MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mplmonmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmonmul 21981
Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of (π‘₯↑2)(𝑦↑2) with (𝑦↑1)(𝑧↑3) is (π‘₯↑2)(𝑦↑3)(𝑧↑3), where the exponent vectors ⟨2, 2, 0⟩ and ⟨0, 1, 3⟩ are added to give ⟨2, 3, 3⟩. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmon.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
mplmon.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
mplmon.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
mplmon.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
mplmon.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
mplmon.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mplmon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
mplmonmul.t Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
mplmonmul.x (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
Assertion
Ref Expression
mplmonmul (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 )))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐷   𝑓,𝐼   πœ‘,𝑦   𝑦,𝑓,𝑋   𝑦, 0   𝑦, 1   𝑦,𝑅   𝑓,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑓)   𝐡(𝑦,𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑃(𝑦,𝑓)   𝑅(𝑓)   Β· (𝑦,𝑓)   1 (𝑓)   𝐼(𝑦)   π‘Š(𝑦,𝑓)   0 (𝑓)

Proof of Theorem mplmonmul
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘₯ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplmon.s . . 3 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2 mplmon.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
3 eqid 2725 . . 3 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4 mplmonmul.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘ƒ)
5 mplmon.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
6 mplmon.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
7 mplmon.o . . . 4 1 = (1rβ€˜π‘…)
8 mplmon.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
9 mplmon.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
10 mplmon.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
111, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10mplmon 21980 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) ∈ 𝐡)
12 mplmonmul.x . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐷)
131, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12mplmon 21980 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 )) ∈ 𝐡)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 13mplmul 21960 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))))
15 eqeq1 2729 . . . . 5 (𝑦 = π‘˜ β†’ (𝑦 = (𝑋 ∘f + π‘Œ) ↔ π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
1615ifbid 4547 . . . 4 (𝑦 = π‘˜ β†’ if(𝑦 = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ) = if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ))
1716cbvmptv 5256 . . 3 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ))
18 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
1918snssd 4808 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ {𝑋} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
2019resmptd 6039 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋}) = (𝑗 ∈ {𝑋} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))
2120oveq2d 7432 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋})) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑋} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
229ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23 ringmnd 20187 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
2510ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
26 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 β†’ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) = 1 )
27 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))
287fvexi 6906 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 7000 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹) = 1 )
3025, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹) = 1 )
31 ssrab2 4069 . . . . . . . . . . . . 13 {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βŠ† 𝐷
32 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
33 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}
345, 33psrbagconcl 21871 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
3532, 18, 34syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
3631, 35sselid 3970 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷)
37 eqeq1 2729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) β†’ (𝑦 = π‘Œ ↔ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ))
3837ifbid 4547 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) β†’ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ) = if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ))
39 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 )) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))
406fvexi 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ V
4128, 40ifex 4574 . . . . . . . . . . . . 13 if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ) ∈ V
4238, 39, 41fvmpt 7000 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) ∈ 𝐷 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋)) = if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ))
4336, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋)) = if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ))
4430, 43oveq12d 7434 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))) = ( 1 (.rβ€˜π‘…)if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 )))
45 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4645, 7ringidcl 20206 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 1 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4745, 6ring0cl 20207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4846, 47ifcld 4570 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4922, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5045, 3, 7ringlidm 20209 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 )) = if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ))
5122, 49, 50syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ( 1 (.rβ€˜π‘…)if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 )) = if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ))
525psrbagf 21855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ 𝐷 β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
5332, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜:πΌβŸΆβ„•0)
5453ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0)
5510adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
565psrbagf 21855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ 𝐷 β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
5857ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„•0)
5958adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„•0)
605psrbagf 21855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Œ ∈ 𝐷 β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
6112, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
6261adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘Œ:πΌβŸΆβ„•0)
6362ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
6463adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0)
65 nn0cn 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„‚)
66 nn0cn 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„‚)
67 nn0cn 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0 β†’ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
68 subadd 11493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„‚ ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘Œβ€˜π‘§) ↔ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)) = (π‘˜β€˜π‘§)))
6965, 66, 67, 68syl3an 1157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘˜β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ β„•0 ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ (((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘Œβ€˜π‘§) ↔ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)) = (π‘˜β€˜π‘§)))
7054, 59, 64, 69syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘Œβ€˜π‘§) ↔ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)) = (π‘˜β€˜π‘§)))
71 eqcom 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)) = (π‘˜β€˜π‘§) ↔ (π‘˜β€˜π‘§) = ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)))
7270, 71bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘Œβ€˜π‘§) ↔ (π‘˜β€˜π‘§) = ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))))
7372ralbidva 3166 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘Œβ€˜π‘§) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘˜β€˜π‘§) = ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))))
74 mpteqb 7019 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) ∈ V β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘Œβ€˜π‘§)))
75 ovexd 7451 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) ∈ V)
7674, 75mprg 3057 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘§)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§)) = (π‘Œβ€˜π‘§))
77 mpteqb 7019 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘˜β€˜π‘§) ∈ V β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜β€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘˜β€˜π‘§) = ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))))
78 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ (π‘˜β€˜π‘§) ∈ V)
7977, 78mprg 3057 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜β€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘˜β€˜π‘§) = ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)))
8073, 76, 793bitr4g 313 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘§)) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜β€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)))))
818ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
8253feqmptd 6962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜ = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜β€˜π‘§)))
8357feqmptd 6962 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘§)))
8483adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑋 = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘§)))
8581, 54, 59, 82, 84offval2 7702 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))))
8662feqmptd 6962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ π‘Œ = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘§)))
8786adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘Œ = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘§)))
8885, 87eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘˜β€˜π‘§) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘Œβ€˜π‘§))))
898adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
9089, 58, 63, 83, 86offval2 7702 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))))
9190adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑋 ∘f + π‘Œ) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))))
9282, 91eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ) ↔ (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜β€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)))))
9380, 88, 923bitr4d 310 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ ↔ π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
9493ifbid 4547 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ if((π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋) = π‘Œ, 1 , 0 ) = if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ))
9544, 51, 943eqtrd 2769 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))) = if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ))
9694, 49eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
9795, 96eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
98 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑋 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹))
99 oveq2 7424 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑋 β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) = (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))
10099fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑋 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) = ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋)))
10198, 100oveq12d 7434 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑋 β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) = (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))))
10245, 101gsumsn 19913 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐷 ∧ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑋} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))) = (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))))
10324, 25, 97, 102syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {𝑋} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))) = (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑋))))
10421, 103, 953eqtrd 2769 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋})) = if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ))
1056gsum0 18643 . . . . . . 7 (𝑅 Ξ£g βˆ…) = 0
106 disjsn 4711 . . . . . . . . 9 (({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∩ {𝑋}) = βˆ… ↔ Β¬ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
1079ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1081, 45, 2, 5, 11mplelf 21947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
109108ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
110 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
11131, 110sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ 𝑗 ∈ 𝐷)
112109, 111ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1131, 45, 2, 5, 13mplelf 21947 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
114113ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
115 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ π‘˜ ∈ 𝐷)
1165, 33psrbagconcl 21871 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
117115, 110, 116syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
11831, 117sselid 3970 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗) ∈ 𝐷)
119114, 118ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
12045, 3ringcl 20194 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
121107, 112, 119, 120syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
122121fmpttd 7120 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}⟢(Baseβ€˜π‘…))
123 ffn 6717 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))):{π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}⟢(Baseβ€˜π‘…) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) Fn {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
124 fnresdisj 6670 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) Fn {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} β†’ (({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∩ {𝑋}) = βˆ… ↔ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋}) = βˆ…))
125122, 123, 1243syl 18 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∩ {𝑋}) = βˆ… ↔ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋}) = βˆ…))
126125biimpa 475 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∩ {𝑋}) = βˆ…) β†’ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋}) = βˆ…)
127106, 126sylan2br 593 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋}) = βˆ…)
128127oveq2d 7432 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋})) = (𝑅 Ξ£g βˆ…))
129 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ↔ 𝑋 ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
13058nn0red 12563 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ∈ ℝ)
131 nn0addge1 12548 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘‹β€˜π‘§) ∈ ℝ ∧ (π‘Œβ€˜π‘§) ∈ β„•0) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)))
132130, 63, 131syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)))
133132ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)))
134 ovexd 7451 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§)) ∈ V)
13589, 58, 134, 83, 90ofrfval2 7703 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑋 ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐼 (π‘‹β€˜π‘§) ≀ ((π‘‹β€˜π‘§) + (π‘Œβ€˜π‘§))))
136133, 135mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ))
137129, 55, 136elrabd 3676 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ)})
138 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ) β†’ (π‘₯ ∘r ≀ π‘˜ ↔ π‘₯ ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ)))
139138rabbidv 3427 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ)})
140139eleq2d 2811 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↔ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ (𝑋 ∘f + π‘Œ)}))
141137, 140syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}))
142141con3dimp 407 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ Β¬ π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ))
143142iffalsed 4535 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ) = 0 )
144105, 128, 1433eqtr4a 2791 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ Β¬ 𝑋 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋})) = if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ))
145104, 144pm2.61dan 811 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋})) = if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ))
1469adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
147 ringcmn 20222 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
148146, 147syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
1495psrbaglefi 21869 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ 𝐷 β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∈ Fin)
150149adantl 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∈ Fin)
151 ssdif 4132 . . . . . . . . . . . 12 ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βŠ† 𝐷 β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋}) βŠ† (𝐷 βˆ– {𝑋}))
15231, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋}) βŠ† (𝐷 βˆ– {𝑋})
153152sseli 3968 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑗 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑋}))
154108adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )):𝐷⟢(Baseβ€˜π‘…))
155 eldifsni 4789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑦 β‰  𝑋)
156155adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑦 β‰  𝑋)
157156neneqd 2935 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑋})) β†’ Β¬ 𝑦 = 𝑋)
158157iffalsed 4535 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑦 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑋})) β†’ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ) = 0 )
159 ovex 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
1605, 159rabex2 5331 . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 ∈ V
161160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 𝐷 ∈ V)
162158, 161suppss2 8204 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) supp 0 ) βŠ† {𝑋})
16340a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ V)
164154, 162, 161, 163suppssr 8199 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ (𝐷 βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—) = 0 )
165153, 164sylan2 591 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—) = 0 )
166165oveq1d 7431 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋})) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) = ( 0 (.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))
167 eldifi 4119 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜})
16845, 3, 6ringlz 20233 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) = 0 )
169107, 119, 168syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜}) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) = 0 )
170167, 169sylan2 591 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋})) β†’ ( 0 (.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) = 0 )
171166, 170eqtrd 2765 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) ∧ 𝑗 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} βˆ– {𝑋})) β†’ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))) = 0 )
172160rabex 5329 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∈ V
173172a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ∈ V)
174171, 173suppss2 8204 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) supp 0 ) βŠ† {𝑋})
175160mptrabex 7233 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) ∈ V
176 funmpt 6586 . . . . . . . . 9 Fun (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))
177175, 176, 403pm3.2i 1336 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) ∧ 0 ∈ V)
178177a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) ∧ 0 ∈ V))
179 snfi 9067 . . . . . . . 8 {𝑋} ∈ Fin
180179a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ {𝑋} ∈ Fin)
181 suppssfifsupp 9403 . . . . . . 7 ((((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) ∧ 0 ∈ V) ∧ ({𝑋} ∈ Fin ∧ ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) supp 0 ) βŠ† {𝑋})) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) finSupp 0 )
182178, 180, 174, 181syl12anc 835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) finSupp 0 )
18345, 6, 148, 150, 122, 174, 182gsumres 19872 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))) β†Ύ {𝑋})) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
184145, 183eqtr3d 2767 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐷) β†’ if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 ) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗))))))
185184mpteq2dva 5243 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ if(π‘˜ = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))))
18617, 185eqtrid 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 )) = (π‘˜ ∈ 𝐷 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ π‘₯ ∘r ≀ π‘˜} ↦ (((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 ))β€˜π‘—)(.rβ€˜π‘…)((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))β€˜(π‘˜ ∘f βˆ’ 𝑗)))))))
18714, 186eqtr4d 2768 1 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = 𝑋, 1 , 0 )) Β· (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = π‘Œ, 1 , 0 ))) = (𝑦 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑦 = (𝑋 ∘f + π‘Œ), 1 , 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3936   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680   ∘r cofr 7681   supp csupp 8163   ↑m cmap 8843  Fincfn 8962   finSupp cfsupp 9385  β„‚cc 11136  β„cr 11137   + caddc 11141   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  β„•cn 12242  β„•0cn0 12502  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  0gc0g 17420   Ξ£g cgsu 17421  Mndcmnd 18693  CMndccmn 19739  1rcur 20125  Ringcrg 20177   mPoly cmpl 21843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-tset 17251  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-psr 21846  df-mpl 21848
This theorem is referenced by:  mplcoe3  21983  mplcoe5  21985  mplmon2mul  22020
  Copyright terms: Public domain W3C validator