Theorem 0nsg 19200

Description: The zero subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
0nsg.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
0nsg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0nsg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nsg.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2	1	0subg 19182	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		elsni 4648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ { 0 } → 𝑦 = 0 )
4	3	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝑦 = 0 )
5	4	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺) 0 ))
6		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
8	6, 7, 1	grprid 18999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
9	8	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑥)
10	5, 9	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = 𝑥)
11	10	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = (𝑥(-g‘𝐺)𝑥))
12		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
13	6, 1, 12	grpsubid 19055	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
14	13	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
15	11, 14	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
16		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ V
17	16	elsn 4646	. . . 4 ⊢ (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) = 0 )
18	15, 17	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 })
19	18	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 })
20	6, 7, 12	isnsg3 19191	. 2 ⊢ ({ 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ { 0 }))
21	2, 19, 20	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  -_gcsg 18966  SubGrpcsubg 19151  NrmSGrpcnsg 19152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-nsg 19155

This theorem is referenced by:  0idnsgd  19202  1nsgtrivd  19205  qus0subgadd  19230  ghmker  19273  2nsgsimpgd  20137