Theorem opltn0 40513

Description: A lattice element greater than zero is nonzero. TODO: is this needed? (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
opltne0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltne0.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
opltne0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
opltn0	⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Proof of Theorem opltn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
2		opltne0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		opltne0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	op0cl 40507	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
6		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		opltne0.s	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝐾)
9	7, 8	pltval 18554	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
10	1, 5, 6, 9	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
11		necom 3012	. . 3 ⊢ (𝑋 ≠ 0 ↔ 0 ≠ 𝑋)
12	2, 7, 3	op0le 40509	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
13	12	biantrurd 542	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 ≠ 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋)))
14	11, 13	bitr2id 287	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 ≠ 𝑋) ↔ 𝑋 ≠ 0 ))
15	10, 14	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  Basecbs 17431  lecple 17479  ltcplt 18532  0.cp0 18645  OPcops 40495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-plt 18552  df-glb 18569  df-p0 18647  df-oposet 40499

This theorem is used by:  atle  40759  dalemcea  40983  2atm2atN  41108  dia2dimlem2  42388  dia2dimlem3  42389