Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opltn0 38571
Description: A lattice element greater than zero is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opltne0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
opltne0.s < = (ltβ€˜πΎ)
opltne0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
opltn0 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  0 ))

Proof of Theorem opltn0
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ OP)
2 opltne0.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 opltne0.z . . . . 5 0 = (0.β€˜πΎ)
42, 3op0cl 38565 . . . 4 (𝐾 ∈ OP β†’ 0 ∈ 𝐡)
54adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
6 simpr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
7 eqid 2726 . . . 4 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
8 opltne0.s . . . 4 < = (ltβ€˜πΎ)
97, 8pltval 18295 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋)))
101, 5, 6, 9syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋)))
11 necom 2988 . . 3 (𝑋 β‰  0 ↔ 0 β‰  𝑋)
122, 7, 3op0le 38567 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
1312biantrurd 532 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 β‰  𝑋 ↔ ( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋)))
1411, 13bitr2id 284 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (( 0 (leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 β‰  𝑋) ↔ 𝑋 β‰  0 ))
1510, 14bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 β‰  0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  lecple 17211  ltcplt 18271  0.cp0 18386  OPcops 38553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-plt 18293  df-glb 18310  df-p0 18388  df-oposet 38557
This theorem is referenced by:  atle  38818  dalemcea  39042  2atm2atN  39167  dia2dimlem2  40447  dia2dimlem3  40448
  Copyright terms: Public domain W3C validator