Theorem sn-inelr 43151

Description: inelr 12208 without ax-mulcom 11164. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reneg1lt0 43144	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
2		1re 11208	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rernegcl 43022	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
5		0re 11210	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 11329	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) < 0 → ¬ 0 < (0 −ℝ 1))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ 0 < (0 −ℝ 1)
8		reixi 43074	. . . 4 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
9	8	breq2i 5121	. . 3 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 0 < (0 −ℝ 1))
10	7, 9	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
11		id 23	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
12		0ne1 12312	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 ≠ 1)
14		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (i = 0 → i = 0)
15	14, 14	oveq12d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
16	15	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
17		ax-i2m1 11168	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
18		remul02 43056	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
20	19	oveq1i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
21		readdlid 43054	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
22	2, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
23	20, 22	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 0) + 1) = 1
24	16, 17, 23	3eqtr3g 2827	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = 1)
25	24	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i = 0) → 0 = 1)
26	13, 25	mteqand 3055	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → i ≠ 0)
27	11, 26	sn-msqgt0d 43150	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 < (i · i))
28	10, 27	mto 200	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101  ici 11102   + caddc 11103   · cmul 11105   < clt 11243   −_ℝ cresub 43016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-2 12303  df-3 12304  df-resub 43017  df-rediv 43092

This theorem is referenced by:  sn-itrere  43152  sn-retire  43153