Theorem mulge0 11815

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11292	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
2		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	leloed 11434	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	1, 4	leloed 11434	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
6	3, 5	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) ∧ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))))
7		0red 11292	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
8		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11320	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
11		mulgt0 11368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
12	11	an4s 673	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
13	7, 10, 12	ltled 11439	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
14	13	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
15		0re 11291	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		leid 11387	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≤ 0)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
18	4	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	mul02d 11489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 · 𝐵) = 0)
20	17, 19	breqtrrid 5143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (0 · 𝐵))
21		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
22	21	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ≤ (0 · 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
23	20, 22	syl5ibcom 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 = 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
24	23	adantrd 497	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 = 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
25	2	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	mul01d 11490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) = 0)
27	17, 26	breqtrrid 5143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 · 0))
28		oveq2 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐵 → (𝐴 · 0) = (𝐴 · 𝐵))
29	28	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐵 → (0 ≤ (𝐴 · 0) ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
30	27, 29	syl5ibcom 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 = 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
31	30	adantld 496	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
32	30	adantld 496	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 = 𝐴 ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
33	14, 24, 31, 32	ccased 1054	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) ∧ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
34	6, 33	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
35	34	imp 412	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
36	35	an4s 673	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181   · cmul 11186   < clt 11324   ≤ cle 11325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is used by:  mulge0i  11844  mulge0d  11874  mulge0b  12168  ge0mulcl  13573  expge0  14221  bernneq  14353  sqrtmul  15406  sqreulem  15507  amgm2  15517  nmoco  25036  iihalf1  25232  iimulcl  25238  mbfi1fseqlem1  26016  mbfi1fseqlem3  26018  mbfi1fseqlem5  26020  2lgslem1a1  27698  dchrisumlem3  27800  dchrvmasumlem2  27807  chpdifbndlem2  27863  cnlnadjlem7  32657  leopmuli  32717  reofld  33886  stoweidlem24  46978  hoidmvlelem1  47549