Theorem sn-inelr 40356

Description: inelr 11893 without ax-mulcom 10866. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10908	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		lttri4 10990	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
3	1, 2	mpan2 687	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
4		reneg1lt0 40355	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
5		1re 10906	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		rernegcl 40275	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
8	7, 1	ltnsymi 11024	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) < 0 → ¬ 0 < (0 −ℝ 1))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (0 −ℝ 1)
10		relt0neg1 40346	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ i)))
11		rernegcl 40275	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) ∈ ℝ)
12		mulgt0 10983	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) ∧ ((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i))) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
13	12	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
14	11, 13	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
15		elre0re 40212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
16		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
17		resubdi 40300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ i ∈ ℝ) → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (((0 −ℝ i) · 0) −ℝ ((0 −ℝ i) · i)))
18	11, 15, 16, 17	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (((0 −ℝ i) · 0) −ℝ ((0 −ℝ i) · i)))
19		remul01 40311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 −ℝ i) ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · 0) = 0)
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · 0) = 0)
21	16, 16	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · i) ∈ ℝ)
22	16, 21	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · (i · i)) ∈ ℝ)
23		ipiiie0 40340	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i + (i · (i · i))) = 0
24		renegadd 40276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ i) = (i · (i · i)) ↔ (i + (i · (i · i))) = 0))
25	23, 24	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
26	22, 25	mpdan 683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
27	26	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = ((i · (i · i)) · i))
28		ax-icn 10861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ i ∈ ℂ
29	28, 28, 28	mulassi 10917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · i) = (i · (i · i))
30	29	oveq1i 7265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · (i · i)) · i)
31	28, 28	mulcli 10913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
32	31, 28, 28	mulassi 10917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · i) · (i · i))
33	30, 32	eqtr3i 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i)))
35		rei4 40326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · i) · (i · i)) = 1)
37	27, 34, 36	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = 1)
38	20, 37	oveq12d 7273	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → (((0 −ℝ i) · 0) −ℝ ((0 −ℝ i) · i)) = (0 −ℝ 1))
39	18, 38	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (0 −ℝ 1))
40	39	breq2d 5082	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
41	40	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
42	14, 41	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < (0 −ℝ 1))
43	42	ex 412	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < (0 −ℝ i) → 0 < (0 −ℝ 1)))
44	10, 43	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (0 −ℝ 1)))
45	9, 44	mtoi 198	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
46		0ne1 11974	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
47	46	neii 2944	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 = 1
48		oveq12 7264	. . . . . . . 8 ⊢ ((i = 0 ∧ i = 0) → (i · i) = (0 · 0))
49	48	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
50	49	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
51		ax-i2m1 10870	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
52		remul02 40309	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
53	1, 52	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
54	53	oveq1i 7265	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
55		readdid2 40307	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
56	5, 55	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
57	54, 56	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 0) + 1) = 1
58	50, 51, 57	3eqtr3g 2802	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = 1)
59	47, 58	mto 196	. . . 4 ⊢ ¬ i = 0
60	59	a1i 11	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i = 0)
61		mulgt0 10983	. . . . . . 7 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
62	61	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
63		reixi 40325	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
64	62, 63	breqtrdi 5111	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (0 −ℝ 1))
65	64	ex 412	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (0 −ℝ 1)))
66	9, 65	mtoi 198	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
67		3ioran 1104	. . 3 ⊢ (¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i) ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ i = 0 ∧ ¬ 0 < i))
68	45, 60, 66, 67	syl3anbrc 1341	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
69	3, 68	pm2.65i 193	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1084   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ici 10804   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   −_ℝ cresub 40269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-2 11966  df-3 11967  df-resub 40270

This theorem is referenced by:  itrere  40357  retire  40358