Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olm02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olm02 36372
 Description: Meet with lattice zero is zero. (Contributed by NM, 9-Oct-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olm0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olm0.m = (meet‘𝐾)
olm0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olm02 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem olm02
StepHypRef Expression
1 ollat 36348 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
21adantr 483 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpr 487 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
4 olop 36349 . . . . 5 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
54adantr 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
6 olm0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 olm0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
86, 7op0cl 36319 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
95, 8syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
10 olm0.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
116, 10latmcom 17684 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) = ( 0 𝑋))
122, 3, 9, 11syl3anc 1367 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = ( 0 𝑋))
136, 10, 7olm01 36371 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 0 )
1412, 13eqtr3d 2858 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 𝑋) = 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  meetcmee 17554  0.cp0 17646  Latclat 17654  OPcops 36307  OLcol 36309 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-proset 17537  df-poset 17555  df-lub 17583  df-glb 17584  df-join 17585  df-meet 17586  df-p0 17648  df-lat 17655  df-oposet 36311  df-ol 36313 This theorem is referenced by:  cdleme15b  37410
 Copyright terms: Public domain W3C validator