Theorem oa0 8507

Description: Addition with zero. Proposition 8.3 of [TakeutiZaring] p. 57. Definition 2.3 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oa0	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)

Proof of Theorem oa0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 6417	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		oav 8502	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 +o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅))
3	1, 2	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅))
4		rdg0g 8420	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ∅c0 4282   ↦ cmpt 5190  Oncon0 6361  suc csuc 6363  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  reccrdg 8402   +_o coa 8456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-oadd 8463

This theorem is used by:  oa1suc  8522  oacl  8526  oa0r  8529  om0r  8530  oawordri  8541  oaord1  8542  oaword1  8543  oawordeulem  8545  oa00  8550  oaass  8552  oarec  8553  odi  8570  oeoalem  8588  nna0  8596  nna0r  8601  nnm0r  8602  nnawordi  8613  naddoa  8695  cantnflt  9655  fineqvnttrclse  35658  rdgeqoa  38132  oa0suclim  44124  cantnfresb  44173  dflim5  44178  omabs2  44181  tfsconcatb0  44193  ofoafo  44205  ofoaid1  44207  naddcnff  44211  naddcnffo  44213  oaun3lem1  44223  naddgeoa  44243  naddonnn  44244  naddwordnexlem4  44250