Theorem sn-inelr 43691

Description: inelr 12320 without ax-mulcom 11274. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reneg1lt0 43684	. . . 4 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
2		1re 11318	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		rernegcl 43562	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
5		0re 11320	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
6	4, 5	ltnsymi 11439	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) < 0 → ¬ 0 < (0 −ℝ 1))
7	1, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ 0 < (0 −ℝ 1)
8		reixi 43614	. . . 4 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
9	8	breq2i 5113	. . 3 ⊢ (0 < (i · i) ↔ 0 < (0 −ℝ 1))
10	7, 9	mtbir 326	. 2 ⊢ ¬ 0 < (i · i)
11		id 23	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
12		0ne1 12424	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 ≠ 1)
14		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (i = 0 → i = 0)
15	14, 14	oveq12d 7445	. . . . . . 7 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
16	15	oveq1d 7442	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
17		ax-i2m1 11278	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
18		remul02 43596	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
19	5, 18	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
20	19	oveq1i 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
21		readdlid 43594	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
22	2, 21	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
23	20, 22	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 0) + 1) = 1
24	16, 17, 23	3eqtr3g 2821	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = 1)
25	24	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ i = 0) → 0 = 1)
26	13, 25	mteqand 3049	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → i ≠ 0)
27	11, 26	sn-msqgt0d 43690	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → 0 < (i · i))
28	10, 27	mto 200	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958   class class class wbr 5105  (class class class)co 7427  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211  ici 11212   + caddc 11213   · cmul 11215   < clt 11353   −_ℝ cresub 43556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-2 12415  df-3 12416  df-resub 43557  df-rediv 43632

This theorem is used by:  sn-itrere  43692  sn-retire  43693