MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpmulcl 12409
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpmulcl ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcl
StepHypRef Expression
1 rpre 12394 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 rpre 12394 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
3 remulcl 10620 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2an 598 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5 elrp 12388 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6 elrp 12388 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
7 mulgt0 10716 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
85, 6, 7syl2anb 600 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9 elrp 12388 . 2 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
104, 8, 9sylanbrc 586 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  cr 10534  0cc0 10535   · cmul 10540   < clt 10673  +crp 12386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-addrcl 10596  ax-mulrcl 10598  ax-rnegex 10606  ax-cnre 10608  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-ltxr 10678  df-rp 12387
This theorem is referenced by:  rpmtmip  12410  rpmulcld  12444  moddi  13311  rpexpcl  13453  discr  13606  reccn2  14953  expcnv  15219  fprodrpcl  15310  rprisefaccl  15377  rpmsubg  20162  ovolscalem2  24125  aaliou3lem7  24952  aaliou3lem9  24953  cos02pilt1  25125  cosordlem  25129  logfac  25199  loglesqrt  25354  divsqrtsumlem  25572  basellem1  25673  pclogsum  25806  bclbnd  25871  bposlem7  25881  bposlem8  25882  bposlem9  25883  chebbnd1lem2  26061  dchrisum0lem3  26110  chpdifbndlem2  26145  pntrsumbnd2  26158  pntpbnd1a  26176  pntpbnd2  26178  pntibnd  26184  pntlemd  26185  pntlema  26187  pntlemb  26188  pntlemf  26196  pntlemo  26198  minvecolem3  28666  knoppndvlem18  33929  taupilem1  34684  taupilem2  34685  taupi  34686  ftc1anclem7  35085  ftc1anc  35087  isbnd2  35170  wallispilem4  42641  wallispi  42643  dirker2re  42665  dirkerdenne0  42666  dirkerper  42669  dirkertrigeq  42674  dirkercncflem2  42677  fourierdlem24  42704  sqwvfoura  42801  sqwvfourb  42802  amgmlemALT  45262
  Copyright terms: Public domain W3C validator