MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oelim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oelim 8484
Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent and nonzero base. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 1-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
oelim (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hint:   ๐ถ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem oelim
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 6385 . . 3 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
2 simpr 486 . . 3 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ Lim ๐ต)
31, 2jca 513 . 2 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต))
4 rdglim2a 8383 . . . 4 ((๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต) โ†’ (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
54ad2antlr 726 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
6 oevn0 8465 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
7 onelon 6346 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
8 oevn0 8465 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
97, 8sylanl2 680 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
109exp42 437 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ)))))
1110com34 91 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ)))))
1211imp41 427 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
1312iuneq2dv 4982 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
146, 13eqeq12d 2749 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ)))
1514adantlrr 720 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ)))
165, 15mpbird 257 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ))
173, 16sylanl2 680 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  Vcvv 3447  โˆ…c0 4286  โˆช ciun 4958   โ†ฆ cmpt 5192  Oncon0 6321  Lim wlim 6322  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  reccrdg 8359  1oc1o 8409   ยทo comu 8414   โ†‘o coe 8415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oexp 8422
This theorem is referenced by:  oecl  8487  oe1m  8496  oen0  8537  oeordi  8538  oewordri  8543  oeworde  8544  oelim2  8546  oeoalem  8547  oeoelem  8549  oeeulem  8552  oe0suclim  41659  nnoeomeqom  41694
  Copyright terms: Public domain W3C validator