Theorem sn-inelr 42443

Description: inelr 12283 without ax-mulcom 11248. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11292	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		lttri4 11374	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
3	1, 2	mpan2 690	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
4		reneg1lt0 42442	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
5		1re 11290	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		rernegcl 42347	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
8	7, 1	ltnsymi 11409	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) < 0 → ¬ 0 < (0 −ℝ 1))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (0 −ℝ 1)
10		relt0neg1 42420	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ i)))
11		rernegcl 42347	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) ∈ ℝ)
12		mulgt0 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) ∧ ((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i))) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
13	12	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
14	11, 13	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
16	11, 15	remulneg2d 42390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ i) · i)))
17	15, 15	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · i) ∈ ℝ)
18	15, 17	remulcld 11320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · (i · i)) ∈ ℝ)
19		ipiiie0 42413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i + (i · (i · i))) = 0
20		renegadd 42348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ i) = (i · (i · i)) ↔ (i + (i · (i · i))) = 0))
21	19, 20	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
22	18, 21	mpdan 686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
23	22	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = ((i · (i · i)) · i))
24		ax-icn 11243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ i ∈ ℂ
25	24, 24, 24	mulassi 11301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · i) = (i · (i · i))
26	25	oveq1i 7458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · (i · i)) · i)
27	24, 24	mulcli 11297	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
28	27, 24, 24	mulassi 11301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · i) · (i · i))
29	26, 28	eqtr3i 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i))
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i)))
31		rei4 42399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · i) · (i · i)) = 1)
33	23, 30, 32	3eqtrd 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = 1)
34	33	oveq2d 7464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ ((0 −ℝ i) · i)) = (0 −ℝ 1))
35	16, 34	eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (0 −ℝ 1))
36	35	breq2d 5178	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
38	14, 37	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < (0 −ℝ 1))
39	38	ex 412	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < (0 −ℝ i) → 0 < (0 −ℝ 1)))
40	10, 39	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (0 −ℝ 1)))
41	9, 40	mtoi 199	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
42		0ne1 12364	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
43	42	neii 2948	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 = 1
44		oveq12 7457	. . . . . . . 8 ⊢ ((i = 0 ∧ i = 0) → (i · i) = (0 · 0))
45	44	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
46	45	oveq1d 7463	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
47		ax-i2m1 11252	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
48		remul02 42381	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
49	1, 48	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
50	49	oveq1i 7458	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
51		readdlid 42379	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
52	5, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
53	50, 52	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 0) + 1) = 1
54	46, 47, 53	3eqtr3g 2803	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = 1)
55	43, 54	mto 197	. . . 4 ⊢ ¬ i = 0
56	55	a1i 11	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i = 0)
57		mulgt0 11367	. . . . . . 7 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
58	57	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
59		reixi 42398	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
60	58, 59	breqtrdi 5207	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (0 −ℝ 1))
61	60	ex 412	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (0 −ℝ 1)))
62	9, 61	mtoi 199	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
63		3ioran 1106	. . 3 ⊢ (¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i) ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ i = 0 ∧ ¬ 0 < i))
64	41, 56, 62, 63	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
65	3, 64	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185  ici 11186   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   −_ℝ cresub 42341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-2 12356  df-3 12357  df-resub 42342

This theorem is referenced by:  sn-itrere  42444  sn-retire  42445