Theorem sn-inelr 42857

Description: inelr 12147 without ax-mulcom 11102. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reneg1lt0 42850	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
2		1re 11144	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rernegcl 42741	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
5		0re 11146	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 11264	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) < 0 → ¬ 0 < (0 −ℝ 1))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ 0 < (0 −ℝ 1)
8		reixi 42793	. . . 4 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
9	8	breq2i 5108	. . 3 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 0 < (0 −ℝ 1))
10	7, 9	mtbir 323	. 2 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
11		id 22	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
12		0ne1 12228	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 ≠ 1)
14		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (i = 0 → i = 0)
15	14, 14	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
16	15	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
17		ax-i2m1 11106	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
18		remul02 42775	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
20	19	oveq1i 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
21		readdlid 42773	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
22	2, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
23	20, 22	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 0) + 1) = 1
24	16, 17, 23	3eqtr3g 2795	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = 1)
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i = 0) → 0 = 1)
26	13, 25	mteqand 3024	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → i ≠ 0)
27	11, 26	sn-msqgt0d 42856	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 < (i · i))
28	10, 27	mto 197	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   −_ℝ cresub 42735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-2 12220  df-3 12221  df-resub 42736  df-rediv 42811

This theorem is referenced by:  sn-itrere  42858  sn-retire  42859