Theorem sn-inelr 40920

Description: inelr 12143 without ax-mulcom 11115. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11157	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		lttri4 11239	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
4		reneg1lt0 40919	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
5		1re 11155	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		rernegcl 40826	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
8	7, 1	ltnsymi 11274	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) < 0 → ¬ 0 < (0 −ℝ 1))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (0 −ℝ 1)
10		relt0neg1 40899	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ i)))
11		rernegcl 40826	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) ∈ ℝ)
12		mulgt0 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) ∧ ((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i))) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
13	12	anidms 567	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
14	11, 13	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
16	11, 15	remulneg2d 40869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ i) · i)))
17	15, 15	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · i) ∈ ℝ)
18	15, 17	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · (i · i)) ∈ ℝ)
19		ipiiie0 40892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i + (i · (i · i))) = 0
20		renegadd 40827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ i) = (i · (i · i)) ↔ (i + (i · (i · i))) = 0))
21	19, 20	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
22	18, 21	mpdan 685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
23	22	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = ((i · (i · i)) · i))
24		ax-icn 11110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ i ∈ ℂ
25	24, 24, 24	mulassi 11166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · i) = (i · (i · i))
26	25	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · (i · i)) · i)
27	24, 24	mulcli 11162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
28	27, 24, 24	mulassi 11166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · i) · (i · i))
29	26, 28	eqtr3i 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i))
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i)))
31		rei4 40878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · i) · (i · i)) = 1)
33	23, 30, 32	3eqtrd 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = 1)
34	33	oveq2d 7373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ ((0 −ℝ i) · i)) = (0 −ℝ 1))
35	16, 34	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (0 −ℝ 1))
36	35	breq2d 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
37	36	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
38	14, 37	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < (0 −ℝ 1))
39	38	ex 413	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < (0 −ℝ i) → 0 < (0 −ℝ 1)))
40	10, 39	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (0 −ℝ 1)))
41	9, 40	mtoi 198	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
42		0ne1 12224	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
43	42	neii 2945	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 = 1
44		oveq12 7366	. . . . . . . 8 ⊢ ((i = 0 ∧ i = 0) → (i · i) = (0 · 0))
45	44	anidms 567	. . . . . . 7 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
46	45	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
47		ax-i2m1 11119	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
48		remul02 40860	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
49	1, 48	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
50	49	oveq1i 7367	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
51		readdid2 40858	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
52	5, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
53	50, 52	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 0) + 1) = 1
54	46, 47, 53	3eqtr3g 2799	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = 1)
55	43, 54	mto 196	. . . 4 ⊢ ¬ i = 0
56	55	a1i 11	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i = 0)
57		mulgt0 11232	. . . . . . 7 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
58	57	anidms 567	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
59		reixi 40877	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
60	58, 59	breqtrdi 5146	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (0 −ℝ 1))
61	60	ex 413	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (0 −ℝ 1)))
62	9, 61	mtoi 198	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
63		3ioran 1106	. . 3 ⊢ (¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i) ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ i = 0 ∧ ¬ 0 < i))
64	41, 56, 62, 63	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
65	3, 64	pm2.65i 193	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ w3o 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   −_ℝ cresub 40820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-2 12216  df-3 12217  df-resub 40821

This theorem is referenced by:  itrere  40921  retire  40922