Theorem sn-inelr 41335

Description: inelr 12199 without ax-mulcom 11171. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11213	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		lttri4 11295	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
3	1, 2	mpan2 690	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
4		reneg1lt0 41334	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
5		1re 11211	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		rernegcl 41241	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
8	7, 1	ltnsymi 11330	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) < 0 → ¬ 0 < (0 −ℝ 1))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (0 −ℝ 1)
10		relt0neg1 41314	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ i)))
11		rernegcl 41241	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) ∈ ℝ)
12		mulgt0 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) ∧ ((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i))) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
13	12	anidms 568	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
14	11, 13	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
16	11, 15	remulneg2d 41284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ i) · i)))
17	15, 15	remulcld 11241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · i) ∈ ℝ)
18	15, 17	remulcld 11241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · (i · i)) ∈ ℝ)
19		ipiiie0 41307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i + (i · (i · i))) = 0
20		renegadd 41242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ i) = (i · (i · i)) ↔ (i + (i · (i · i))) = 0))
21	19, 20	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
22	18, 21	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
23	22	oveq1d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = ((i · (i · i)) · i))
24		ax-icn 11166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ i ∈ ℂ
25	24, 24, 24	mulassi 11222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · i) = (i · (i · i))
26	25	oveq1i 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · (i · i)) · i)
27	24, 24	mulcli 11218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
28	27, 24, 24	mulassi 11222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · i) · (i · i))
29	26, 28	eqtr3i 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i))
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i)))
31		rei4 41293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · i) · (i · i)) = 1)
33	23, 30, 32	3eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = 1)
34	33	oveq2d 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ ((0 −ℝ i) · i)) = (0 −ℝ 1))
35	16, 34	eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (0 −ℝ 1))
36	35	breq2d 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
37	36	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
38	14, 37	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < (0 −ℝ 1))
39	38	ex 414	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < (0 −ℝ i) → 0 < (0 −ℝ 1)))
40	10, 39	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (0 −ℝ 1)))
41	9, 40	mtoi 198	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
42		0ne1 12280	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
43	42	neii 2943	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 = 1
44		oveq12 7415	. . . . . . . 8 ⊢ ((i = 0 ∧ i = 0) → (i · i) = (0 · 0))
45	44	anidms 568	. . . . . . 7 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
46	45	oveq1d 7421	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
47		ax-i2m1 11175	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
48		remul02 41275	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
49	1, 48	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
50	49	oveq1i 7416	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
51		readdlid 41273	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
52	5, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
53	50, 52	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 0) + 1) = 1
54	46, 47, 53	3eqtr3g 2796	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = 1)
55	43, 54	mto 196	. . . 4 ⊢ ¬ i = 0
56	55	a1i 11	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i = 0)
57		mulgt0 11288	. . . . . . 7 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
58	57	anidms 568	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
59		reixi 41292	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
60	58, 59	breqtrdi 5189	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (0 −ℝ 1))
61	60	ex 414	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (0 −ℝ 1)))
62	9, 61	mtoi 198	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
63		3ioran 1107	. . 3 ⊢ (¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i) ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ i = 0 ∧ ¬ 0 < i))
64	41, 56, 62, 63	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
65	3, 64	pm2.65i 193	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ w3o 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108  ici 11109   + caddc 11110   · cmul 11112   < clt 11245   −_ℝ cresub 41235

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-ltxr 11250  df-2 12272  df-3 12273  df-resub 41236

This theorem is referenced by:  itrere  41336  retire  41337