Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atle 35392
Description: Any nonzero element has an atom under it. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atle.l = (le‘𝐾)
atle.z 0 = (0.‘𝐾)
atle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atle ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∃𝑝𝐴 𝑝 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   0 ,𝑝

Proof of Theorem atle
StepHypRef Expression
1 simp1 1166 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlop 35318 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
323ad2ant1 1163 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝐾 ∈ OP)
4 atle.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atle.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
64, 5op0cl 35140 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
73, 6syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 0𝐵)
8 simp2 1167 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝑋𝐵)
9 simp3 1168 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝑋0 )
10 eqid 2765 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
114, 10, 5opltn0 35146 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋𝑋0 ))
123, 8, 11syl2anc 579 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋𝑋0 ))
139, 12mpbird 248 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 0 (lt‘𝐾)𝑋)
14 atle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
15 eqid 2765 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
16 atle.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
174, 14, 10, 15, 16hlrelat 35358 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 0𝐵𝑋𝐵) ∧ 0 (lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝𝐴 ( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
181, 7, 8, 13, 17syl31anc 1492 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∃𝑝𝐴 ( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
19 simpl1 1242 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
20 hlol 35317 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
224, 16atbase 35245 . . . . . . . 8 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
2322adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
244, 15, 5olj02 35182 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑝𝐵) → ( 0 (join‘𝐾)𝑝) = 𝑝)
2521, 23, 24syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → ( 0 (join‘𝐾)𝑝) = 𝑝)
2625breq1d 4819 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → (( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋𝑝 𝑋))
2726biimpd 220 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → (( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋𝑝 𝑋))
2827adantld 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → (( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → 𝑝 𝑋))
2928reximdva 3163 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (∃𝑝𝐴 ( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑝𝐴 𝑝 𝑋))
3018, 29mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∃𝑝𝐴 𝑝 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wrex 3056   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  lecple 16221  ltcplt 17207  joincjn 17210  0.cp0 17303  OPcops 35128  OLcol 35130  Atomscatm 35219  HLchlt 35306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-proset 17194  df-poset 17212  df-plt 17224  df-lub 17240  df-glb 17241  df-join 17242  df-meet 17243  df-p0 17305  df-lat 17312  df-clat 17374  df-oposet 35132  df-ol 35134  df-oml 35135  df-covers 35222  df-ats 35223  df-atl 35254  df-cvlat 35278  df-hlat 35307
This theorem is referenced by:  1cvratex  35429  llnle  35474  lhpexle  35961
  Copyright terms: Public domain W3C validator