MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulge0 11678
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulge0 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem mulge0
StepHypRef Expression
1 0red 11163 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2 simpl 484 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
31, 2leloed 11303 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
4 simpr 486 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
51, 4leloed 11303 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)))
63, 5anbi12d 632 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†” ((0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด) โˆง (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต))))
7 0red 11163 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
8 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
9 simplr 768 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
108, 9remulcld 11190 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
11 mulgt0 11237 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
1211an4s 659 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
137, 10, 12ltled 11308 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
1413ex 414 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
15 0re 11162 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
16 leid 11256 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค 0)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 0
184recnd 11188 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1918mul02d 11358 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
2017, 19breqtrrid 5144 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (0 ยท ๐ต))
21 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (0 = ๐ด โ†’ (0 ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
2221breq2d 5118 . . . . . . 7 (0 = ๐ด โ†’ (0 โ‰ค (0 ยท ๐ต) โ†” 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
2320, 22syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 = ๐ด โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
2423adantrd 493 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 = ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
252recnd 11188 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2625mul01d 11359 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
2717, 26breqtrrid 5144 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท 0))
28 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (0 = ๐ต โ†’ (๐ด ยท 0) = (๐ด ยท ๐ต))
2928breq2d 5118 . . . . . . 7 (0 = ๐ต โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท 0) โ†” 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
3027, 29syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 = ๐ต โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
3130adantld 492 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 = ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
3230adantld 492 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 = ๐ด โˆง 0 = ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
3314, 24, 31, 32ccased 1038 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด) โˆง (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
346, 33sylbid 239 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
3534imp 408 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
3635an4s 659 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200
This theorem is referenced by:  mulge0i  11707  mulge0d  11737  mulge0b  12030  ge0mulcl  13384  expge0  14010  bernneq  14138  sqrtmul  15150  sqreulem  15250  amgm2  15260  nmoco  24117  iihalf1  24310  iimulcl  24316  mbfi1fseqlem1  25096  mbfi1fseqlem3  25098  mbfi1fseqlem5  25100  2lgslem1a1  26753  dchrisumlem3  26855  dchrvmasumlem2  26862  chpdifbndlem2  26918  cnlnadjlem7  31057  leopmuli  31117  reofld  32183  stoweidlem24  44351  hoidmvlelem1  44922
  Copyright terms: Public domain W3C validator