Theorem msqgt0 11738

Description: A nonzero square is positive. Theorem I.20 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
msqgt0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))

Proof of Theorem msqgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		0red 11221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
3	1, 2	lttri2d 11357	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)))
4	3	biimpa 475	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴))
5		mullt0 11737	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
6	5	anidms 565	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
7		mulgt0 11295	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
8	7	anidms 565	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
9	6, 8	jaodan 954	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 < 0 ∨ 0 < 𝐴)) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
10	4, 9	syldan 589	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117   < clt 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  msqge0  11739  0lt1  11740  msqgt0i  11755  msqgt0d  11785  recextlem2  11849  inelr  12206  msqznn  12648  sqgt0  14095