Theorem rpmulcl 13045

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13029	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpre 13029	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		remulcl 11189	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		elrp 13022	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6		elrp 13022	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
7		mulgt0 11291	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anb 609	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9		elrp 13022	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
10	4, 8, 9	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104   · cmul 11109   < clt 11247  ℝ⁺crp 13020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-addrcl 11165  ax-mulrcl 11167  ax-rnegex 11175  ax-cnre 11177  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-rp 13021

This theorem is used by:  rpmtmip  13046  rpmulcld  13080  moddi  13980  rpexpcl  14121  discr  14281  reccn2  15653  expcnv  15923  fprodrpcl  16015  rprisefaccl  16082  rpmsubg  21590  ovolscalem2  25682  aaliou3lem7  26521  aaliou3lem9  26522  cos02pilt1  26700  cosordlem  26704  logfac  26775  loglesqrt  26935  divsqrtsumlem  27153  basellem1  27254  pclogsum  27388  bclbnd  27453  bposlem7  27463  bposlem8  27464  bposlem9  27465  chebbnd1lem2  27643  dchrisum0lem3  27692  chpdifbndlem2  27727  pntrsumbnd2  27740  pntpbnd1a  27758  pntpbnd2  27760  pntibnd  27766  pntlemd  27767  pntlema  27769  pntlemb  27770  pntlemf  27778  pntlemo  27780  minvecolem3  31237  knoppndvlem18  37146  taupilem1  37993  taupilem2  37994  taupi  37995  ftc1anclem7  38378  ftc1anc  38380  isbnd2  38462  wallispilem4  46810  wallispi  46812  dirker2re  46834  dirkerdenne0  46835  dirkerper  46838  dirkertrigeq  46843  dirkercncflem2  46846  fourierdlem24  46873  sqwvfoura  46970  sqwvfourb  46971  amgmlemALT  50678