Theorem rpmulcl 13020

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13004	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpre 13004	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		remulcl 11160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		elrp 12997	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6		elrp 12997	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
7		mulgt0 11262	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anb 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9		elrp 12997	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
10	4, 8, 9	sylanbrc 592	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080   < clt 11218  ℝ⁺crp 12995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-mulrcl 11138  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-ltxr 11223  df-rp 12996

This theorem is referenced by:  rpmtmip  13021  rpmulcld  13055  moddi  13954  rpexpcl  14095  discr  14255  reccn2  15626  expcnv  15896  fprodrpcl  15988  rprisefaccl  16055  rpmsubg  21485  ovolscalem2  25578  aaliou3lem7  26415  aaliou3lem9  26416  cos02pilt1  26593  cosordlem  26597  logfac  26668  loglesqrt  26828  divsqrtsumlem  27046  basellem1  27147  pclogsum  27281  bclbnd  27346  bposlem7  27356  bposlem8  27357  bposlem9  27358  chebbnd1lem2  27536  dchrisum0lem3  27585  chpdifbndlem2  27620  pntrsumbnd2  27633  pntpbnd1a  27651  pntpbnd2  27653  pntibnd  27659  pntlemd  27660  pntlema  27662  pntlemb  27663  pntlemf  27671  pntlemo  27673  minvecolem3  31081  knoppndvlem18  36972  taupilem1  37818  taupilem2  37819  taupi  37820  ftc1anclem7  38203  ftc1anc  38205  isbnd2  38287  wallispilem4  46647  wallispi  46649  dirker2re  46671  dirkerdenne0  46672  dirkerper  46675  dirkertrigeq  46680  dirkercncflem2  46683  fourierdlem24  46710  sqwvfoura  46807  sqwvfourb  46808  amgmlemALT  50429