![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mullt0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The product of two negative numbers is positive. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Jun-2009.) |
Ref | Expression |
---|---|
mullt0 | โข (((๐ด โ โ โง ๐ด < 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต < 0)) โ 0 < (๐ด ยท ๐ต)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | renegcl 11529 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ -๐ด โ โ) | |
2 | 1 | adantr 479 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด < 0) โ -๐ด โ โ) |
3 | lt0neg1 11726 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ (๐ด < 0 โ 0 < -๐ด)) | |
4 | 3 | biimpa 475 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด < 0) โ 0 < -๐ด) |
5 | 2, 4 | jca 510 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ด < 0) โ (-๐ด โ โ โง 0 < -๐ด)) |
6 | renegcl 11529 | . . . . 5 โข (๐ต โ โ โ -๐ต โ โ) | |
7 | 6 | adantr 479 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง ๐ต < 0) โ -๐ต โ โ) |
8 | lt0neg1 11726 | . . . . 5 โข (๐ต โ โ โ (๐ต < 0 โ 0 < -๐ต)) | |
9 | 8 | biimpa 475 | . . . 4 โข ((๐ต โ โ โง ๐ต < 0) โ 0 < -๐ต) |
10 | 7, 9 | jca 510 | . . 3 โข ((๐ต โ โ โง ๐ต < 0) โ (-๐ต โ โ โง 0 < -๐ต)) |
11 | mulgt0 11297 | . . 3 โข (((-๐ด โ โ โง 0 < -๐ด) โง (-๐ต โ โ โง 0 < -๐ต)) โ 0 < (-๐ด ยท -๐ต)) | |
12 | 5, 10, 11 | syl2an 594 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด < 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต < 0)) โ 0 < (-๐ด ยท -๐ต)) |
13 | recn 11204 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ โ) | |
14 | recn 11204 | . . . 4 โข (๐ต โ โ โ ๐ต โ โ) | |
15 | mul2neg 11659 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต)) | |
16 | 13, 14, 15 | syl2an 594 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต)) |
17 | 16 | ad2ant2r 743 | . 2 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด < 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต < 0)) โ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต)) |
18 | 12, 17 | breqtrd 5175 | 1 โข (((๐ด โ โ โง ๐ด < 0) โง (๐ต โ โ โง ๐ต < 0)) โ 0 < (๐ด ยท ๐ต)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1539 โ wcel 2104 class class class wbr 5149 (class class class)co 7413 โcc 11112 โcr 11113 0cc0 11114 ยท cmul 11119 < clt 11254 -cneg 11451 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7729 ax-resscn 11171 ax-1cn 11172 ax-icn 11173 ax-addcl 11174 ax-addrcl 11175 ax-mulcl 11176 ax-mulrcl 11177 ax-mulcom 11178 ax-addass 11179 ax-mulass 11180 ax-distr 11181 ax-i2m1 11182 ax-1ne0 11183 ax-1rid 11184 ax-rnegex 11185 ax-rrecex 11186 ax-cnre 11187 ax-pre-lttri 11188 ax-pre-lttrn 11189 ax-pre-ltadd 11190 ax-pre-mulgt0 11191 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-po 5589 df-so 5590 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-riota 7369 df-ov 7416 df-oprab 7417 df-mpo 7418 df-er 8707 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-pnf 11256 df-mnf 11257 df-xr 11258 df-ltxr 11259 df-le 11260 df-sub 11452 df-neg 11453 |
This theorem is referenced by: msqgt0 11740 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |