Theorem mulgt0d 11376

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0d.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
mulgt0d.4	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mulgt0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		mulgt0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5		mulgt0 11298	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111   · cmul 11116   < clt 11254

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-addrcl 11172  ax-mulrcl 11174  ax-rnegex 11182  ax-cnre 11184  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259

This theorem is used by:  recgt0  12072  prodgt0  12073  ltmul1a  12075  prodge0rd  13137  expmulnbnd  14285  itg2monolem3  25942  tangtx  26701  tanregt0  26735  asinsinlem  27087  asinsin  27088  ostth2lem3  27830  xrge0iifhom  34367  unbdqndv2lem2  37132  knoppndvlem14  37147  knoppndvlem18  37151  knoppndvlem19  37152  knoppndvlem21  37154  itg2gt0cn  38359  lcmineqlem15  42843  posbezout  42900  mulgt0con1d  43277  mulgt0con2d  43278  mulgt0b1d  43279  sn-0lt1  43282  mulgt0b2d  43285  sn-msqgt0d  43293  pell14qrmulcl  43623  rmxypos  43707  jm2.27a  43765  stoweidlem1  46748  stoweidlem26  46773  stoweidlem44  46791  stoweidlem49  46796  wallispilem4  46815  stirlinglem6  46826  itscnhlinecirc02plem1  49595