Theorem mulge0 11626

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11106	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
2		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	leloed 11247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
5	1, 4	leloed 11247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
6	3, 5	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) ↔ ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) ∧ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))))
7		0red 11106	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
8		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
9		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	8, 9	remulcld 11133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
11		mulgt0 11181	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
12	11	an4s 660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
13	7, 10, 12	ltled 11252	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
14	13	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
15		0re 11105	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		leid 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≤ 0)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
18	4	recnd 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	mul02d 11302	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 · 𝐵) = 0)
20	17, 19	breqtrrid 5126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (0 · 𝐵))
21		oveq1 7347	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
22	21	breq2d 5100	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ≤ (0 · 𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
23	20, 22	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 = 𝐴 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
24	23	adantrd 491	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 = 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
25	2	recnd 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
26	25	mul01d 11303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) = 0)
27	17, 26	breqtrrid 5126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 · 0))
28		oveq2 7348	. . . . . . . 8 ⊢ (0 = 𝐵 → (𝐴 · 0) = (𝐴 · 𝐵))
29	28	breq2d 5100	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝐵 → (0 ≤ (𝐴 · 0) ↔ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
30	27, 29	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 = 𝐵 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
31	30	adantld 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
32	30	adantld 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 = 𝐴 ∧ 0 = 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
33	14, 24, 31, 32	ccased 1038	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) ∧ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
34	6, 33	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵)))
35	34	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
36	35	an4s 660	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5088  (class class class)co 7340  ℝcr 10996  0cc0 10997   · cmul 11002   < clt 11137   ≤ cle 11138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-id 5508  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7343  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143

This theorem is referenced by:  mulge0i  11655  mulge0d  11685  mulge0b  11983  ge0mulcl  13352  expge0  13993  bernneq  14124  sqrtmul  15153  sqreulem  15254  amgm2  15264  nmoco  24606  iihalf1  24806  iimulcl  24814  mbfi1fseqlem1  25597  mbfi1fseqlem3  25599  mbfi1fseqlem5  25601  2lgslem1a1  27281  dchrisumlem3  27383  dchrvmasumlem2  27390  chpdifbndlem2  27446  cnlnadjlem7  32004  leopmuli  32064  reofld  33276  stoweidlem24  46019  hoidmvlelem1  46590