MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrlidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrlidm 21912
Description: The identity element of the ring of power series is a left identity. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
psrring.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
psr1cl.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
psr1cl.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
psr1cl.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
psr1cl.u π‘ˆ = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ))
psr1cl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
psrlidm.t Β· = (.rβ€˜π‘†)
psrlidm.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
psrlidm (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋) = 𝑋)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑓, 0   𝑓,𝐼,π‘₯   π‘₯,𝐡   𝑅,𝑓,π‘₯   π‘₯,𝐷   𝑓,𝑋,π‘₯   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑉   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑆   π‘₯, 1
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   Β· (𝑓)   π‘ˆ(π‘₯,𝑓)   1 (𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrlidm
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3 psr1cl.d . . . 4 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
4 psr1cl.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
5 psrlidm.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘†)
6 psrring.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 psrring.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
8 psr1cl.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
9 psr1cl.o . . . . . 6 1 = (1rβ€˜π‘…)
10 psr1cl.u . . . . . 6 π‘ˆ = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ))
111, 7, 6, 3, 8, 9, 10, 4psr1cl 21911 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
12 psrlidm.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
131, 4, 5, 6, 11, 12psrmulcl 21896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
141, 2, 3, 4, 13psrelbas 21886 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
1514ffnd 6728 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋) Fn 𝐷)
161, 2, 3, 4, 12psrelbas 21886 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
1716ffnd 6728 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑋 Fn 𝐷)
18 eqid 2728 . . . 4 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1911adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
2012adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
21 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
221, 4, 18, 5, 3, 19, 20, 21psrmulval 21894 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘ˆ Β· 𝑋)β€˜π‘¦) = (𝑅 Ξ£g (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))))
23 breq1 5155 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝑦 ↔ (𝐼 Γ— {0}) ∘r ≀ 𝑦))
24 fconstmpt 5744 . . . . . . . . . 10 (𝐼 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)
253fczpsrbag 21863 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
267, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0) ∈ 𝐷)
2724, 26eqeltrid 2833 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐷)
2827adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐷)
293psrbagf 21858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
3029adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„•0)
3130ffvelcdmda 7099 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3231nn0ge0d 12573 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (π‘¦β€˜π‘₯))
3332ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 0 ≀ (π‘¦β€˜π‘₯))
34 0nn0 12525 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ β„•0
3534fconst6 6792 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 Γ— {0}):πΌβŸΆβ„•0
36 ffn 6727 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 Γ— {0}):πΌβŸΆβ„•0 β†’ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼)
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 Γ— {0}) Fn 𝐼)
3830ffnd 6728 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 Fn 𝐼)
397adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
40 inidm 4221 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
4134a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ β„•0)
42 fvconst2g 7220 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ β„•0 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
4341, 42sylan 578 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {0})β€˜π‘₯) = 0)
44 eqidd 2729 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘₯) = (π‘¦β€˜π‘₯))
4537, 38, 39, 39, 40, 43, 44ofrfval 7701 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((𝐼 Γ— {0}) ∘r ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 0 ≀ (π‘¦β€˜π‘₯)))
4633, 45mpbird 256 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∘r ≀ 𝑦)
4723, 28, 46elrabd 3686 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝐼 Γ— {0}) ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦})
4847snssd 4817 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ {(𝐼 Γ— {0})} βŠ† {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦})
4948resmptd 6049 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) β†Ύ {(𝐼 Γ— {0})}) = (𝑧 ∈ {(𝐼 Γ— {0})} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))))
5049oveq2d 7442 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) β†Ύ {(𝐼 Γ— {0})})) = (𝑅 Ξ£g (𝑧 ∈ {(𝐼 Γ— {0})} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))))
51 ringcmn 20225 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
526, 51syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
5352adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
54 ovex 7459 . . . . . . 7 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
553, 54rab2ex 5341 . . . . . 6 {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ∈ V
5655a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ∈ V)
576ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
58 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦})
59 breq1 5155 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 = 𝑧 β†’ (𝑔 ∘r ≀ 𝑦 ↔ 𝑧 ∘r ≀ 𝑦))
6059elrab 3684 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↔ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘r ≀ 𝑦))
6158, 60sylib 217 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘r ≀ 𝑦))
6261simpld 493 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
631, 2, 3, 4, 19psrelbas 21886 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ π‘ˆ:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
6463ffvelcdmda 7099 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐷) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6562, 64syldan 589 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6616ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ 𝑋:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
6721adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
683psrbagf 21858 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝐷 β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„•0)
6962, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ 𝑧:πΌβŸΆβ„•0)
7061simprd 494 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ 𝑧 ∘r ≀ 𝑦)
713psrbagcon 21870 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧:πΌβŸΆβ„•0 ∧ 𝑧 ∘r ≀ 𝑦) β†’ ((𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧) ∘r ≀ 𝑦))
7267, 69, 70, 71syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ ((𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝐷 ∧ (𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧) ∘r ≀ 𝑦))
7372simpld 493 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ (𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧) ∈ 𝐷)
7466, 73ffvelcdmd 7100 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ (π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
752, 18ringcl 20197 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘ˆβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7657, 65, 74, 75syl3anc 1368 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7776fmpttd 7130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))):{𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦}⟢(Baseβ€˜π‘…))
78 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})}) β†’ 𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦})
7978, 61sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ (𝑧 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∘r ≀ 𝑦))
8079simpld 493 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ 𝑧 ∈ 𝐷)
81 eqeq1 2732 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) ↔ 𝑧 = (𝐼 Γ— {0})))
8281ifbid 4555 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑧 β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ) = if(𝑧 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ))
839fvexi 6916 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
848fvexi 6916 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
8583, 84ifex 4582 . . . . . . . . . . 11 if(𝑧 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ) ∈ V
8682, 10, 85fvmpt 7010 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝐷 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = if(𝑧 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ))
8780, 86syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = if(𝑧 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ))
88 eldifn 4128 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ {(𝐼 Γ— {0})})
8988adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ {(𝐼 Γ— {0})})
90 velsn 4648 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {(𝐼 Γ— {0})} ↔ 𝑧 = (𝐼 Γ— {0}))
9189, 90sylnib 327 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ Β¬ 𝑧 = (𝐼 Γ— {0}))
9291iffalsed 4543 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ if(𝑧 = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ) = 0 )
9387, 92eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = 0 )
9493oveq1d 7441 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))) = ( 0 (.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))
956ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9678, 74sylan2 591 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ (π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
972, 18, 8ringlz 20236 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))) = 0 )
9895, 96, 97syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))) = 0 )
9994, 98eqtrd 2768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} βˆ– {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))) = 0 )
10099, 56suppss2 8212 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) supp 0 ) βŠ† {(𝐼 Γ— {0})})
1013, 54rabex2 5340 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ V
102101mptrabex 7243 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) ∈ V
103102a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) ∈ V)
104 funmpt 6596 . . . . . . 7 Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))
105104a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))))
10684a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ V)
107 snfi 9075 . . . . . . 7 {(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin
108107a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ {(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin)
109 suppssfifsupp 9411 . . . . . 6 ((((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) ∈ V ∧ Fun (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({(𝐼 Γ— {0})} ∈ Fin ∧ ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) supp 0 ) βŠ† {(𝐼 Γ— {0})})) β†’ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) finSupp 0 )
110103, 105, 106, 108, 100, 109syl32anc 1375 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) finSupp 0 )
1112, 8, 53, 56, 77, 100, 110gsumres 19875 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)))) β†Ύ {(𝐼 Γ— {0})})) = (𝑅 Ξ£g (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))))
1126adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
113 ringmnd 20190 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
114112, 113syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
115 iftrue 4538 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}) β†’ if(π‘₯ = (𝐼 Γ— {0}), 1 , 0 ) = 1 )
116115, 10, 83fvmpt 7010 . . . . . . . . 9 ((𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐷 β†’ (π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0})) = 1 )
11728, 116syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0})) = 1 )
118 nn0cn 12520 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ β„•0 β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
119118subid1d 11598 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ β„•0 β†’ (𝑧 βˆ’ 0) = 𝑧)
120119adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ β„•0) β†’ (𝑧 βˆ’ 0) = 𝑧)
12139, 30, 41, 120caofid0r 7723 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})) = 𝑦)
122121fveq2d 6906 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0}))) = (π‘‹β€˜π‘¦))
123117, 122oveq12d 7444 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))) = ( 1 (.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘¦)))
12416ffvelcdmda 7099 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1252, 18, 9ringlidm 20212 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘‹β€˜π‘¦) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘¦)) = (π‘‹β€˜π‘¦))
126112, 124, 125syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜π‘¦)) = (π‘‹β€˜π‘¦))
127123, 126eqtrd 2768 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))) = (π‘‹β€˜π‘¦))
128127, 124eqeltrd 2829 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
129 fveq2 6902 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘§) = (π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0})))
130 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧) = (𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))
131130fveq2d 6906 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ (π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧)) = (π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0}))))
132129, 131oveq12d 7444 . . . . . 6 (𝑧 = (𝐼 Γ— {0}) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))) = ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))))
1332, 132gsumsn 19916 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝐼 Γ— {0}) ∈ 𝐷 ∧ ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑧 ∈ {(𝐼 Γ— {0})} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))) = ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))))
134114, 28, 128, 133syl3anc 1368 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑧 ∈ {(𝐼 Γ— {0})} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))) = ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))))
13550, 111, 1343eqtr3d 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑧 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ 𝑔 ∘r ≀ 𝑦} ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ 𝑧))))) = ((π‘ˆβ€˜(𝐼 Γ— {0}))(.rβ€˜π‘…)(π‘‹β€˜(𝑦 ∘f βˆ’ (𝐼 Γ— {0})))))
13622, 135, 1273eqtrd 2772 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘ˆ Β· 𝑋)β€˜π‘¦) = (π‘‹β€˜π‘¦))
13715, 17, 136eqfnfvd 7048 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ Β· 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4532  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681   β†Ύ cres 5684   β€œ cima 5685  Fun wfun 6547   Fn wfn 6548  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7689   ∘r cofr 7690   supp csupp 8171   ↑m cmap 8851  Fincfn 8970   finSupp cfsupp 9393  0cc0 11146   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  Basecbs 17187  .rcmulr 17241  0gc0g 17428   Ξ£g cgsu 17429  Mndcmnd 18701  CMndccmn 19742  1rcur 20128  Ringcrg 20180   mPwSer cmps 21844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-tset 17259  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-psr 21849
This theorem is referenced by:  psrring  21920  psr1  21921
  Copyright terms: Public domain W3C validator