Theorem sn-inelr 42247

Description: inelr 12254 without ax-mulcom 11222. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11266	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		lttri4 11348	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
4		reneg1lt0 42246	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
5		1re 11264	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		rernegcl 42151	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
8	7, 1	ltnsymi 11383	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) < 0 → ¬ 0 < (0 −ℝ 1))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (0 −ℝ 1)
10		relt0neg1 42224	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ i)))
11		rernegcl 42151	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) ∈ ℝ)
12		mulgt0 11341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) ∧ ((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i))) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
13	12	anidms 565	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
14	11, 13	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
16	11, 15	remulneg2d 42194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ i) · i)))
17	15, 15	remulcld 11294	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · i) ∈ ℝ)
18	15, 17	remulcld 11294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · (i · i)) ∈ ℝ)
19		ipiiie0 42217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i + (i · (i · i))) = 0
20		renegadd 42152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ i) = (i · (i · i)) ↔ (i + (i · (i · i))) = 0))
21	19, 20	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
22	18, 21	mpdan 685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
23	22	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = ((i · (i · i)) · i))
24		ax-icn 11217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ i ∈ ℂ
25	24, 24, 24	mulassi 11275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · i) = (i · (i · i))
26	25	oveq1i 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · (i · i)) · i)
27	24, 24	mulcli 11271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
28	27, 24, 24	mulassi 11275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · i) · (i · i))
29	26, 28	eqtr3i 2756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i))
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i)))
31		rei4 42203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · i) · (i · i)) = 1)
33	23, 30, 32	3eqtrd 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = 1)
34	33	oveq2d 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ ((0 −ℝ i) · i)) = (0 −ℝ 1))
35	16, 34	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (0 −ℝ 1))
36	35	breq2d 5165	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
37	36	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
38	14, 37	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < (0 −ℝ 1))
39	38	ex 411	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < (0 −ℝ i) → 0 < (0 −ℝ 1)))
40	10, 39	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (0 −ℝ 1)))
41	9, 40	mtoi 198	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
42		0ne1 12335	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
43	42	neii 2932	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 = 1
44		oveq12 7433	. . . . . . . 8 ⊢ ((i = 0 ∧ i = 0) → (i · i) = (0 · 0))
45	44	anidms 565	. . . . . . 7 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
46	45	oveq1d 7439	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
47		ax-i2m1 11226	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
48		remul02 42185	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
49	1, 48	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
50	49	oveq1i 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
51		readdlid 42183	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
52	5, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
53	50, 52	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 0) + 1) = 1
54	46, 47, 53	3eqtr3g 2789	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = 1)
55	43, 54	mto 196	. . . 4 ⊢ ¬ i = 0
56	55	a1i 11	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i = 0)
57		mulgt0 11341	. . . . . . 7 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
58	57	anidms 565	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
59		reixi 42202	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
60	58, 59	breqtrdi 5194	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (0 −ℝ 1))
61	60	ex 411	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (0 −ℝ 1)))
62	9, 61	mtoi 198	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
63		3ioran 1103	. . 3 ⊢ (¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i) ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ i = 0 ∧ ¬ 0 < i))
64	41, 56, 62, 63	syl3anbrc 1340	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
65	3, 64	pm2.65i 193	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ w3o 1083   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  0cc0 11158  1c1 11159  ici 11160   + caddc 11161   · cmul 11163   < clt 11298   −_ℝ cresub 42145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-ltxr 11303  df-2 12327  df-3 12328  df-resub 42146

This theorem is referenced by:  sn-itrere  42248  sn-retire  42249