MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nsgtrivd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1nsgtrivd 18446
Description: A group with exactly one normal subgroup is trivial. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
1nsgtrivd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
1nsgtrivd.2 0 = (0g𝐺)
1nsgtrivd.3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
1nsgtrivd.4 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 1o)
Assertion
Ref Expression
1nsgtrivd (𝜑𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 1nsgtrivd
StepHypRef Expression
1 1nsgtrivd.3 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 1nsgtrivd.1 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
32nsgid 18442 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
5 1nsgtrivd.2 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
650nsg 18441 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
71, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
8 1nsgtrivd.4 . . . 4 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 1o)
9 en1eqsn 8827 . . . 4 (({ 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (NrmSGrp‘𝐺) ≈ 1o) → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }})
107, 8, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (NrmSGrp‘𝐺) = {{ 0 }})
114, 10eleqtrd 2835 . 2 (𝜑𝐵 ∈ {{ 0 }})
12 snex 5298 . . 3 { 0 } ∈ V
13 elsn2g 4554 . . 3 ({ 0 } ∈ V → (𝐵 ∈ {{ 0 }} ↔ 𝐵 = { 0 }))
1412, 13mp1i 13 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ {{ 0 }} ↔ 𝐵 = { 0 }))
1511, 14mpbid 235 1 (𝜑𝐵 = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3398  {csn 4516   class class class wbr 5030  cfv 6339  1oc1o 8126  cen 8554  Basecbs 16588  0gc0g 16818  Grpcgrp 18221  NrmSGrpcnsg 18394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-nn 11719  df-2 11781  df-ndx 16591  df-slot 16592  df-base 16594  df-sets 16595  df-ress 16596  df-plusg 16683  df-0g 16820  df-mgm 17970  df-sgrp 18019  df-mnd 18030  df-grp 18224  df-minusg 18225  df-sbg 18226  df-subg 18396  df-nsg 18397
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator