Theorem 0nsg 19210

Description: The zero subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
0nsg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0nsg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0nsg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nsg.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2	1	0subg 19193	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		elsni 4599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ { 0 } → 𝑦 = 0 )
4	3	ad2antll 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝑦 = 0 )
5	4	oveq2d 7412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺) 0 ))
6		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8	6, 7, 1	grprid 19010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
9	8	adantrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
10	5, 9	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑥)
11	10	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(-g‘𝐺)𝑥))
12		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
13	6, 1, 12	grpsubid 19066	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
14	13	adantrr 727	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
15	11, 14	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
16		ovex 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ V
17	16	elsn 4597	. . . 4 ⊢ (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
18	15, 17	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 })
19	18	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 })
20	6, 7, 12	isnsg3 19201	. 2 ⊢ ({ 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 }))
21	2, 19, 20	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  {csn 4582  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  0_gc0g 17468  Grpcgrp 18975  -_gcsg 18977  SubGrpcsubg 19162  NrmSGrpcnsg 19163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-nsg 19166

This theorem is referenced by:  0idnsgd  19212  1nsgtrivd  19215  qus0subgadd  19240  ghmker  19282  2nsgsimpgd  20144