Theorem olm02 40011

Description: Meet with lattice zero is zero. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
olm0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm0.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
olm0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olm02	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∧ 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem olm02

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 39987	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		olop 39988	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
5	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6		olm0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		olm0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
8	6, 7	op0cl 39958	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
10		olm0.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
11	6, 10	latmcom 18514	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 ) = ( 0 ∧ 𝑋))
12	2, 3, 9, 11	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 ) = ( 0 ∧ 𝑋))
13	6, 10, 7	olm01 40010	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 0 ) = 0 )
14	12, 13	eqtr3d 2800	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ∧ 𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  meetcmee 18363  0.cp0 18472  Latclat 18482  OPcops 39946  OLcol 39948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-proset 18345  df-poset 18364  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-lat 18483  df-oposet 39950  df-ol 39952

This theorem is referenced by:  cdleme15b  41049