MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulgt0d 10772
Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
mulgt0d.3 (𝜑 → 0 < 𝐴)
mulgt0d.4 (𝜑 → 0 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
mulgt0d (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt0d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 mulgt0d.3 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐴)
3 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 mulgt0d.4 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐵)
5 mulgt0 10695 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 837 1 (𝜑 → 0 < (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2115   class class class wbr 5039  (class class class)co 7130  cr 10513  0cc0 10514   · cmul 10519   < clt 10652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-addrcl 10575  ax-mulrcl 10577  ax-rnegex 10585  ax-cnre 10587  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-ltxr 10657
This theorem is referenced by:  recgt0  11463  prodgt0  11464  ltmul1a  11466  prodge0rd  12474  expmulnbnd  13580  itg2monolem3  24335  tangtx  25077  tanregt0  25110  asinsinlem  25456  asinsin  25457  ostth2lem3  26198  xrge0iifhom  31188  unbdqndv2lem2  33857  knoppndvlem14  33872  knoppndvlem18  33876  knoppndvlem19  33877  knoppndvlem21  33879  itg2gt0cn  34994  lcmineqlem15  39206  sn-0lt1  39397  pell14qrmulcl  39611  rmxypos  39695  jm2.27a  39753  stoweidlem1  42462  stoweidlem26  42487  stoweidlem44  42505  stoweidlem49  42510  wallispilem4  42529  stirlinglem6  42540  itscnhlinecirc02plem1  45003
  Copyright terms: Public domain W3C validator