![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > rpmulcl | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.) |
Ref | Expression |
---|---|
rpmulcl | โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ+) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | rpre 12924 | . . 3 โข (๐ด โ โ+ โ ๐ด โ โ) | |
2 | rpre 12924 | . . 3 โข (๐ต โ โ+ โ ๐ต โ โ) | |
3 | remulcl 11137 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) | |
4 | 1, 2, 3 | syl2an 597 | . 2 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ) |
5 | elrp 12918 | . . 3 โข (๐ด โ โ+ โ (๐ด โ โ โง 0 < ๐ด)) | |
6 | elrp 12918 | . . 3 โข (๐ต โ โ+ โ (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) | |
7 | mulgt0 11233 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ 0 < (๐ด ยท ๐ต)) | |
8 | 5, 6, 7 | syl2anb 599 | . 2 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ+) โ 0 < (๐ด ยท ๐ต)) |
9 | elrp 12918 | . 2 โข ((๐ด ยท ๐ต) โ โ+ โ ((๐ด ยท ๐ต) โ โ โง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) | |
10 | 4, 8, 9 | sylanbrc 584 | 1 โข ((๐ด โ โ+ โง ๐ต โ โ+) โ (๐ด ยท ๐ต) โ โ+) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 โ wcel 2107 class class class wbr 5106 (class class class)co 7358 โcr 11051 0cc0 11052 ยท cmul 11057 < clt 11190 โ+crp 12916 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-addrcl 11113 ax-mulrcl 11115 ax-rnegex 11123 ax-cnre 11125 ax-pre-mulgt0 11129 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-id 5532 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-ltxr 11195 df-rp 12917 |
This theorem is referenced by: rpmtmip 12940 rpmulcld 12974 moddi 13845 rpexpcl 13987 discr 14144 reccn2 15480 expcnv 15750 fprodrpcl 15840 rprisefaccl 15907 rpmsubg 20864 ovolscalem2 24881 aaliou3lem7 25712 aaliou3lem9 25713 cos02pilt1 25885 cosordlem 25889 logfac 25959 loglesqrt 26114 divsqrtsumlem 26332 basellem1 26433 pclogsum 26566 bclbnd 26631 bposlem7 26641 bposlem8 26642 bposlem9 26643 chebbnd1lem2 26821 dchrisum0lem3 26870 chpdifbndlem2 26905 pntrsumbnd2 26918 pntpbnd1a 26936 pntpbnd2 26938 pntibnd 26944 pntlemd 26945 pntlema 26947 pntlemb 26948 pntlemf 26956 pntlemo 26958 minvecolem3 29821 knoppndvlem18 34995 taupilem1 35795 taupilem2 35796 taupi 35797 ftc1anclem7 36160 ftc1anc 36162 isbnd2 36245 wallispilem4 44316 wallispi 44318 dirker2re 44340 dirkerdenne0 44341 dirkerper 44344 dirkertrigeq 44349 dirkercncflem2 44352 fourierdlem24 44379 sqwvfoura 44476 sqwvfourb 44477 amgmlemALT 47257 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |