Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opltn0 39172
Description: A lattice element greater than zero is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
opltne0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltne0.s < = (lt‘𝐾)
opltne0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opltn0 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋𝑋0 ))

Proof of Theorem opltn0
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
2 opltne0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 opltne0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
42, 3op0cl 39166 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
54adantr 480 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
6 simpr 484 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2735 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 opltne0.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
97, 8pltval 18390 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
101, 5, 6, 9syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
11 necom 2992 . . 3 (𝑋00𝑋)
122, 7, 3op0le 39168 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
1312biantrurd 532 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
1411, 13bitr2id 284 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋) ↔ 𝑋0 ))
1510, 14bitrd 279 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋𝑋0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  ltcplt 18366  0.cp0 18481  OPcops 39154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-plt 18388  df-glb 18405  df-p0 18483  df-oposet 39158
This theorem is referenced by:  atle  39419  dalemcea  39643  2atm2atN  39768  dia2dimlem2  41048  dia2dimlem3  41049
  Copyright terms: Public domain W3C validator