Theorem sn-inelr 40084

Description: inelr 11785 without ax-mulcom 10758. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10800	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		lttri4 10882	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
4		reneg1lt0 40083	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
5		1re 10798	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		rernegcl 40003	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
8	7, 1	ltnsymi 10916	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) < 0 → ¬ 0 < (0 −ℝ 1))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (0 −ℝ 1)
10		relt0neg1 40074	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ i)))
11		rernegcl 40003	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) ∈ ℝ)
12		mulgt0 10875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) ∧ ((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i))) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
13	12	anidms 570	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
14	11, 13	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
15		elre0re 39939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
16		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
17		resubdi 40028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ i ∈ ℝ) → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (((0 −ℝ i) · 0) −ℝ ((0 −ℝ i) · i)))
18	11, 15, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (((0 −ℝ i) · 0) −ℝ ((0 −ℝ i) · i)))
19		remul01 40039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 −ℝ i) ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · 0) = 0)
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · 0) = 0)
21	16, 16	remulcld 10828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · i) ∈ ℝ)
22	16, 21	remulcld 10828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · (i · i)) ∈ ℝ)
23		ipiiie0 40068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i + (i · (i · i))) = 0
24		renegadd 40004	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ i) = (i · (i · i)) ↔ (i + (i · (i · i))) = 0))
25	23, 24	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
26	22, 25	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
27	26	oveq1d 7206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = ((i · (i · i)) · i))
28		ax-icn 10753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ i ∈ ℂ
29	28, 28, 28	mulassi 10809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · i) = (i · (i · i))
30	29	oveq1i 7201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · (i · i)) · i)
31	28, 28	mulcli 10805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
32	31, 28, 28	mulassi 10809	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · i) · (i · i))
33	30, 32	eqtr3i 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i)))
35		rei4 40054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · i) · (i · i)) = 1)
37	27, 34, 36	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = 1)
38	20, 37	oveq12d 7209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → (((0 −ℝ i) · 0) −ℝ ((0 −ℝ i) · i)) = (0 −ℝ 1))
39	18, 38	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (0 −ℝ 1))
40	39	breq2d 5051	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
41	40	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
42	14, 41	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < (0 −ℝ 1))
43	42	ex 416	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < (0 −ℝ i) → 0 < (0 −ℝ 1)))
44	10, 43	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (0 −ℝ 1)))
45	9, 44	mtoi 202	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
46		0ne1 11866	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
47	46	neii 2934	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 = 1
48		oveq12 7200	. . . . . . . 8 ⊢ ((i = 0 ∧ i = 0) → (i · i) = (0 · 0))
49	48	anidms 570	. . . . . . 7 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
50	49	oveq1d 7206	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
51		ax-i2m1 10762	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
52		remul02 40037	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
53	1, 52	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
54	53	oveq1i 7201	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
55		readdid2 40035	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
56	5, 55	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
57	54, 56	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 0) + 1) = 1
58	50, 51, 57	3eqtr3g 2794	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = 1)
59	47, 58	mto 200	. . . 4 ⊢ ¬ i = 0
60	59	a1i 11	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i = 0)
61		mulgt0 10875	. . . . . . 7 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
62	61	anidms 570	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
63		reixi 40053	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
64	62, 63	breqtrdi 5080	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (0 −ℝ 1))
65	64	ex 416	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (0 −ℝ 1)))
66	9, 65	mtoi 202	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
67		3ioran 1108	. . 3 ⊢ (¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i) ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ i = 0 ∧ ¬ 0 < i))
68	45, 60, 66, 67	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
69	3, 68	pm2.65i 197	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ w3o 1088   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5039  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695  ici 10696   + caddc 10697   · cmul 10699   < clt 10832   −_ℝ cresub 39997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-id 5440  df-po 5453  df-so 5454  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-ltxr 10837  df-2 11858  df-3 11859  df-resub 39998

This theorem is referenced by:  itrere  40085  retire  40086