MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrass23 21395
Description: Associative identities for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
psrring.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘‰)
psrring.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
psrass.d ๐ท = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
psrass.t ร— = (.rโ€˜๐‘†)
psrass.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
psrass.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
psrass.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
psrcom.c (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
psrass.k ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
psrass.n ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
psrass.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
Assertion
Ref Expression
psrass23 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โˆง (๐‘‹ ร— (๐ด ยท ๐‘Œ)) = (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
Distinct variable groups:   ๐‘“,๐ผ   ๐‘…,๐‘“   ๐‘“,๐‘‹   ๐‘“,๐‘Œ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘“)   ๐ด(๐‘“)   ๐ต(๐‘“)   ๐ท(๐‘“)   ๐‘†(๐‘“)   ยท (๐‘“)   ร— (๐‘“)   ๐พ(๐‘“)   ๐‘‰(๐‘“)

Proof of Theorem psrass23
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘˜ ๐‘ฆ ๐‘ค ๐‘ข ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . 3 ๐‘† = (๐ผ mPwSer ๐‘…)
2 psrring.i . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘‰)
3 psrring.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
4 psrass.d . . 3 ๐ท = {๐‘“ โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—ก๐‘“ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
5 psrass.t . . 3 ร— = (.rโ€˜๐‘†)
6 psrass.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘†)
7 psrass.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
8 psrass.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
9 psrass.k . . 3 ๐พ = (Baseโ€˜๐‘…)
10 psrass.n . . 3 ยท = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘†)
11 psrass.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11psrass23l 21393 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
13 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
1511adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐พ)
1615, 9eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
1716adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐ด โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
188ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
19 ssrab2 4038 . . . . . . . . . . 11 {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โŠ† ๐ท
20 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ท)
21 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})
22 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} = {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}
234, 22psrbagconcl 21352 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})
2420, 21, 23syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})
2519, 24sselid 3943 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ ๐ท)
261, 10, 13, 6, 14, 4, 17, 18, 25psrvscaval 21376 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))
2726oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))) = ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))
287ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
291, 13, 4, 6, 28psrelbas 21363 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘‹:๐ทโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3019, 21sselid 3943 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ท)
3129, 30ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘‹โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
321, 13, 4, 6, 18psrelbas 21363 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘Œ:๐ทโŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
3332, 25ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ (๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
34 psrcom.c . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
3534ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
3613, 14crngcom 19987 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฃ) = (๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ข))
37363expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฃ) = (๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ข))
3835, 37sylan 581 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ (๐‘ข(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฃ) = (๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ข))
393ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
4013, 14ringass 19989 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ค)))
4139, 40sylan 581 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โˆง (๐‘ข โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฃ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ค โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))) โ†’ ((๐‘ข(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฃ)(.rโ€˜๐‘…)๐‘ค) = (๐‘ข(.rโ€˜๐‘…)(๐‘ฃ(.rโ€˜๐‘…)๐‘ค)))
4231, 17, 33, 38, 41caov12d 7576 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))
4327, 42eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))
4443mpteq2dva 5206 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))))
4544oveq2d 7374 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
46 eqid 2733 . . . . . 6 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
47 eqid 2733 . . . . . 6 (+gโ€˜๐‘…) = (+gโ€˜๐‘…)
483adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
494psrbaglefi 21350 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โˆˆ Fin)
5049adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โˆˆ Fin)
5113, 14ringcl 19986 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
5239, 31, 33, 51syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}) โ†’ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
53 ovex 7391 . . . . . . . . . . 11 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
544, 53rabex2 5292 . . . . . . . . . 10 ๐ท โˆˆ V
5554mptrabex 7176 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆˆ V
56 funmpt 6540 . . . . . . . . 9 Fun (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))
57 fvex 6856 . . . . . . . . 9 (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V
5855, 56, 573pm3.2i 1340 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆง (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
5958a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆง (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V))
60 suppssdm 8109 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) supp (0gโ€˜๐‘…)) โŠ† dom (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))
61 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) = (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))
6261dmmptss 6194 . . . . . . . . 9 dom (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โŠ† {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}
6360, 62sstri 3954 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) supp (0gโ€˜๐‘…)) โŠ† {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜}
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) supp (0gโ€˜๐‘…)) โŠ† {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})
65 suppssfifsupp 9325 . . . . . . 7 ((((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆˆ V โˆง Fun (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) โˆง (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V) โˆง ({๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โˆˆ Fin โˆง ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) supp (0gโ€˜๐‘…)) โŠ† {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜})) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
6659, 50, 64, 65syl12anc 836 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))) finSupp (0gโ€˜๐‘…))
6713, 46, 47, 14, 48, 50, 16, 52, 66gsummulc2 20036 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
6845, 67eqtrd 2773 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))) = (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
6968mpteq2dva 5206 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))))))
701, 10, 9, 6, 3, 11, 8psrvscacl 21377 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
711, 6, 14, 5, 4, 7, 70psrmulfval 21369 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— (๐ด ยท ๐‘Œ)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)((๐ด ยท ๐‘Œ)โ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
721, 6, 5, 3, 7, 8psrmulcl 21372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
731, 10, 9, 6, 14, 4, 11, 72psrvsca 21375 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = ((๐ท ร— {๐ด}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
7454a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ V)
75 ovex 7391 . . . . . 6 (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))) โˆˆ V
7675a1i 11 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))) โˆˆ V)
77 fconstmpt 5695 . . . . . 6 (๐ท ร— {๐ด}) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐ด)
7877a1i 11 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ร— {๐ด}) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ ๐ด))
791, 6, 14, 5, 4, 7, 8psrmulfval 21369 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— ๐‘Œ) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ)))))))
8074, 15, 76, 78, 79offval2 7638 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ร— {๐ด}) โˆ˜f (.rโ€˜๐‘…)(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))))))
8173, 80eqtrd 2773 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) = (๐‘˜ โˆˆ ๐ท โ†ฆ (๐ด(.rโ€˜๐‘…)(๐‘… ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆฃ ๐‘ฆ โˆ˜r โ‰ค ๐‘˜} โ†ฆ ((๐‘‹โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘Œโ€˜(๐‘˜ โˆ˜f โˆ’ ๐‘ฅ))))))))
8269, 71, 813eqtr4d 2783 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ร— (๐ด ยท ๐‘Œ)) = (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)))
8312, 82jca 513 1 (๐œ‘ โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) ร— ๐‘Œ) = (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ)) โˆง (๐‘‹ ร— (๐ด ยท ๐‘Œ)) = (๐ด ยท (๐‘‹ ร— ๐‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   โŠ† wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189   ร— cxp 5632  โ—กccnv 5633  dom cdm 5634   โ€œ cima 5637  Fun wfun 6491  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   โˆ˜f cof 7616   โˆ˜r cofr 7617   supp csupp 8093   โ†‘m cmap 8768  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9308   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  .rcmulr 17139   ยท๐‘  cvsca 17142  0gc0g 17326   ฮฃg cgsu 17327  Ringcrg 19969  CRingccrg 19970   mPwSer cmps 21322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-tset 17157  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-psr 21327
This theorem is referenced by:  psrassa  21399
  Copyright terms: Public domain W3C validator