Theorem mullt0 11873

Description: The product of two negative numbers is positive. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Jun-2009.)

Assertion

Ref	Expression
mullt0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mullt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11658	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
3		lt0neg1 11860	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
4	3	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
5	2, 4	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ( -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
6		renegcl 11658	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
8		lt0neg1 11860	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
9	8	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → 0 < -𝐵)
10	7, 9	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → ( -𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵))
11		mulgt0 11424	. . 3 ⊢ ((( -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ∧ ( -𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < ( -𝐴 · -𝐵))
12	5, 10, 11	syl2an 608	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < ( -𝐴 · -𝐵))
13		recn 11327	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14		recn 11327	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15		mul2neg 11792	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ( -𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
16	13, 14, 15	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ( -𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
17	16	ad2ant2r 760	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → ( -𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
18	12, 17	breqtrd 5135	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237   · cmul 11242   < clt 11380   -cneg 11579

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581

This theorem is used by:  msqgt0  11874