Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opltn0 38666
Description: A lattice element greater than zero is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opltne0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
opltne0.s < = (ltβ€˜πΎ)
opltne0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
opltn0 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  0 ))

Proof of Theorem opltn0
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
2 opltne0.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 opltne0.z . . . . 5 0 = (0.β€˜πΎ)
42, 3op0cl 38660 . . . 4 (𝐾 ∈ OP β†’ 0 ∈ 𝐡)
54adantr 479 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
6 simpr 483 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 eqid 2727 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
8 opltne0.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
97, 8pltval 18329 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋)))
101, 5, 6, 9syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋)))
11 necom 2990 . . 3 (𝑋 β‰  0 ↔ 0 β‰  𝑋)
122, 7, 3op0le 38662 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
1312biantrurd 531 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 β‰  𝑋 ↔ ( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋)))
1411, 13bitr2id 283 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋) ↔ 𝑋 β‰  0 ))
1510, 14bitrd 278 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936   class class class wbr 5150  β€˜cfv 6551  Basecbs 17185  lecple 17245  ltcplt 18305  0.cp0 18420  OPcops 38648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-plt 18327  df-glb 18344  df-p0 18422  df-oposet 38652
This theorem is referenced by:  atle  38913  dalemcea  39137  2atm2atN  39262  dia2dimlem2  40542  dia2dimlem3  40543
  Copyright terms: Public domain W3C validator