Theorem sn-inelr 42497

Description: inelr 12256 without ax-mulcom 11219. (Contributed by SN, 1-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-inelr	⊢ ¬ i ∈ ℝ

Proof of Theorem sn-inelr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11263	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		lttri4 11345	. . 3 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
4		reneg1lt0 42496	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ 1) < 0
5		1re 11261	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		rernegcl 42401	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
8	7, 1	ltnsymi 11380	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) < 0 → ¬ 0 < (0 −ℝ 1))
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ¬ 0 < (0 −ℝ 1)
10		relt0neg1 42474	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ i)))
11		rernegcl 42401	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) ∈ ℝ)
12		mulgt0 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) ∧ ((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i))) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
13	12	anidms 566	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 −ℝ i) ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
14	11, 13	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)))
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → i ∈ ℝ)
16	11, 15	remulneg2d 42444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ i) · i)))
17	15, 15	remulcld 11291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · i) ∈ ℝ)
18	15, 17	remulcld 11291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (i ∈ ℝ → (i · (i · i)) ∈ ℝ)
19		ipiiie0 42467	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i + (i · (i · i))) = 0
20		renegadd 42402	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → ((0 −ℝ i) = (i · (i · i)) ↔ (i + (i · (i · i))) = 0))
21	19, 20	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ (i · (i · i)) ∈ ℝ) → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
22	18, 21	mpdan 687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ i) = (i · (i · i)))
23	22	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = ((i · (i · i)) · i))
24		ax-icn 11214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ i ∈ ℂ
25	24, 24, 24	mulassi 11272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i · i) · i) = (i · (i · i))
26	25	oveq1i 7441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · (i · i)) · i)
27	24, 24	mulcli 11268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (i · i) ∈ ℂ
28	27, 24, 24	mulassi 11272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((i · i) · i) · i) = ((i · i) · (i · i))
29	26, 28	eqtr3i 2767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i))
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · (i · i)) · i) = ((i · i) · (i · i)))
31		rei4 42453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((i · i) · (i · i)) = 1
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i ∈ ℝ → ((i · i) · (i · i)) = 1)
33	23, 30, 32	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · i) = 1)
34	33	oveq2d 7447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 −ℝ ((0 −ℝ i) · i)) = (0 −ℝ 1))
35	16, 34	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (i ∈ ℝ → ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) = (0 −ℝ 1))
36	35	breq2d 5155	. . . . . . . 8 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
37	36	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → (0 < ((0 −ℝ i) · (0 −ℝ i)) ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
38	14, 37	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < (0 −ℝ i)) → 0 < (0 −ℝ 1))
39	38	ex 412	. . . . 5 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < (0 −ℝ i) → 0 < (0 −ℝ 1)))
40	10, 39	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (i < 0 → 0 < (0 −ℝ 1)))
41	9, 40	mtoi 199	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i < 0)
42		0ne1 12337	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
43	42	neii 2942	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 = 1
44		oveq12 7440	. . . . . . . 8 ⊢ ((i = 0 ∧ i = 0) → (i · i) = (0 · 0))
45	44	anidms 566	. . . . . . 7 ⊢ (i = 0 → (i · i) = (0 · 0))
46	45	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (i = 0 → ((i · i) + 1) = ((0 · 0) + 1))
47		ax-i2m1 11223	. . . . . 6 ⊢ ((i · i) + 1) = 0
48		remul02 42435	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 · 0) = 0)
49	1, 48	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (0 · 0) = 0
50	49	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((0 · 0) + 1) = (0 + 1)
51		readdlid 42433	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 + 1) = 1)
52	5, 51	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 1) = 1
53	50, 52	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ((0 · 0) + 1) = 1
54	46, 47, 53	3eqtr3g 2800	. . . . 5 ⊢ (i = 0 → 0 = 1)
55	43, 54	mto 197	. . . 4 ⊢ ¬ i = 0
56	55	a1i 11	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ i = 0)
57		mulgt0 11338	. . . . . . 7 ⊢ (((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) ∧ (i ∈ ℝ ∧ 0 < i)) → 0 < (i · i))
58	57	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (i · i))
59		reixi 42452	. . . . . 6 ⊢ (i · i) = (0 −ℝ 1)
60	58, 59	breqtrdi 5184	. . . . 5 ⊢ ((i ∈ ℝ ∧ 0 < i) → 0 < (0 −ℝ 1))
61	60	ex 412	. . . 4 ⊢ (i ∈ ℝ → (0 < i → 0 < (0 −ℝ 1)))
62	9, 61	mtoi 199	. . 3 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ 0 < i)
63		3ioran 1106	. . 3 ⊢ (¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i) ↔ (¬ i < 0 ∧ ¬ i = 0 ∧ ¬ 0 < i))
64	41, 56, 62, 63	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ (i ∈ ℝ → ¬ (i < 0 ∨ i = 0 ∨ 0 < i))
65	3, 64	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ i ∈ ℝ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156  ici 11157   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   −_ℝ cresub 42395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-2 12329  df-3 12330  df-resub 42396

This theorem is referenced by:  sn-itrere  42498  sn-retire  42499