MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrass23 19878
Description: Associative identities for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrcom.c (𝜑𝑅 ∈ CRing)
psrass.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrass.n · = ( ·𝑠𝑆)
psrass.a (𝜑𝐴𝐾)
Assertion
Ref Expression
psrass23 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) ∧ (𝑋 × (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   × (𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrass23
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrring.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 psrring.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 psrass.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
6 psrass.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
7 psrass.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
8 psrass.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
9 psrass.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
10 psrass.n . . 3 · = ( ·𝑠𝑆)
11 psrass.a . . 3 (𝜑𝐴𝐾)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11psrass23l 19876 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))
13 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1511adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝐴𝐾)
1615, 9syl6eleq 2893 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
188ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌𝐵)
19 ssrab2 3977 . . . . . . . . . . 11 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ⊆ 𝐷
202ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝐼𝑉)
21 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑘𝐷)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
23 eqid 2795 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} = {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}
244, 23psrbagconcl 19841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
2520, 21, 22, 24syl3anc 1364 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
2619, 25sseldi 3887 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑘𝑓𝑥) ∈ 𝐷)
271, 10, 13, 6, 14, 4, 17, 18, 26psrvscaval 19860 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥)) = (𝐴(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
2827oveq2d 7032 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥))) = ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))
297ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑋𝐵)
301, 13, 4, 6, 29psrelbas 19847 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
3119, 22sseldi 3887 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑥𝐷)
3230, 31ffvelrnd 6717 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
331, 13, 4, 6, 18psrelbas 19847 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
3433, 26ffvelrnd 6717 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
35 psrcom.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
3635ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ CRing)
3713, 14crngcom 19002 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
38373expb 1113 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
3936, 38sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
403ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
4113, 14ringass 19004 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑢(.r𝑅)𝑣)(.r𝑅)𝑤) = (𝑢(.r𝑅)(𝑣(.r𝑅)𝑤)))
4240, 41sylan 580 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑢(.r𝑅)𝑣)(.r𝑅)𝑤) = (𝑢(.r𝑅)(𝑣(.r𝑅)𝑤)))
4332, 17, 34, 39, 42caov12d 7225 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))
4428, 43eqtrd 2831 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥))) = (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))
4544mpteq2dva 5055 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))
4645oveq2d 7032 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
47 eqid 2795 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
48 eqid 2795 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
493adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
504psrbaglefi 19840 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
512, 50sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin)
5213, 14ringcl 19001 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5340, 32, 34, 52syl3anc 1364 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
54 ovex 7048 . . . . . . . . . . 11 (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V
554, 54rabex2 5128 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ V
5655mptrabex 6854 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∈ V
57 funmpt 6263 . . . . . . . . 9 Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
58 fvex 6551 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
5956, 57, 583pm3.2i 1332 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V)
6059a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V))
61 suppssdm 7694 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
62 eqid 2795 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))
6362dmmptss 5970 . . . . . . . . 9 dom (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ⊆ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}
6461, 63sstri 3898 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘}
6564a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})
66 suppssfifsupp 8694 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘})) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) finSupp (0g𝑅))
6760, 51, 65, 66syl12anc 833 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))) finSupp (0g𝑅))
6813, 47, 48, 14, 49, 51, 16, 53, 67gsummulc2 19047 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
6946, 68eqtrd 2831 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥))))) = (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
7069mpteq2dva 5055 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
711, 10, 9, 6, 3, 11, 8psrvscacl 19861 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝐵)
721, 6, 14, 5, 4, 7, 71psrmulfval 19853 . . 3 (𝜑 → (𝑋 × (𝐴 · 𝑌)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
731, 6, 5, 3, 7, 8psrmulcl 19856 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
741, 10, 9, 6, 14, 4, 11, 73psrvsca 19859 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐷 × {𝐴}) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
7555a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ V)
76 ovex 7048 . . . . . 6 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V
7776a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))) ∈ V)
78 fconstmpt 5500 . . . . . 6 (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘𝐷𝐴)
7978a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘𝐷𝐴))
801, 6, 14, 5, 4, 7, 8psrmulfval 19853 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥)))))))
8175, 15, 77, 79, 80offval2 7284 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 × {𝐴}) ∘𝑓 (.r𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
8274, 81eqtrd 2831 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦𝑟𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘𝑓𝑥))))))))
8370, 72, 823eqtr4d 2841 . 2 (𝜑 → (𝑋 × (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))
8412, 83jca 512 1 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) ∧ (𝑋 × (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  {crab 3109  Vcvv 3437  wss 3859  {csn 4472   class class class wbr 4962  cmpt 5041   × cxp 5441  ccnv 5442  dom cdm 5443  cima 5446  Fun wfun 6219  cfv 6225  (class class class)co 7016  𝑓 cof 7265  𝑟 cofr 7266   supp csupp 7681  𝑚 cmap 8256  Fincfn 8357   finSupp cfsupp 8679  cle 10522  cmin 10717  cn 11486  0cn0 11745  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  .rcmulr 16395   ·𝑠 cvsca 16398  0gc0g 16542   Σg cgsu 16543  Ringcrg 18987  CRingccrg 18988   mPwSer cmps 19819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-ofr 7268  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-hash 13541  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-tset 16413  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-ghm 18097  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-cring 18990  df-psr 19824
This theorem is referenced by:  psrassa  19882
  Copyright terms: Public domain W3C validator