Theorem mulgt0d 11417

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0d.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
mulgt0d.4	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mulgt0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		mulgt0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5		mulgt0 11339	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  0cc0 11156   · cmul 11161   < clt 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-addrcl 11217  ax-mulrcl 11219  ax-rnegex 11227  ax-cnre 11229  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301

This theorem is referenced by:  recgt0  12114  prodgt0  12115  ltmul1a  12117  prodge0rd  13143  expmulnbnd  14275  itg2monolem3  25788  tangtx  26548  tanregt0  26582  asinsinlem  26935  asinsin  26936  ostth2lem3  27680  xrge0iifhom  33937  unbdqndv2lem2  36512  knoppndvlem14  36527  knoppndvlem18  36531  knoppndvlem19  36532  knoppndvlem21  36534  itg2gt0cn  37683  lcmineqlem15  42045  posbezout  42102  mulgt0con1d  42493  mulgt0con2d  42494  mulgt0b2d  42495  sn-0lt1  42498  pell14qrmulcl  42879  rmxypos  42964  jm2.27a  43022  stoweidlem1  46021  stoweidlem26  46046  stoweidlem44  46064  stoweidlem49  46069  wallispilem4  46088  stirlinglem6  46099  itscnhlinecirc02plem1  48708