Theorem rpmulcl 13114

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 13098	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpre 13098	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		remulcl 11256	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		elrp 13091	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6		elrp 13091	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
7		mulgt0 11358	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anb 610	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9		elrp 13091	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
10	4, 8, 9	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  (class class class)co 7408  ℝcr 11170  0cc0 11171   · cmul 11176   < clt 11314  ℝ⁺crp 13089

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-addrcl 11232  ax-mulrcl 11234  ax-rnegex 11242  ax-cnre 11244  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-ltxr 11319  df-rp 13090

This theorem is used by:  rpmtmip  13115  rpmulcld  13149  moddi  14050  rpexpcl  14191  discr  14351  reccn2  15731  expcnv  16000  fprodrpcl  16090  rprisefaccl  16157  rpmsubg  21698  ovolscalem2  25796  aaliou3lem7  26639  aaliou3lem9  26640  cos02pilt1  26817  cosordlem  26821  logfac  26892  loglesqrt  27052  divsqrtsumlem  27270  basellem1  27371  pclogsum  27505  bclbnd  27570  bposlem7  27580  bposlem8  27581  bposlem9  27582  chebbnd1lem2  27760  dchrisum0lem3  27809  chpdifbndlem2  27844  pntrsumbnd2  27857  pntpbnd1a  27875  pntpbnd2  27877  pntibnd  27883  pntlemd  27884  pntlema  27886  pntlemb  27887  pntlemf  27895  pntlemo  27897  minvecolem3  31411  knoppndvlem18  37317  taupilem1  38162  taupilem2  38163  taupi  38164  ftc1anclem7  38537  ftc1anc  38539  isbnd2  38637  wallispilem4  47000  wallispi  47002  dirker2re  47024  dirkerdenne0  47025  dirkerper  47028  dirkertrigeq  47033  dirkercncflem2  47036  fourierdlem24  47063  sqwvfoura  47160  sqwvfourb  47161  amgmlemALT  50910