Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-inelr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-inelr 42474
Description: inelr 12254 without ax-mulcom 11217. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-inelr ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr
StepHypRef Expression
1 0re 11261 . . 3 0 ∈ ℝ
2 lttri4 11343 . . 3 ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
31, 2mpan2 691 . 2 (i ∈ ℝ → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
4 reneg1lt0 42473 . . . . 5 (0 − 1) < 0
5 1re 11259 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
6 rernegcl 42378 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → (0 − 1) ∈ ℝ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 (0 − 1) ∈ ℝ
87, 1ltnsymi 11378 . . . . 5 ((0 − 1) < 0 → ¬ 0 < (0 − 1))
94, 8ax-mp 5 . . . 4 ¬ 0 < (0 − 1)
10 relt0neg1 42451 . . . . 5 (i ∈ ℝ → (i < 0 ↔ 0 < (0 − i)))
11 rernegcl 42378 . . . . . . . 8 (i ∈ ℝ → (0 − i) ∈ ℝ)
12 mulgt0 11336 . . . . . . . . 9 ((((0 − i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 − i)) ∧ ((0 − i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 − i))) → 0 < ((0 − i) · (0 − i)))
1312anidms 566 . . . . . . . 8 (((0 − i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 − i)) → 0 < ((0 − i) · (0 − i)))
1411, 13sylan 580 . . . . . . 7 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 − i)) → 0 < ((0 − i) · (0 − i)))
15 id 22 . . . . . . . . . . 11 (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
1611, 15remulneg2d 42421 . . . . . . . . . 10 (i ∈ ℝ → ((0 − i) · (0 − i)) = (0 − ((0 − i) · i)))
1715, 15remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i ∈ ℝ → (i · i) ∈ ℝ)
1815, 17remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ ℝ → (i · (i · i)) ∈ ℝ)
19 ipiiie0 42444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i + (i · (i · i))) = 0
20 renegadd 42379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → ((0 − i) = (i · (i · i)) ↔ (i + (i · (i · i))) = 0))
2119, 20mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → (0 − i) = (i · (i · i)))
2218, 21mpdan 687 . . . . . . . . . . . . 13 (i ∈ ℝ → (0 − i) = (i · (i · i)))
2322oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (i ∈ ℝ → ((0 − i) · i) = ((i · (i · i)) · i))
24 ax-icn 11212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i ∈ ℂ
2524, 24, 24mulassi 11270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · i) = (i · (i · i))
2625oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · i) · i) · i) = ((i · (i · i)) · i)
2724, 24mulcli 11266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i · i) ∈ ℂ
2827, 24, 24mulassi 11270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · i) · i) · i) = ((i · i) · (i · i))
2926, 28eqtr3i 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i))
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (i ∈ ℝ → ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i)))
31 rei4 42430 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · i) · (i · i)) = 1
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (i ∈ ℝ → ((i · i) · (i · i)) = 1)
3323, 30, 323eqtrd 2779 . . . . . . . . . . 11 (i ∈ ℝ → ((0 − i) · i) = 1)
3433oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (i ∈ ℝ → (0 − ((0 − i) · i)) = (0 − 1))
3516, 34eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (i ∈ ℝ → ((0 − i) · (0 − i)) = (0 − 1))
3635breq2d 5160 . . . . . . . 8 (i ∈ ℝ → (0 < ((0 − i) · (0 − i)) ↔ 0 < (0 − 1)))
3736adantr 480 . . . . . . 7 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 − i)) → (0 < ((0 − i) · (0 − i)) ↔ 0 < (0 − 1)))
3814, 37mpbid 232 . . . . . 6 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 − i)) → 0 < (0 − 1))
3938ex 412 . . . . 5 (i ∈ ℝ → (0 < (0 − i) → 0 < (0 − 1)))
4010, 39sylbid 240 . . . 4 (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (0 − 1)))
419, 40mtoi 199 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
42 0ne1 12335 . . . . . 6 0 ≠ 1
4342neii 2940 . . . . 5 ¬ 0 = 1
44 oveq12 7440 . . . . . . . 8 ((i = 0 ∧ i = 0) → (i · i) = (0 · 0))
4544anidms 566 . . . . . . 7 (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
4645oveq1d 7446 . . . . . 6 (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
47 ax-i2m1 11221 . . . . . 6 ((i · i) + 1) = 0
48 remul02 42412 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
491, 48ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 · 0) = 0
5049oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
51 readdlid 42410 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
525, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
5350, 52eqtri 2763 . . . . . 6 ((0 · 0) + 1) = 1
5446, 47, 533eqtr3g 2798 . . . . 5 (i = 0 → 0 = 1)
5543, 54mto 197 . . . 4 ¬ i = 0
5655a1i 11 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ i = 0)
57 mulgt0 11336 . . . . . . 7 (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
5857anidms 566 . . . . . 6 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
59 reixi 42429 . . . . . 6 (i · i) = (0 − 1)
6058, 59breqtrdi 5189 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (0 − 1))
6160ex 412 . . . 4 (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (0 − 1)))
629, 61mtoi 199 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
63 3ioran 1105 . . 3 (¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i) ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ i = 0 ∧ ¬ 0 < i))
6441, 56, 62, 63syl3anbrc 1342 . 2 (i ∈ ℝ → ¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
653, 64pm2.65i 194 1 ¬ i ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  w3o 1085   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  ici 11155   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   cresub 42372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-2 12327  df-3 12328  df-resub 42373
This theorem is referenced by:  sn-itrere  42475  sn-retire  42476
  Copyright terms: Public domain W3C validator