Theorem oa0 8437

Description: Addition with zero. Proposition 8.3 of [TakeutiZaring] p. 57. Definition 2.3 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oa0	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)

Proof of Theorem oa0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6366	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		oav 8432	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 +o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅))
4		rdg0g 8352	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ∅c0 4282   ↦ cmpt 5174  Oncon0 6311  suc csuc 6313  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  reccrdg 8334   +_o coa 8388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-oadd 8395

This theorem is referenced by:  oa1suc  8452  oacl  8456  oa0r  8459  om0r  8460  oawordri  8471  oaord1  8472  oaword1  8473  oawordeulem  8475  oa00  8480  oaass  8482  oarec  8483  odi  8500  oeoalem  8517  nna0  8525  nna0r  8530  nnm0r  8531  nnawordi  8542  naddoa  8623  cantnflt  9569  fineqvnttrclse  35165  rdgeqoa  37435  oa0suclim  43393  cantnfresb  43442  dflim5  43447  omabs2  43450  tfsconcatb0  43462  ofoafo  43474  ofoaid1  43476  naddcnff  43480  naddcnffo  43482  oaun3lem1  43492  naddgeoa  43512  naddonnn  43513  naddwordnexlem4  43519