MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nsg 19117
Description: The zero subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
0nsg.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
0nsg (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0nsg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nsg.z . . 3 0 = (0g𝐺)
210subg 19099 . 2 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 elsni 4641 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ { 0 } → 𝑦 = 0 )
43ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝑦 = 0 )
54oveq2d 7430 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐺) 0 ))
6 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
86, 7, 1grprid 18918 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺) 0 ) = 𝑥)
98adantrr 716 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g𝐺) 0 ) = 𝑥)
105, 9eqtrd 2768 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑥)
1110oveq1d 7429 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) = (𝑥(-g𝐺)𝑥))
12 eqid 2728 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
136, 1, 12grpsubid 18973 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(-g𝐺)𝑥) = 0 )
1413adantrr 716 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(-g𝐺)𝑥) = 0 )
1511, 14eqtrd 2768 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) = 0 )
16 ovex 7447 . . . . 5 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ V
1716elsn 4639 . . . 4 (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) = 0 )
1815, 17sylibr 233 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ { 0 })
1918ralrimivva 3196 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ { 0 })
206, 7, 12isnsg3 19108 . 2 ({ 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ { 0 }))
212, 19, 20sylanbrc 582 1 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  {csn 4624  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  0gc0g 17414  Grpcgrp 18883  -gcsg 18885  SubGrpcsubg 19068  NrmSGrpcnsg 19069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-nsg 19072
This theorem is referenced by:  0idnsgd  19119  1nsgtrivd  19122  qus0subgadd  19147  ghmker  19189  2nsgsimpgd  20052
  Copyright terms: Public domain W3C validator