Theorem rpmulcl 12863

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12848	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpre 12848	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		remulcl 11066	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		elrp 12842	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6		elrp 12842	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
7		mulgt0 11162	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anb 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9		elrp 12842	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
10	4, 8, 9	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5100  (class class class)co 7346  ℝcr 10980  0cc0 10981   · cmul 10986   < clt 11119  ℝ⁺crp 12840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-addrcl 11042  ax-mulrcl 11044  ax-rnegex 11052  ax-cnre 11054  ax-pre-mulgt0 11058

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-id 5525  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-ltxr 11124  df-rp 12841

This theorem is referenced by:  rpmtmip  12864  rpmulcld  12898  moddi  13769  rpexpcl  13911  discr  14065  reccn2  15410  expcnv  15680  fprodrpcl  15770  rprisefaccl  15837  rpmsubg  20772  ovolscalem2  24788  aaliou3lem7  25619  aaliou3lem9  25620  cos02pilt1  25792  cosordlem  25796  logfac  25866  loglesqrt  26021  divsqrtsumlem  26239  basellem1  26340  pclogsum  26473  bclbnd  26538  bposlem7  26548  bposlem8  26549  bposlem9  26550  chebbnd1lem2  26728  dchrisum0lem3  26777  chpdifbndlem2  26812  pntrsumbnd2  26825  pntpbnd1a  26843  pntpbnd2  26845  pntibnd  26851  pntlemd  26852  pntlema  26854  pntlemb  26855  pntlemf  26863  pntlemo  26865  minvecolem3  29592  knoppndvlem18  34848  taupilem1  35648  taupilem2  35649  taupi  35650  ftc1anclem7  36012  ftc1anc  36014  isbnd2  36097  wallispilem4  43997  wallispi  43999  dirker2re  44021  dirkerdenne0  44022  dirkerper  44025  dirkertrigeq  44030  dirkercncflem2  44033  fourierdlem24  44060  sqwvfoura  44157  sqwvfourb  44158  amgmlemALT  46924