Theorem sn-inelr 43321

Description: inelr 12225 without ax-mulcom 11181. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reneg1lt0 43314	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
2		1re 11225	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rernegcl 43192	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
5		0re 11227	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 11346	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) < 0 → ¬ 0 < (0 −ℝ 1))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ 0 < (0 −ℝ 1)
8		reixi 43244	. . . 4 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
9	8	breq2i 5119	. . 3 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 0 < (0 −ℝ 1))
10	7, 9	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
11		id 23	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
12		0ne1 12329	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 ≠ 1)
14		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (i = 0 → i = 0)
15	14, 14	oveq12d 7437	. . . . . . 7 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
16	15	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
17		ax-i2m1 11185	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
18		remul02 43226	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
20	19	oveq1i 7429	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
21		readdlid 43224	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
22	2, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
23	20, 22	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 0) + 1) = 1
24	16, 17, 23	3eqtr3g 2823	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = 1)
25	24	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i = 0) → 0 = 1)
26	13, 25	mteqand 3051	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → i ≠ 0)
27	11, 26	sn-msqgt0d 43320	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 < (i · i))
28	10, 27	mto 200	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  0cc0 11117  1c1 11118  ici 11119   + caddc 11120   · cmul 11122   < clt 11260   −_ℝ cresub 43186

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-2 12320  df-3 12321  df-resub 43187  df-rediv 43262

This theorem is used by:  sn-itrere  43322  sn-retire  43323