Theorem noinfepregs 35861

Description: There are no infinite descending ∈-chains, proven using ax-regs 35854. (Contributed by BTernaryTau, 18-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
noinfepregs	⊢ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ∉ (𝐹‘𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem noinfepregs

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noinfepfnregs 35860	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ ω) Fn ω → ∃𝑥 ∈ ω ((𝐹 ↾ ω)‘suc 𝑥) ∉ ((𝐹 ↾ ω)‘𝑥))
2		peano2 7905	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → suc 𝑥 ∈ ω)
3	2	fvresd 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((𝐹 ↾ ω)‘suc 𝑥) = (𝐹‘suc 𝑥))
4		fvres 6909	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → ((𝐹 ↾ ω)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
5	3, 4	neleq12d 3066	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (((𝐹 ↾ ω)‘suc 𝑥) ∉ ((𝐹 ↾ ω)‘𝑥) ↔ (𝐹‘suc 𝑥) ∉ (𝐹‘𝑥)))
6	5	rexbiia 3107	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω ((𝐹 ↾ ω)‘suc 𝑥) ∉ ((𝐹 ↾ ω)‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ∉ (𝐹‘𝑥))
7	1, 6	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ ω) Fn ω → ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ∉ (𝐹‘𝑥))
8		fnres 6671	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ↾ ω) Fn ω ↔ ∀𝑥 ∈ ω ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
9	8	notbii 323	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐹 ↾ ω) Fn ω ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ω ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
10		rexnal 3114	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω ¬ ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ ω ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
11	9, 10	sylbb2 241	. . 3 ⊢ (¬ (𝐹 ↾ ω) Fn ω → ∃𝑥 ∈ ω ¬ ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦)
12		tz6.12-2 6877	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 → (𝐹‘𝑥) = ∅)
13		nel02 4284	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = ∅ → ¬ (𝐹‘suc 𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥))
14		df-nel 3062	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘suc 𝑥) ∉ (𝐹‘𝑥) ↔ ¬ (𝐹‘suc 𝑥) ∈ (𝐹‘𝑥))
15	13, 14	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = ∅ → (𝐹‘suc 𝑥) ∉ (𝐹‘𝑥))
16	12, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (¬ ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 → (𝐹‘suc 𝑥) ∉ (𝐹‘𝑥))
17	16	reximi 3100	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ω ¬ ∃!𝑦 𝑥𝐹𝑦 → ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ∉ (𝐹‘𝑥))
18	11, 17	syl 18	. 2 ⊢ (¬ (𝐹 ↾ ω) Fn ω → ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ∉ (𝐹‘𝑥))
19	7, 18	pm2.61i 184	1 ⊢ ∃𝑥 ∈ ω (𝐹‘suc 𝑥) ∉ (𝐹‘𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃!weu 2593   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∅c0 4277   class class class wbr 5102   ↾ cres 5653  suc csuc 6367   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  ωcom 7881

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-regs 35854

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-fv 6551  df-om 7882

This theorem is used by: (None)