Theorem rpmulcl 12944

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12928	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpre 12928	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		remulcl 11125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		elrp 12921	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6		elrp 12921	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
7		mulgt0 11224	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anb 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9		elrp 12921	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
10	4, 8, 9	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  0cc0 11040   · cmul 11045   < clt 11180  ℝ⁺crp 12919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-addrcl 11101  ax-mulrcl 11103  ax-rnegex 11111  ax-cnre 11113  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-ltxr 11185  df-rp 12920

This theorem is referenced by:  rpmtmip  12945  rpmulcld  12979  moddi  13876  rpexpcl  14017  discr  14177  reccn2  15534  expcnv  15801  fprodrpcl  15893  rprisefaccl  15960  rpmsubg  21403  ovolscalem2  25488  aaliou3lem7  26330  aaliou3lem9  26331  cos02pilt1  26508  cosordlem  26512  logfac  26583  loglesqrt  26744  divsqrtsumlem  26963  basellem1  27064  pclogsum  27199  bclbnd  27264  bposlem7  27274  bposlem8  27275  bposlem9  27276  chebbnd1lem2  27454  dchrisum0lem3  27503  chpdifbndlem2  27538  pntrsumbnd2  27551  pntpbnd1a  27569  pntpbnd2  27571  pntibnd  27577  pntlemd  27578  pntlema  27580  pntlemb  27581  pntlemf  27589  pntlemo  27591  minvecolem3  30970  knoppndvlem18  36757  taupilem1  37603  taupilem2  37604  taupi  37605  ftc1anclem7  37979  ftc1anc  37981  isbnd2  38063  wallispilem4  46455  wallispi  46457  dirker2re  46479  dirkerdenne0  46480  dirkerper  46483  dirkertrigeq  46488  dirkercncflem2  46491  fourierdlem24  46518  sqwvfoura  46615  sqwvfourb  46616  amgmlemALT  50191