Theorem opltn0 39146

Description: A lattice element greater than zero is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
opltne0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltne0.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
opltne0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opltn0	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Proof of Theorem opltn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
2		opltne0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		opltne0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	op0cl 39140	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		opltne0.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
9	7, 8	pltval 18402	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
10	1, 5, 6, 9	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
11		necom 3000	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ 0 ≠ 𝑋)
12	2, 7, 3	op0le 39142	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
13	12	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ≠ 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
14	11, 13	bitr2id 284	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋) ↔ 𝑋 ≠ 0 ))
15	10, 14	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  ltcplt 18378  0.cp0 18493  OPcops 39128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-plt 18400  df-glb 18417  df-p0 18495  df-oposet 39132

This theorem is referenced by:  atle  39393  dalemcea  39617  2atm2atN  39742  dia2dimlem2  41022  dia2dimlem3  41023