Theorem rpmulcl 12976

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12960	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpre 12960	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
3		remulcl 11153	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5		elrp 12953	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6		elrp 12953	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
7		mulgt0 11251	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
8	5, 6, 7	syl2anb 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9		elrp 12953	. 2 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
10	4, 8, 9	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068   · cmul 11073   < clt 11208  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-mulrcl 11131  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  rpmtmip  12977  rpmulcld  13011  moddi  13904  rpexpcl  14045  discr  14205  reccn2  15563  expcnv  15830  fprodrpcl  15922  rprisefaccl  15989  rpmsubg  21348  ovolscalem2  25415  aaliou3lem7  26257  aaliou3lem9  26258  cos02pilt1  26435  cosordlem  26439  logfac  26510  loglesqrt  26671  divsqrtsumlem  26890  basellem1  26991  pclogsum  27126  bclbnd  27191  bposlem7  27201  bposlem8  27202  bposlem9  27203  chebbnd1lem2  27381  dchrisum0lem3  27430  chpdifbndlem2  27465  pntrsumbnd2  27478  pntpbnd1a  27496  pntpbnd2  27498  pntibnd  27504  pntlemd  27505  pntlema  27507  pntlemb  27508  pntlemf  27516  pntlemo  27518  minvecolem3  30805  knoppndvlem18  36517  taupilem1  37309  taupilem2  37310  taupi  37311  ftc1anclem7  37693  ftc1anc  37695  isbnd2  37777  wallispilem4  46066  wallispi  46068  dirker2re  46090  dirkerdenne0  46091  dirkerper  46094  dirkertrigeq  46099  dirkercncflem2  46102  fourierdlem24  46129  sqwvfoura  46226  sqwvfourb  46227  amgmlemALT  49792