MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mullt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mullt0 10747
Description: The product of two negative numbers is positive. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
mullt0 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mullt0
StepHypRef Expression
1 renegcl 10544 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 466 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
3 lt0neg1 10734 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
43biimpa 462 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
52, 4jca 501 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
6 renegcl 10544 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
76adantr 466 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → -𝐵 ∈ ℝ)
8 lt0neg1 10734 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
98biimpa 462 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → 0 < -𝐵)
107, 9jca 501 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0) → (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵))
11 mulgt0 10315 . . 3 (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ∧ (-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
125, 10, 11syl2an 583 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (-𝐴 · -𝐵))
13 recn 10226 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14 recn 10226 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
15 mul2neg 10669 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
1613, 14, 15syl2an 583 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
1716ad2ant2r 741 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → (-𝐴 · -𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
1812, 17breqtrd 4812 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 0)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6791  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136   · cmul 10141   < clt 10274  -cneg 10467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469
This theorem is referenced by:  msqgt0  10748
  Copyright terms: Public domain W3C validator