Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-inelr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-inelr 40920
Description: inelr 12143 without ax-mulcom 11115. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
sn-inelr ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr
StepHypRef Expression
1 0re 11157 . . 3 0 ∈ ℝ
2 lttri4 11239 . . 3 ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
31, 2mpan2 689 . 2 (i ∈ ℝ → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
4 reneg1lt0 40919 . . . . 5 (0 − 1) < 0
5 1re 11155 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
6 rernegcl 40826 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → (0 − 1) ∈ ℝ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 (0 − 1) ∈ ℝ
87, 1ltnsymi 11274 . . . . 5 ((0 − 1) < 0 → ¬ 0 < (0 − 1))
94, 8ax-mp 5 . . . 4 ¬ 0 < (0 − 1)
10 relt0neg1 40899 . . . . 5 (i ∈ ℝ → (i < 0 ↔ 0 < (0 − i)))
11 rernegcl 40826 . . . . . . . 8 (i ∈ ℝ → (0 − i) ∈ ℝ)
12 mulgt0 11232 . . . . . . . . 9 ((((0 − i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 − i)) ∧ ((0 − i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 − i))) → 0 < ((0 − i) · (0 − i)))
1312anidms 567 . . . . . . . 8 (((0 − i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 − i)) → 0 < ((0 − i) · (0 − i)))
1411, 13sylan 580 . . . . . . 7 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 − i)) → 0 < ((0 − i) · (0 − i)))
15 id 22 . . . . . . . . . . 11 (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
1611, 15remulneg2d 40869 . . . . . . . . . 10 (i ∈ ℝ → ((0 − i) · (0 − i)) = (0 − ((0 − i) · i)))
1715, 15remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i ∈ ℝ → (i · i) ∈ ℝ)
1815, 17remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 (i ∈ ℝ → (i · (i · i)) ∈ ℝ)
19 ipiiie0 40892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i + (i · (i · i))) = 0
20 renegadd 40827 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → ((0 − i) = (i · (i · i)) ↔ (i + (i · (i · i))) = 0))
2119, 20mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → (0 − i) = (i · (i · i)))
2218, 21mpdan 685 . . . . . . . . . . . . 13 (i ∈ ℝ → (0 − i) = (i · (i · i)))
2322oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (i ∈ ℝ → ((0 − i) · i) = ((i · (i · i)) · i))
24 ax-icn 11110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i ∈ ℂ
2524, 24, 24mulassi 11166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i · i) · i) = (i · (i · i))
2625oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · i) · i) · i) = ((i · (i · i)) · i)
2724, 24mulcli 11162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (i · i) ∈ ℂ
2827, 24, 24mulassi 11166 . . . . . . . . . . . . . 14 (((i · i) · i) · i) = ((i · i) · (i · i))
2926, 28eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i))
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (i ∈ ℝ → ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i)))
31 rei4 40878 . . . . . . . . . . . . 13 ((i · i) · (i · i)) = 1
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (i ∈ ℝ → ((i · i) · (i · i)) = 1)
3323, 30, 323eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 (i ∈ ℝ → ((0 − i) · i) = 1)
3433oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (i ∈ ℝ → (0 − ((0 − i) · i)) = (0 − 1))
3516, 34eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (i ∈ ℝ → ((0 − i) · (0 − i)) = (0 − 1))
3635breq2d 5117 . . . . . . . 8 (i ∈ ℝ → (0 < ((0 − i) · (0 − i)) ↔ 0 < (0 − 1)))
3736adantr 481 . . . . . . 7 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 − i)) → (0 < ((0 − i) · (0 − i)) ↔ 0 < (0 − 1)))
3814, 37mpbid 231 . . . . . 6 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 − i)) → 0 < (0 − 1))
3938ex 413 . . . . 5 (i ∈ ℝ → (0 < (0 − i) → 0 < (0 − 1)))
4010, 39sylbid 239 . . . 4 (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (0 − 1)))
419, 40mtoi 198 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
42 0ne1 12224 . . . . . 6 0 ≠ 1
4342neii 2945 . . . . 5 ¬ 0 = 1
44 oveq12 7366 . . . . . . . 8 ((i = 0 ∧ i = 0) → (i · i) = (0 · 0))
4544anidms 567 . . . . . . 7 (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
4645oveq1d 7372 . . . . . 6 (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
47 ax-i2m1 11119 . . . . . 6 ((i · i) + 1) = 0
48 remul02 40860 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
491, 48ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 · 0) = 0
5049oveq1i 7367 . . . . . . 7 ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
51 readdid2 40858 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
525, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 (0 + 1) = 1
5350, 52eqtri 2764 . . . . . 6 ((0 · 0) + 1) = 1
5446, 47, 533eqtr3g 2799 . . . . 5 (i = 0 → 0 = 1)
5543, 54mto 196 . . . 4 ¬ i = 0
5655a1i 11 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ i = 0)
57 mulgt0 11232 . . . . . . 7 (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
5857anidms 567 . . . . . 6 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
59 reixi 40877 . . . . . 6 (i · i) = (0 − 1)
6058, 59breqtrdi 5146 . . . . 5 ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (0 − 1))
6160ex 413 . . . 4 (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (0 − 1)))
629, 61mtoi 198 . . 3 (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
63 3ioran 1106 . . 3 (¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i) ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ i = 0 ∧ ¬ 0 < i))
6441, 56, 62, 63syl3anbrc 1343 . 2 (i ∈ ℝ → ¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
653, 64pm2.65i 193 1 ¬ i ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 205  wa 396  w3o 1086   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   cresub 40820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-2 12216  df-3 12217  df-resub 40821
This theorem is referenced by:  itrere  40921  retire  40922
  Copyright terms: Public domain W3C validator