MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oelim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oelim 8530
Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent and nonzero base. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 1-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
oelim (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hint:   ๐ถ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem oelim
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 6419 . . 3 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
2 simpr 484 . . 3 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ Lim ๐ต)
31, 2jca 511 . 2 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต))
4 rdglim2a 8429 . . . 4 ((๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต) โ†’ (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
54ad2antlr 724 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
6 oevn0 8511 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
7 onelon 6380 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
8 oevn0 8511 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
97, 8sylanl2 678 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
109exp42 435 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ)))))
1110com34 91 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ)))))
1211imp41 425 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
1312iuneq2dv 5012 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
146, 13eqeq12d 2740 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ)))
1514adantlrr 718 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ)))
165, 15mpbird 257 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ))
173, 16sylanl2 678 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3466  โˆ…c0 4315  โˆช ciun 4988   โ†ฆ cmpt 5222  Oncon0 6355  Lim wlim 6356  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  reccrdg 8405  1oc1o 8455   ยทo comu 8460   โ†‘o coe 8461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oexp 8468
This theorem is referenced by:  oecl  8533  oe1m  8541  oen0  8582  oeordi  8583  oewordri  8588  oeworde  8589  oelim2  8591  oeoalem  8592  oeoelem  8594  oeeulem  8597  oe0suclim  42541  nnoeomeqom  42576
  Copyright terms: Public domain W3C validator