Theorem mulltgt0 40698

Description: The product of a negative and a positive number is negative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
mulltgt0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Proof of Theorem mulltgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 10744	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2	1	ad2antrr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → -𝐴 ∈ ℝ)
3		lt0neg1 10941	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
4	3	biimpa 469	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
5	4	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < -𝐴)
6		simpr 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
7		mulgt0 10512	. . . 4 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (-𝐴 · 𝐵))
8	2, 5, 6, 7	syl21anc 825	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (-𝐴 · 𝐵))
9		recn 10419	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10	9	ad2antrr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		recn 10419	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
12	11	ad2antrl 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulneg1d 10888	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
14	8, 13	breqtrd 4949	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < -(𝐴 · 𝐵))
15		remulcl 10414	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	ad2ant2r 734	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
17	16	lt0neg1d 11004	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
18	14, 17	mpbird 249	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4923  (class class class)co 6970  ℂcc 10327  ℝcr 10328  0cc0 10329   · cmul 10334   < clt 10468  -cneg 10665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5306  df-po 5320  df-so 5321  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-er 8083  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667

This theorem is referenced by:  stoweidlem26  41742  stirlinglem5  41794