Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opltn0 35344
Description: A lattice element greater than zero is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opltne0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltne0.s < = (lt‘𝐾)
opltne0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opltn0 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋𝑋0 ))

Proof of Theorem opltn0
StepHypRef Expression
1 simpl 476 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
2 opltne0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 opltne0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
42, 3op0cl 35338 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
54adantr 474 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
6 simpr 479 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2778 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 opltne0.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
97, 8pltval 17346 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
101, 5, 6, 9syl3anc 1439 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
11 necom 3022 . . 3 (𝑋00𝑋)
122, 7, 3op0le 35340 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
1312biantrurd 528 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
1411, 13syl5rbb 276 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋) ↔ 𝑋0 ))
1510, 14bitrd 271 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋𝑋0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969   class class class wbr 4886  cfv 6135  Basecbs 16255  lecple 16345  ltcplt 17327  0.cp0 17423  OPcops 35326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-plt 17344  df-glb 17361  df-p0 17425  df-oposet 35330
This theorem is referenced by:  atle  35590  dalemcea  35814  2atm2atN  35939  dia2dimlem2  37219  dia2dimlem3  37220
  Copyright terms: Public domain W3C validator