MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulge0 11763
Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulge0 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))

Proof of Theorem mulge0
StepHypRef Expression
1 0red 11248 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2 simpl 482 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
31, 2leloed 11388 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
4 simpr 484 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
51, 4leloed 11388 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)))
63, 5anbi12d 631 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†” ((0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด) โˆง (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต))))
7 0red 11248 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
8 simpll 766 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
9 simplr 768 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
108, 9remulcld 11275 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
11 mulgt0 11322 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
1211an4s 659 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
137, 10, 12ltled 11393 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
1413ex 412 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
15 0re 11247 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„
16 leid 11341 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ โ„ โ†’ 0 โ‰ค 0)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 0
184recnd 11273 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1918mul02d 11443 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 ยท ๐ต) = 0)
2017, 19breqtrrid 5186 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (0 ยท ๐ต))
21 oveq1 7427 . . . . . . . 8 (0 = ๐ด โ†’ (0 ยท ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
2221breq2d 5160 . . . . . . 7 (0 = ๐ด โ†’ (0 โ‰ค (0 ยท ๐ต) โ†” 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
2320, 22syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 = ๐ด โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
2423adantrd 491 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 = ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
252recnd 11273 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2625mul01d 11444 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
2717, 26breqtrrid 5186 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท 0))
28 oveq2 7428 . . . . . . . 8 (0 = ๐ต โ†’ (๐ด ยท 0) = (๐ด ยท ๐ต))
2928breq2d 5160 . . . . . . 7 (0 = ๐ต โ†’ (0 โ‰ค (๐ด ยท 0) โ†” 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
3027, 29syl5ibcom 244 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 = ๐ต โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
3130adantld 490 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 < ๐ด โˆง 0 = ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
3230adantld 490 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 = ๐ด โˆง 0 = ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
3314, 24, 31, 32ccased 1037 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (((0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด) โˆง (0 < ๐ต โˆจ 0 = ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
346, 33sylbid 239 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)))
3534imp 406 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
3635an4s 659 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  โ„cr 11138  0cc0 11139   ยท cmul 11144   < clt 11279   โ‰ค cle 11280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285
This theorem is referenced by:  mulge0i  11792  mulge0d  11822  mulge0b  12115  ge0mulcl  13471  expge0  14096  bernneq  14224  sqrtmul  15239  sqreulem  15339  amgm2  15349  nmoco  24667  iihalf1  24865  iimulcl  24873  mbfi1fseqlem1  25658  mbfi1fseqlem3  25660  mbfi1fseqlem5  25662  2lgslem1a1  27335  dchrisumlem3  27437  dchrvmasumlem2  27444  chpdifbndlem2  27500  cnlnadjlem7  31896  leopmuli  31956  reofld  33069  stoweidlem24  45412  hoidmvlelem1  45983
  Copyright terms: Public domain W3C validator