Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrass23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrass23 20652
 Description: Associative identities for the ring of power series. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
psrring.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrring.i (𝜑𝐼𝑉)
psrring.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
psrass.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrass.t × = (.r𝑆)
psrass.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrass.x (𝜑𝑋𝐵)
psrass.y (𝜑𝑌𝐵)
psrcom.c (𝜑𝑅 ∈ CRing)
psrass.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrass.n · = ( ·𝑠𝑆)
psrass.a (𝜑𝐴𝐾)
Assertion
Ref Expression
psrass23 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) ∧ (𝑋 × (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑅,𝑓   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑓)   · (𝑓)   × (𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrass23
Dummy variables 𝑥 𝑘 𝑦 𝑤 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 psrring.s . . 3 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 psrring.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 psrring.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
4 psrass.d . . 3 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
5 psrass.t . . 3 × = (.r𝑆)
6 psrass.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
7 psrass.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
8 psrass.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
9 psrass.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑅)
10 psrass.n . . 3 · = ( ·𝑠𝑆)
11 psrass.a . . 3 (𝜑𝐴𝐾)
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11psrass23l 20650 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))
13 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
14 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1511adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝐴𝐾)
1615, 9eleqtrdi 2900 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
1716adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
188ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌𝐵)
19 ssrab2 4007 . . . . . . . . . . 11 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ⊆ 𝐷
202ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝐼𝑉)
21 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑘𝐷)
22 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
23 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦𝐷𝑦r𝑘} = {𝑦𝐷𝑦r𝑘}
244, 23psrbagconcl 20615 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑘𝐷𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
2520, 21, 22, 24syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
2619, 25sseldi 3913 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑘f𝑥) ∈ 𝐷)
271, 10, 13, 6, 14, 4, 17, 18, 26psrvscaval 20634 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘f𝑥)) = (𝐴(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))
2827oveq2d 7151 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘f𝑥))) = ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))
297ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑋𝐵)
301, 13, 4, 6, 29psrelbas 20621 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑋:𝐷⟶(Base‘𝑅))
3119, 22sseldi 3913 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑥𝐷)
3230, 31ffvelrnd 6829 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
331, 13, 4, 6, 18psrelbas 20621 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑌:𝐷⟶(Base‘𝑅))
3433, 26ffvelrnd 6829 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅))
35 psrcom.c . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑅 ∈ CRing)
3713, 14crngcom 19311 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
38373expb 1117 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
3936, 38sylan 583 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑢(.r𝑅)𝑣) = (𝑣(.r𝑅)𝑢))
403ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → 𝑅 ∈ Ring)
4113, 14ringass 19313 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑢(.r𝑅)𝑣)(.r𝑅)𝑤) = (𝑢(.r𝑅)(𝑣(.r𝑅)𝑤)))
4240, 41sylan 583 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) ∧ (𝑢 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑤 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑢(.r𝑅)𝑣)(.r𝑅)𝑤) = (𝑢(.r𝑅)(𝑣(.r𝑅)𝑤)))
4332, 17, 34, 39, 42caov12d 7350 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝐴(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) = (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))
4428, 43eqtrd 2833 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘f𝑥))) = (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))
4544mpteq2dva 5125 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))))
4645oveq2d 7151 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘f𝑥))))) = (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
47 eqid 2798 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
48 eqid 2798 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
493adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → 𝑅 ∈ Ring)
504psrbaglefi 20614 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
512, 50sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin)
5213, 14ringcl 19310 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑌‘(𝑘f𝑥)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
5340, 32, 34, 52syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝐷) ∧ 𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}) → ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
54 ovex 7168 . . . . . . . . . . 11 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
554, 54rabex2 5201 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ V
5655mptrabex 6965 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∈ V
57 funmpt 6362 . . . . . . . . 9 Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))
58 fvex 6658 . . . . . . . . 9 (0g𝑅) ∈ V
5956, 57, 583pm3.2i 1336 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V)
6059a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V))
61 suppssdm 7828 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ dom (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))
62 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))
6362dmmptss 6062 . . . . . . . . 9 dom (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ⊆ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}
6461, 63sstri 3924 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦r𝑘}
6564a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})
66 suppssfifsupp 8834 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∈ V ∧ Fun (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) ∧ (0g𝑅) ∈ V) ∧ ({𝑦𝐷𝑦r𝑘} ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑦𝐷𝑦r𝑘})) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) finSupp (0g𝑅))
6760, 51, 65, 66syl12anc 835 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))) finSupp (0g𝑅))
6813, 47, 48, 14, 49, 51, 16, 53, 67gsummulc2 19356 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ (𝐴(.r𝑅)((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))) = (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
6946, 68eqtrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘f𝑥))))) = (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
7069mpteq2dva 5125 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘f𝑥)))))) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))))))
711, 10, 9, 6, 3, 11, 8psrvscacl 20635 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝐵)
721, 6, 14, 5, 4, 7, 71psrmulfval 20627 . . 3 (𝜑 → (𝑋 × (𝐴 · 𝑌)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)((𝐴 · 𝑌)‘(𝑘f𝑥)))))))
731, 6, 5, 3, 7, 8psrmulcl 20630 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ 𝐵)
741, 10, 9, 6, 14, 4, 11, 73psrvsca 20633 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐷 × {𝐴}) ∘f (.r𝑅)(𝑋 × 𝑌)))
7555a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ V)
76 ovex 7168 . . . . . 6 (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))) ∈ V
7776a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐷) → (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))) ∈ V)
78 fconstmpt 5578 . . . . . 6 (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘𝐷𝐴)
7978a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 × {𝐴}) = (𝑘𝐷𝐴))
801, 6, 14, 5, 4, 7, 8psrmulfval 20627 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (𝑘𝐷 ↦ (𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥)))))))
8175, 15, 77, 79, 80offval2 7408 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 × {𝐴}) ∘f (.r𝑅)(𝑋 × 𝑌)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))))))
8274, 81eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) = (𝑘𝐷 ↦ (𝐴(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑥 ∈ {𝑦𝐷𝑦r𝑘} ↦ ((𝑋𝑥)(.r𝑅)(𝑌‘(𝑘f𝑥))))))))
8370, 72, 823eqtr4d 2843 . 2 (𝜑 → (𝑋 × (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)))
8412, 83jca 515 1 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋) × 𝑌) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌)) ∧ (𝑋 × (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋 × 𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  ◡ccnv 5518  dom cdm 5519   “ cima 5522  Fun wfun 6318  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘f cof 7388   ∘r cofr 7389   supp csupp 7815   ↑m cmap 8391  Fincfn 8494   finSupp cfsupp 8819   ≤ cle 10667   − cmin 10861  ℕcn 11627  ℕ0cn0 11887  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  .rcmulr 16560   ·𝑠 cvsca 16563  0gc0g 16707   Σg cgsu 16708  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294   mPwSer cmps 20593 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-ofr 7391  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-hash 13689  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-tset 16578  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-psr 20598 This theorem is referenced by:  psrassa  20656
 Copyright terms: Public domain W3C validator