MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oa0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oa0 7833
Description: Addition with zero. Proposition 8.3 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
oa0 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)

Proof of Theorem oa0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elon 5991 . . 3 ∅ ∈ On
2 oav 7828 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 +𝑜 ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅))
31, 2mpan2 674 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅))
4 rdg0g 7759 . 2 (𝐴 ∈ On → (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅) = 𝐴)
53, 4eqtrd 2840 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2156  Vcvv 3391  c0 4116  cmpt 4923  Oncon0 5936  suc csuc 5938  cfv 6101  (class class class)co 6874  reccrdg 7741   +𝑜 coa 7793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-oadd 7800
This theorem is referenced by:  oa1suc  7848  oacl  7852  oa0r  7855  om0r  7856  oawordri  7867  oaord1  7868  oaword1  7869  oawordeulem  7871  oa00  7876  oaass  7878  oarec  7879  odi  7896  oeoalem  7913  nna0  7921  nna0r  7926  nnm0r  7927  nnawordi  7938  cantnflt  8816  rdgeqoa  33534
  Copyright terms: Public domain W3C validator