MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmonmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmonmul 21933
Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of (π‘₯↑2)(𝑦↑2) with (𝑦↑1)(𝑧↑3) is (π‘₯↑2)(𝑦↑3)(𝑧↑3), where the exponent vectors ⟨2, 2, 0⟩ and ⟨0, 1, 3⟩ are added to give ⟨2, 3, 3⟩. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mplmon.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mplmon.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
mplmon.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
mplmon.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mplmon.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mplmon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
mplmonmul.t Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
mplmonmul.x (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
mplmonmul (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 )))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   πœ‘,𝑦   𝑦,𝑓,𝑋   𝑦, 0   𝑦, 1   𝑦,𝑅   𝑓,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   Β· (𝑦,𝑓)   1 (𝑓)   𝐼(𝑦)   π‘Š(𝑦,𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmonmul
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplmon.s . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mplmon.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
3 eqid 2726 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4 mplmonmul.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
5 mplmon.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
6 mplmon.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
7 mplmon.o . . . 4 1 = (1rβ€˜π‘…)
8 mplmon.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
9 mplmon.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
10 mplmon.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
111, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10mplmon 21932 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ 𝐡)
12 mplmonmul.x . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
131, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12mplmon 21932 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 )) ∈ 𝐡)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 13mplmul 21912 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))))
15 eqeq1 2730 . . . . 5 (𝑦 = π‘˜ β†’ (𝑦 = (𝑋 ∘f + π‘Œ) ↔ π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
1615ifbid 4546 . . . 4 (𝑦 = π‘˜ β†’ if(𝑦 = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ) = if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ))
1716cbvmptv 5254 . . 3 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ))
18 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
1918snssd 4807 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ {𝑋} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
2019resmptd 6034 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋}) = (𝑗 ∈ {𝑋} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))
2120oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋})) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑋} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
229ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23 ringmnd 20148 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
2510ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
26 iftrue 4529 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 β†’ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) = 1 )
27 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))
287fvexi 6899 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6992 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹) = 1 )
3025, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹) = 1 )
31 ssrab2 4072 . . . . . . . . . . . . 13 {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βŠ† 𝐷
32 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
33 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}
345, 33psrbagconcl 21828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
3532, 18, 34syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
3631, 35sselid 3975 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷)
37 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) β†’ (𝑦 = π‘Œ ↔ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ))
3837ifbid 4546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) β†’ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ) = if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ))
39 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))
406fvexi 6899 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
4128, 40ifex 4573 . . . . . . . . . . . . 13 if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ) ∈ V
4238, 39, 41fvmpt 6992 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋)) = if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ))
4336, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋)) = if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ))
4430, 43oveq12d 7423 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))) = ( 1 (.rβ€˜π‘…)if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 )))
45 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4645, 7ringidcl 20165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4745, 6ring0cl 20166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4846, 47ifcld 4569 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4922, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5045, 3, 7ringlidm 20168 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 )) = if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ))
5122, 49, 50syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 )) = if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ))
525psrbagf 21812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ 𝐷 β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
5332, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
5453ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0)
5510adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
565psrbagf 21812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
5857ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„•0)
5958adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„•0)
605psrbagf 21812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Œ ∈ 𝐷 β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
6112, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
6362ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
6463adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
65 nn0cn 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„‚)
66 nn0cn 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„‚)
67 nn0cn 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
68 subadd 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘Œβ€˜π‘§) ↔ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)) = (π‘˜β€˜π‘§)))
6965, 66, 67, 68syl3an 1157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘Œβ€˜π‘§) ↔ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)) = (π‘˜β€˜π‘§)))
7054, 59, 64, 69syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘Œβ€˜π‘§) ↔ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)) = (π‘˜β€˜π‘§)))
71 eqcom 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)) = (π‘˜β€˜π‘§) ↔ (π‘˜β€˜π‘§) = ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)))
7270, 71bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘Œβ€˜π‘§) ↔ (π‘˜β€˜π‘§) = ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))))
7372ralbidva 3169 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘Œβ€˜π‘§) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘˜β€˜π‘§) = ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))))
74 mpteqb 7011 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) ∈ V β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘Œβ€˜π‘§)))
75 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) ∈ V)
7674, 75mprg 3061 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘Œβ€˜π‘§))
77 mpteqb 7011 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘˜β€˜π‘§) ∈ V β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜β€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘˜β€˜π‘§) = ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))))
78 fvexd 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ V)
7977, 78mprg 3061 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜β€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘˜β€˜π‘§) = ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)))
8073, 76, 793bitr4g 314 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘§)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜β€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)))))
818ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
8253feqmptd 6954 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜ = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜β€˜π‘§)))
8357feqmptd 6954 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘§)))
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑋 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘§)))
8581, 54, 59, 82, 84offval2 7687 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))))
8662feqmptd 6954 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘Œ = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘§)))
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘Œ = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘§)))
8885, 87eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘§))))
898adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
9089, 58, 63, 83, 86offval2 7687 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))))
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))))
9282, 91eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜β€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)))))
9380, 88, 923bitr4d 311 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ ↔ π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
9493ifbid 4546 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ) = if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ))
9544, 51, 943eqtrd 2770 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))) = if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ))
9694, 49eqeltrrd 2828 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
9795, 96eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
98 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑋 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹))
99 oveq2 7413 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑋 β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))
10099fveq2d 6889 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑋 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋)))
10198, 100oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑋 β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) = (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))))
10245, 101gsumsn 19874 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑋} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))) = (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))))
10324, 25, 97, 102syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑋} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))) = (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))))
10421, 103, 953eqtrd 2770 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋})) = if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ))
1056gsum0 18617 . . . . . . 7 (𝑅 Ξ£g βˆ…) = 0
106 disjsn 4710 . . . . . . . . 9 (({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∩ {𝑋}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
1079ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1081, 45, 2, 5, 11mplelf 21899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
109108ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
110 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
11131, 110sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
112109, 111ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1131, 45, 2, 5, 13mplelf 21899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
114113ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
115 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
1165, 33psrbagconcl 21828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
117115, 110, 116syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
11831, 117sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷)
119114, 118ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
12045, 3ringcl 20155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
121107, 112, 119, 120syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
122121fmpttd 7110 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}⟢(Baseβ€˜π‘…))
123 ffn 6711 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}⟢(Baseβ€˜π‘…) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) Fn {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
124 fnresdisj 6664 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) Fn {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} β†’ (({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∩ {𝑋}) = βˆ… ↔ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋}) = βˆ…))
125122, 123, 1243syl 18 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∩ {𝑋}) = βˆ… ↔ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋}) = βˆ…))
126125biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∩ {𝑋}) = βˆ…) β†’ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋}) = βˆ…)
127106, 126sylan2br 594 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋}) = βˆ…)
128127oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋})) = (𝑅 Ξ£g βˆ…))
129 breq1 5144 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ↔ 𝑋 ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
13058nn0red 12537 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ ℝ)
131 nn0addge1 12522 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘‹β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)))
132130, 63, 131syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)))
133132ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)))
134 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)) ∈ V)
13589, 58, 134, 83, 90ofrfval2 7688 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋 ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))))
136133, 135mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ))
137129, 55, 136elrabd 3680 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ)})
138 breq2 5145 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∘r ≀ π‘˜ ↔ π‘₯ ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
139138rabbidv 3434 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ)})
140139eleq2d 2813 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↔ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ)}))
141137, 140syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}))
142141con3dimp 408 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ Β¬ π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ))
143142iffalsed 4534 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ) = 0 )
144105, 128, 1433eqtr4a 2792 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋})) = if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ))
145104, 144pm2.61dan 810 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋})) = if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ))
1469adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
147 ringcmn 20181 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
148146, 147syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
1495psrbaglefi 21826 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝐷 β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∈ Fin)
150149adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∈ Fin)
151 ssdif 4134 . . . . . . . . . . . 12 ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βŠ† 𝐷 β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋}) βŠ† (𝐷 βˆ– {𝑋}))
15231, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋}) βŠ† (𝐷 βˆ– {𝑋})
153152sseli 3973 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑗 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑋}))
154108adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
155 eldifsni 4788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑦 β‰  𝑋)
156155adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑦 β‰  𝑋)
157156neneqd 2939 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑋})) β†’ Β¬ 𝑦 = 𝑋)
158157iffalsed 4534 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑋})) β†’ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) = 0 )
159 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1605, 159rabex2 5327 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ V
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ V)
162158, 161suppss2 8186 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) supp 0 ) βŠ† {𝑋})
16340a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ V)
164154, 162, 161, 163suppssr 8181 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—) = 0 )
165153, 164sylan2 592 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—) = 0 )
166165oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋})) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) = ( 0 (.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))
167 eldifi 4121 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
16845, 3, 6ringlz 20192 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) = 0 )
169107, 119, 168syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) = 0 )
170167, 169sylan2 592 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋})) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) = 0 )
171166, 170eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋})) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) = 0 )
172160rabex 5325 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∈ V
173172a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∈ V)
174171, 173suppss2 8186 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) supp 0 ) βŠ† {𝑋})
175160mptrabex 7222 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) ∈ V
176 funmpt 6580 . . . . . . . . 9 Fun (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))
177175, 176, 403pm3.2i 1336 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) ∧ 0 ∈ V)
178177a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) ∧ 0 ∈ V))
179 snfi 9046 . . . . . . . 8 {𝑋} ∈ Fin
180179a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ {𝑋} ∈ Fin)
181 suppssfifsupp 9380 . . . . . . 7 ((((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({𝑋} ∈ Fin ∧ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) supp 0 ) βŠ† {𝑋})) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) finSupp 0 )
182178, 180, 174, 181syl12anc 834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) finSupp 0 )
18345, 6, 148, 150, 122, 174, 182gsumres 19833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋})) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
184145, 183eqtr3d 2768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
185184mpteq2dva 5241 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))))
18617, 185eqtrid 2778 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))))
18714, 186eqtr4d 2769 1 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   ∘r cofr 7666   supp csupp 8146   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  β„‚cc 11110  β„cr 11111   + caddc 11115   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  0gc0g 17394   Ξ£g cgsu 17395  Mndcmnd 18667  CMndccmn 19700  1rcur 20086  Ringcrg 20138   mPoly cmpl 21800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-tset 17225  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-psr 21803  df-mpl 21805
This theorem is referenced by:  mplcoe3  21935  mplcoe5  21937  mplmon2mul  21972
  Copyright terms: Public domain W3C validator