Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opltn0 38526
Description: A lattice element greater than zero is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opltne0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltne0.s < = (lt‘𝐾)
opltne0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opltn0 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋𝑋0 ))

Proof of Theorem opltn0
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
2 opltne0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 opltne0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
42, 3op0cl 38520 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
54adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
6 simpr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2731 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 opltne0.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
97, 8pltval 18295 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
101, 5, 6, 9syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
11 necom 2993 . . 3 (𝑋00𝑋)
122, 7, 3op0le 38522 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
1312biantrurd 532 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
1411, 13bitr2id 284 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋) ↔ 𝑋0 ))
1510, 14bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋𝑋0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939   class class class wbr 5148  cfv 6543  Basecbs 17151  lecple 17211  ltcplt 18271  0.cp0 18386  OPcops 38508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-plt 18293  df-glb 18310  df-p0 18388  df-oposet 38512
This theorem is referenced by:  atle  38773  dalemcea  38997  2atm2atN  39122  dia2dimlem2  40402  dia2dimlem3  40403
  Copyright terms: Public domain W3C validator