 Γ— {0})} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))))
5049oveq2d 7420 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) β†Ύ {(𝐼 Γ— {0})})) = (𝑅 Ξ£g (𝑧 ∈ {(𝐼 Γ— {0})} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))))
51 ringcmn 20178 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
526, 51syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
5352adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
54 ovex 7437 . . . . . . 7 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
553, 54rab2ex 5328 . . . . . 6 {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ∈ V
5655a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ∈ V)
576ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
58 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦})
59 breq1 5144 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑧 β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝑦 ↔ 𝑧 ∘r ≀ 𝑦))
6059elrab 3678 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↔ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘r ≀ 𝑦))
6158, 60sylib 217 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘r ≀ 𝑦))
6261simpld 494 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
631, 2, 3, 4, 19psrelbas 21834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ π‘ˆ:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
6463ffvelcdmda 7079 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6562, 64syldan 590 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6616ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
6721adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
683psrbagf 21807 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝐷 β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„•0)
6962, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„•0)
7061simprd 495 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ 𝑧 ∘r ≀ 𝑦)
713psrbagcon 21819 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑧 ∘r ≀ 𝑦) β†’ ((𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧) ∘r ≀ 𝑦))
7267, 69, 70, 71syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ ((𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧) ∘r ≀ 𝑦))
7372simpld 494 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ (𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝐷)
7466, 73ffvelcdmd 7080 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ (π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
752, 18ringcl 20152 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘ˆβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7657, 65, 74, 75syl3anc 1368 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7776fmpttd 7109 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}⟢(Baseβ€˜π‘…))
78 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})}) β†’ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦})
7978, 61sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘r ≀ 𝑦))
8079simpld 494 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
81 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) ↔ 𝑧 = (𝐼 Γ— {0})))
8281ifbid 4546 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ) = if(𝑧 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ))
839fvexi 6898 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
848fvexi 6898 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
8583, 84ifex 4573 . . . . . . . . . . 11 if(𝑧 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ) ∈ V
8682, 10, 85fvmpt 6991 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝐷 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = if(𝑧 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ))
8780, 86syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = if(𝑧 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ))
88 eldifn 4122 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ {(𝐼 Γ— {0})})
8988adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ {(𝐼 Γ— {0})})
90 velsn 4639 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {(𝐼 Γ— {0})} ↔ 𝑧 = (𝐼 Γ— {0}))
9189, 90sylnib 328 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ Β¬ 𝑧 = (𝐼 Γ— {0}))
9291iffalsed 4534 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ if(𝑧 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ) = 0 )
9387, 92eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = 0 )
9493oveq1d 7419 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))) = ( 0 (.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))
956ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9678, 74sylan2 592 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ (π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
972, 18, 8ringlz 20189 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))) = 0 )
9895, 96, 97syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))) = 0 )
9994, 98eqtrd 2766 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))) = 0 )
10099, 56suppss2 8183 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) supp 0 ) βŠ† {(𝐼 Γ— {0})})
1013, 54rabex2 5327 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ V
102101mptrabex 7221 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) ∈ V
103102a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) ∈ V)
104 funmpt 6579 . . . . . . 7 Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))
105104a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))))
10684a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ V)
107 snfi 9043 . . . . . . 7 {(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin
108107a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ {(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin)
109 suppssfifsupp 9377 . . . . . 6 ((((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) supp 0 ) βŠ† {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) finSupp 0 )
110103, 105, 106, 108, 100, 109syl32anc 1375 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) finSupp 0 )
1112, 8, 53, 56, 77, 100, 110gsumres 19830 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) β†Ύ {(𝐼 Γ— {0})})) = (𝑅 Ξ£g (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))))
1126adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
113 ringmnd 20145 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
114112, 113syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
115 iftrue 4529 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ) = 1 )
116115, 10, 83fvmpt 6991 . . . . . . . . 9 ((𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐷 β†’ (π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0})) = 1 )
11728, 116syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0})) = 1 )
118 nn0cn 12483 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ β„•0 β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
119118subid1d 11561 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ β„•0 β†’ (𝑧 βˆ’ 0) = 𝑧)
120119adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ β„•0) β†’ (𝑧 βˆ’ 0) = 𝑧)
12139, 30, 41, 120caofid0r 7698 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})) = 𝑦)
122121fveq2d 6888 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0}))) = (π‘‹β€˜π‘¦))
123117, 122oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))) = ( 1 (.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘¦)))
12416ffvelcdmda 7079 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1252, 18, 9ringlidm 20165 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘¦)) = (π‘‹β€˜π‘¦))
126112, 124, 125syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘¦)) = (π‘‹β€˜π‘¦))
127123, 126eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))) = (π‘‹β€˜π‘¦))
128127, 124eqeltrd 2827 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
129 fveq2 6884 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = (π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0})))
130 oveq2 7412 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧) = (𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))
131130fveq2d 6888 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)) = (π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0}))))
132129, 131oveq12d 7422 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))) = ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))))
1332, 132gsumsn 19871 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐷 ∧ ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑧 ∈ {(𝐼 Γ— {0})} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))) = ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))))
134114, 28, 128, 133syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑧 ∈ {(𝐼 Γ— {0})} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))) = ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))))
13550, 111, 1343eqtr3d 2774 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))) = ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))))
13622, 135, 1273eqtrd 2770 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘ˆ Β· 𝑋)β€˜π‘¦) = (π‘‹β€˜π‘¦))
13715, 17, 136eqfnfvd 7028 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664   ∘r cofr 7665   supp csupp 8143   ↑m cmap 8819  Fincfn 8938   finSupp cfsupp 9360  0cc0 11109   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  Basecbs 17150  .rcmulr 17204  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Mndcmnd 18664  CMndccmn 19697  1rcur 20083  Ringcrg 20135   mPwSer cmps 21793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14293  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-tset 17222  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-psr 21798
This theorem is referenced by:  psrring  21868  psr1  21869
  Copyright terms: Public domain W3C validator