MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mullt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mullt0 11780
Description: The product of two negative numbers is positive. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
mullt0 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mullt0
StepHypRef Expression
1 renegcl 11570 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
3 lt0neg1 11767 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
43biimpa 476 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
52, 4jca 511 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
6 renegcl 11570 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
8 lt0neg1 11767 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
98biimpa 476 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → 0 < -𝐵)
107, 9jca 511 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵))
11 mulgt0 11336 . . 3 (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
125, 10, 11syl2an 596 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
13 recn 11243 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14 recn 11243 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15 mul2neg 11700 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
1613, 14, 15syl2an 596 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
1716ad2ant2r 747 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
1812, 17breqtrd 5174 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158   < clt 11293  -cneg 11491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by:  msqgt0  11781
  Copyright terms: Public domain W3C validator