MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mullt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mullt0 11739
Description: The product of two negative numbers is positive. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
mullt0 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem mullt0
StepHypRef Expression
1 renegcl 11529 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
21adantr 479 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
3 lt0neg1 11726 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด < 0 โ†” 0 < -๐ด))
43biimpa 475 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < -๐ด)
52, 4jca 510 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โ†’ (-๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐ด))
6 renegcl 11529 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
76adantr 479 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0) โ†’ -๐ต โˆˆ โ„)
8 lt0neg1 11726 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ (๐ต < 0 โ†” 0 < -๐ต))
98biimpa 475 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0) โ†’ 0 < -๐ต)
107, 9jca 510 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0) โ†’ (-๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐ต))
11 mulgt0 11297 . . 3 (((-๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐ด) โˆง (-๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐ต)) โ†’ 0 < (-๐ด ยท -๐ต))
125, 10, 11syl2an 594 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 < (-๐ด ยท -๐ต))
13 recn 11204 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
14 recn 11204 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
15 mul2neg 11659 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
1613, 14, 15syl2an 594 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
1716ad2ant2r 743 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0)) โ†’ (-๐ด ยท -๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
1812, 17breqtrd 5175 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5149  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114   ยท cmul 11119   < clt 11254  -cneg 11451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453
This theorem is referenced by:  msqgt0  11740
  Copyright terms: Public domain W3C validator