Theorem opltn0 39191

Description: A lattice element greater than zero is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
opltne0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltne0.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
opltne0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opltn0	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Proof of Theorem opltn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
2		opltne0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		opltne0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	op0cl 39185	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		opltne0.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
9	7, 8	pltval 18377	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
10	1, 5, 6, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
11		necom 2994	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ 0 ≠ 𝑋)
12	2, 7, 3	op0le 39187	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
13	12	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ≠ 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
14	11, 13	bitr2id 284	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋) ↔ 𝑋 ≠ 0 ))
15	10, 14	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  ltcplt 18354  0.cp0 18468  OPcops 39173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-plt 18375  df-glb 18392  df-p0 18470  df-oposet 39177

This theorem is referenced by:  atle  39438  dalemcea  39662  2atm2atN  39787  dia2dimlem2  41067  dia2dimlem3  41068