Theorem sn-inelr 39917

Description: inelr 11649 without ax-mulcom 10624. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10666	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		lttri4 10748	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
4		reneg1lt0 39916	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
5		1re 10664	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		rernegcl 39836	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
8	7, 1	ltnsymi 10782	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) < 0 → ¬ 0 < (0 −ℝ 1))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (0 −ℝ 1)
10		relt0neg1 39907	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ i)))
11		rernegcl 39836	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) ∈ ℝ)
12		mulgt0 10741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) ∧ ((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i))) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
13	12	anidms 571	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
14	11, 13	sylan 584	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
15		elre0re 39778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
16		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
17		resubdi 39861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ i ∈ ℝ) → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (((0 −ℝ i) · 0) −ℝ ((0 −ℝ i) · i)))
18	11, 15, 16, 17	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (((0 −ℝ i) · 0) −ℝ ((0 −ℝ i) · i)))
19		remul01 39872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 −ℝ i) ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · 0) = 0)
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · 0) = 0)
21	16, 16	remulcld 10694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · i) ∈ ℝ)
22	16, 21	remulcld 10694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · (i · i)) ∈ ℝ)
23		ipiiie0 39901	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i + (i · (i · i))) = 0
24		renegadd 39837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ i) = (i · (i · i)) ↔ (i + (i · (i · i))) = 0))
25	23, 24	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
26	22, 25	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
27	26	oveq1d 7158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = ((i · (i · i)) · i))
28		ax-icn 10619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ i ∈ ℂ
29	28, 28, 28	mulassi 10675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · i) = (i · (i · i))
30	29	oveq1i 7153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · (i · i)) · i)
31	28, 28	mulcli 10671	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
32	31, 28, 28	mulassi 10675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · i) · (i · i))
33	30, 32	eqtr3i 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i)))
35		rei4 39887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · i) · (i · i)) = 1)
37	27, 34, 36	3eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = 1)
38	20, 37	oveq12d 7161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → (((0 −ℝ i) · 0) −ℝ ((0 −ℝ i) · i)) = (0 −ℝ 1))
39	18, 38	eqtrd 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (0 −ℝ 1))
40	39	breq2d 5037	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
41	40	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
42	14, 41	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < (0 −ℝ 1))
43	42	ex 417	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < (0 −ℝ i) → 0 < (0 −ℝ 1)))
44	10, 43	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (0 −ℝ 1)))
45	9, 44	mtoi 202	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
46		0ne1 11730	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
47	46	neii 2951	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 = 1
48		oveq12 7152	. . . . . . . 8 ⊢ ((i = 0 ∧ i = 0) → (i · i) = (0 · 0))
49	48	anidms 571	. . . . . . 7 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
50	49	oveq1d 7158	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
51		ax-i2m1 10628	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
52		remul02 39870	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
53	1, 52	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
54	53	oveq1i 7153	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
55		readdid2 39868	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
56	5, 55	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
57	54, 56	eqtri 2782	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 0) + 1) = 1
58	50, 51, 57	3eqtr3g 2817	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = 1)
59	47, 58	mto 200	. . . 4 ⊢ ¬ i = 0
60	59	a1i 11	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i = 0)
61		mulgt0 10741	. . . . . . 7 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
62	61	anidms 571	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
63		reixi 39886	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
64	62, 63	breqtrdi 5066	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (0 −ℝ 1))
65	64	ex 417	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (0 −ℝ 1)))
66	9, 65	mtoi 202	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
67		3ioran 1104	. . 3 ⊢ (¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i) ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ i = 0 ∧ ¬ 0 < i))
68	45, 60, 66, 67	syl3anbrc 1341	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
69	3, 68	pm2.65i 197	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ w3o 1084   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5025  (class class class)co 7143  ℝcr 10559  0cc0 10560  1c1 10561  ici 10562   + caddc 10563   · cmul 10565   < clt 10698   −_ℝ cresub 39830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-op 4522  df-uni 4792  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-id 5423  df-po 5436  df-so 5437  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-ltxr 10703  df-2 11722  df-3 11723  df-resub 39831

This theorem is referenced by:  itrere  39918  retire  39919