Theorem mulgt0d 11369

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0d.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
mulgt0d.4	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		mulgt0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		mulgt0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
5		mulgt0 11291	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 851	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104   · cmul 11109   < clt 11247

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-addrcl 11165  ax-mulrcl 11167  ax-rnegex 11175  ax-cnre 11177  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252

This theorem is used by:  recgt0  12065  prodgt0  12066  ltmul1a  12068  prodge0rd  13129  expmulnbnd  14276  itg2monolem3  25920  tangtx  26679  tanregt0  26713  asinsinlem  27065  asinsin  27066  ostth2lem3  27808  xrge0iifhom  34336  unbdqndv2lem2  37127  knoppndvlem14  37142  knoppndvlem18  37146  knoppndvlem19  37147  knoppndvlem21  37149  itg2gt0cn  38354  lcmineqlem15  42838  posbezout  42895  mulgt0con1d  43272  mulgt0con2d  43273  mulgt0b1d  43274  sn-0lt1  43277  mulgt0b2d  43280  sn-msqgt0d  43288  pell14qrmulcl  43618  rmxypos  43702  jm2.27a  43760  stoweidlem1  46743  stoweidlem26  46768  stoweidlem44  46786  stoweidlem49  46791  wallispilem4  46810  stirlinglem6  46821  itscnhlinecirc02plem1  49590