Theorem mulge0 11666

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11145	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
2		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	leloed 11287	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	1, 4	leloed 11287	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
6	3, 5	anbi12d 638	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) ∧ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))))
7		0red 11145	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
8		simpll 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simplr 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11173	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
11		mulgt0 11221	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
12	11	an4s 666	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
13	7, 10, 12	ltled 11292	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
14	13	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
15		0re 11144	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		leid 11240	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≤ 0)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
18	4	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	mul02d 11342	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 · 𝐵) = 0)
20	17, 19	breqtrrid 5117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (0 · 𝐵))
21		oveq1 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
22	21	breq2d 5091	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ≤ (0 · 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
23	20, 22	syl5ibcom 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 = 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
24	23	adantrd 492	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 = 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
25	2	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	mul01d 11343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) = 0)
27	17, 26	breqtrrid 5117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 · 0))
28		oveq2 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐵 → (𝐴 · 0) = (𝐴 · 𝐵))
29	28	breq2d 5091	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐵 → (0 ≤ (𝐴 · 0) ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
30	27, 29	syl5ibcom 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 = 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
31	30	adantld 491	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
32	30	adantld 491	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 = 𝐴 ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
33	14, 24, 31, 32	ccased 1044	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) ∧ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
34	6, 33	sylbid 241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
35	34	imp 407	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
36	35	an4s 666	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183

This theorem is referenced by:  mulge0i  11695  mulge0d  11725  mulge0b  12024  ge0mulcl  13412  expge0  14058  bernneq  14189  sqrtmul  15219  sqreulem  15320  amgm2  15330  nmoco  24727  iihalf1  24923  iimulcl  24929  mbfi1fseqlem1  25707  mbfi1fseqlem3  25709  mbfi1fseqlem5  25711  2lgslem1a1  27377  dchrisumlem3  27479  dchrvmasumlem2  27486  chpdifbndlem2  27542  cnlnadjlem7  32169  leopmuli  32229  reofld  33433  stoweidlem24  46474  hoidmvlelem1  47045