Theorem sn-inelr 42949

Description: inelr 12143 without ax-mulcom 11096. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reneg1lt0 42942	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
2		1re 11138	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rernegcl 42820	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
5		0re 11140	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 11259	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) < 0 → ¬ 0 < (0 −ℝ 1))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ 0 < (0 −ℝ 1)
8		reixi 42872	. . . 4 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
9	8	breq2i 5094	. . 3 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 0 < (0 −ℝ 1))
10	7, 9	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
11		id 22	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
12		0ne1 12246	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 ≠ 1)
14		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (i = 0 → i = 0)
15	14, 14	oveq12d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
16	15	oveq1d 7376	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
17		ax-i2m1 11100	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
18		remul02 42854	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
20	19	oveq1i 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
21		readdlid 42852	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
22	2, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
23	20, 22	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 0) + 1) = 1
24	16, 17, 23	3eqtr3g 2795	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = 1)
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i = 0) → 0 = 1)
26	13, 25	mteqand 3024	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → i ≠ 0)
27	11, 26	sn-msqgt0d 42948	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 < (i · i))
28	10, 27	mto 197	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  1c1 11033  ici 11034   + caddc 11035   · cmul 11037   < clt 11173   −_ℝ cresub 42814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-2 12238  df-3 12239  df-resub 42815  df-rediv 42890

This theorem is referenced by:  sn-itrere  42950  sn-retire  42951