Theorem sn-inelr 40432

Description: inelr 11963 without ax-mulcom 10936. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10978	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		lttri4 11060	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
3	1, 2	mpan2 688	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
4		reneg1lt0 40431	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
5		1re 10976	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		rernegcl 40351	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
8	7, 1	ltnsymi 11094	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) < 0 → ¬ 0 < (0 −ℝ 1))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (0 −ℝ 1)
10		relt0neg1 40422	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ i)))
11		rernegcl 40351	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) ∈ ℝ)
12		mulgt0 11053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) ∧ ((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i))) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
13	12	anidms 567	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
14	11, 13	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
15		elre0re 40288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
16		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
17		resubdi 40376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ i ∈ ℝ) → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (((0 −ℝ i) · 0) −ℝ ((0 −ℝ i) · i)))
18	11, 15, 16, 17	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (((0 −ℝ i) · 0) −ℝ ((0 −ℝ i) · i)))
19		remul01 40387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 −ℝ i) ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · 0) = 0)
20	11, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · 0) = 0)
21	16, 16	remulcld 11006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · i) ∈ ℝ)
22	16, 21	remulcld 11006	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · (i · i)) ∈ ℝ)
23		ipiiie0 40416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i + (i · (i · i))) = 0
24		renegadd 40352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ i) = (i · (i · i)) ↔ (i + (i · (i · i))) = 0))
25	23, 24	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
26	22, 25	mpdan 684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
27	26	oveq1d 7286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = ((i · (i · i)) · i))
28		ax-icn 10931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ i ∈ ℂ
29	28, 28, 28	mulassi 10987	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · i) = (i · (i · i))
30	29	oveq1i 7281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · (i · i)) · i)
31	28, 28	mulcli 10983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
32	31, 28, 28	mulassi 10987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · i) · (i · i))
33	30, 32	eqtr3i 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i))
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i)))
35		rei4 40402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · i) · (i · i)) = 1)
37	27, 34, 36	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = 1)
38	20, 37	oveq12d 7289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → (((0 −ℝ i) · 0) −ℝ ((0 −ℝ i) · i)) = (0 −ℝ 1))
39	18, 38	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (0 −ℝ 1))
40	39	breq2d 5091	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
41	40	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
42	14, 41	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < (0 −ℝ 1))
43	42	ex 413	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < (0 −ℝ i) → 0 < (0 −ℝ 1)))
44	10, 43	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (0 −ℝ 1)))
45	9, 44	mtoi 198	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
46		0ne1 12044	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
47	46	neii 2947	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 = 1
48		oveq12 7280	. . . . . . . 8 ⊢ ((i = 0 ∧ i = 0) → (i · i) = (0 · 0))
49	48	anidms 567	. . . . . . 7 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
50	49	oveq1d 7286	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
51		ax-i2m1 10940	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
52		remul02 40385	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
53	1, 52	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
54	53	oveq1i 7281	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
55		readdid2 40383	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
56	5, 55	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
57	54, 56	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 0) + 1) = 1
58	50, 51, 57	3eqtr3g 2803	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = 1)
59	47, 58	mto 196	. . . 4 ⊢ ¬ i = 0
60	59	a1i 11	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i = 0)
61		mulgt0 11053	. . . . . . 7 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
62	61	anidms 567	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
63		reixi 40401	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
64	62, 63	breqtrdi 5120	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (0 −ℝ 1))
65	64	ex 413	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (0 −ℝ 1)))
66	9, 65	mtoi 198	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
67		3ioran 1105	. . 3 ⊢ (¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i) ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ i = 0 ∧ ¬ 0 < i))
68	45, 60, 66, 67	syl3anbrc 1342	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
69	3, 68	pm2.65i 193	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ w3o 1085   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  (class class class)co 7271  ℝcr 10871  0cc0 10872  1c1 10873  ici 10874   + caddc 10875   · cmul 10877   < clt 11010   −_ℝ cresub 40345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-ltxr 11015  df-2 12036  df-3 12037  df-resub 40346

This theorem is referenced by:  itrere  40433  retire  40434