Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opltn0 36386
Description: A lattice element greater than zero is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opltne0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltne0.s < = (lt‘𝐾)
opltne0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opltn0 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋𝑋0 ))

Proof of Theorem opltn0
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
2 opltne0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 opltne0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
42, 3op0cl 36380 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
54adantr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
6 simpr 488 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2824 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 opltne0.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
97, 8pltval 17559 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
101, 5, 6, 9syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
11 necom 3066 . . 3 (𝑋00𝑋)
122, 7, 3op0le 36382 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
1312biantrurd 536 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
1411, 13syl5rbb 287 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋) ↔ 𝑋0 ))
1510, 14bitrd 282 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋𝑋0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013   class class class wbr 5047  cfv 6336  Basecbs 16472  lecple 16561  ltcplt 17540  0.cp0 17636  OPcops 36368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-plt 17557  df-glb 17574  df-p0 17638  df-oposet 36372
This theorem is referenced by:  atle  36632  dalemcea  36856  2atm2atN  36981  dia2dimlem2  38261  dia2dimlem3  38262
  Copyright terms: Public domain W3C validator