Theorem olm02 39218

Description: Meet with lattice zero is zero. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olm0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm0.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
olm0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olm02	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∧ 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem olm02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 39194	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		olop 39195	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		olm0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		olm0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
8	6, 7	op0cl 39165	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
10		olm0.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11	6, 10	latmcom 18520	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 ) = ( 0 ∧ 𝑋))
12	2, 3, 9, 11	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 ) = ( 0 ∧ 𝑋))
13	6, 10, 7	olm01 39217	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 ) = 0 )
14	12, 13	eqtr3d 2776	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∧ 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  meetcmee 18369  0.cp0 18480  Latclat 18488  OPcops 39153  OLcol 39155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-proset 18351  df-poset 18370  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-lat 18489  df-oposet 39157  df-ol 39159

This theorem is referenced by:  cdleme15b  40257