MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oelim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oelim 8548
Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent and nonzero base. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. Definition 2.6 of [Schloeder] p. 4. (Contributed by NM, 1-Jan-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
oelim (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hint:   ๐ถ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem oelim
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 6427 . . 3 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ On)
2 simpr 484 . . 3 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ Lim ๐ต)
31, 2jca 511 . 2 ((๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต))
4 rdglim2a 8447 . . . 4 ((๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต) โ†’ (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
54ad2antlr 726 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
6 oevn0 8529 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต))
7 onelon 6388 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ On)
8 oevn0 8529 . . . . . . . . . 10 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
97, 8sylanl2 680 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
109exp42 435 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ)))))
1110com34 91 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ต โˆˆ On โ†’ (โˆ… โˆˆ ๐ด โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ)))))
1211imp41 425 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
1312iuneq2dv 5015 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ))
146, 13eqeq12d 2744 . . . 4 (((๐ด โˆˆ On โˆง ๐ต โˆˆ On) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ)))
1514adantlrr 720 . . 3 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โ†” (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (rec((๐‘ฆ โˆˆ V โ†ฆ (๐‘ฆ ยทo ๐ด)), 1o)โ€˜๐‘ฅ)))
165, 15mpbird 257 . 2 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ On โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ))
173, 16sylanl2 680 1 (((๐ด โˆˆ On โˆง (๐ต โˆˆ ๐ถ โˆง Lim ๐ต)) โˆง โˆ… โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) = โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  Vcvv 3470  โˆ…c0 4318  โˆช ciun 4991   โ†ฆ cmpt 5225  Oncon0 6363  Lim wlim 6364  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  reccrdg 8423  1oc1o 8473   ยทo comu 8478   โ†‘o coe 8479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oexp 8486
This theorem is referenced by:  oecl  8551  oe1m  8559  oen0  8600  oeordi  8601  oewordri  8606  oeworde  8607  oelim2  8609  oeoalem  8610  oeoelem  8612  oeeulem  8615  oe0suclim  42700  nnoeomeqom  42735
  Copyright terms: Public domain W3C validator