Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0nsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0nsg 18321
 Description: The zero subgroup is normal. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
0nsg.z 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
0nsg (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))

Proof of Theorem 0nsg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nsg.z . . 3 0 = (0g𝐺)
210subg 18304 . 2 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 elsni 4567 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ { 0 } → 𝑦 = 0 )
43ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → 𝑦 = 0 )
54oveq2d 7165 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = (𝑥(+g𝐺) 0 ))
6 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
7 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (+g𝐺) = (+g𝐺)
86, 7, 1grprid 18134 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺) 0 ) = 𝑥)
98adantrr 716 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g𝐺) 0 ) = 𝑥)
105, 9eqtrd 2859 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) = 𝑥)
1110oveq1d 7164 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) = (𝑥(-g𝐺)𝑥))
12 eqid 2824 . . . . . . 7 (-g𝐺) = (-g𝐺)
136, 1, 12grpsubid 18183 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(-g𝐺)𝑥) = 0 )
1413adantrr 716 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → (𝑥(-g𝐺)𝑥) = 0 )
1511, 14eqtrd 2859 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) = 0 )
16 ovex 7182 . . . . 5 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ V
1716elsn 4565 . . . 4 (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ { 0 } ↔ ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) = 0 )
1815, 17sylibr 237 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ { 0 })) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ { 0 })
1918ralrimivva 3186 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ { 0 })
206, 7, 12isnsg3 18312 . 2 ({ 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ ({ 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ { 0 } ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ { 0 }))
212, 19, 20sylanbrc 586 1 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  {csn 4550  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  0gc0g 16713  Grpcgrp 18103  -gcsg 18105  SubGrpcsubg 18273  NrmSGrpcnsg 18274 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-nsg 18277 This theorem is referenced by:  0idnsgd  18323  1nsgtrivd  18326  ghmker  18384  2nsgsimpgd  19224
 Copyright terms: Public domain W3C validator