Theorem atle 36057

Description: Any nonzero element has an atom under it. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
atle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atle.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
atle.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atle	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   0 ,𝑝

Proof of Theorem atle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1117	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐾 ∈ HL)
2		hlop 35983	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
3	2	3ad2ant1 1114	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐾 ∈ OP)
4		atle.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		atle.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
6	4, 5	op0cl 35805	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 0 ∈ 𝐵)
8		simp2 1118	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		simp3 1119	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
10		eqid 2780	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
11	4, 10, 5	opltn0 35811	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))
12	3, 8, 11	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))
13	9, 12	mpbird 249	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 0 (lt‘𝐾)𝑋)
14		atle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15		eqid 2780	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
16		atle.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
17	4, 14, 10, 15, 16	hlrelat 36023	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 0 (lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
18	1, 7, 8, 13, 17	syl31anc 1354	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋))
19		simpl1 1172	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
20		hlol 35982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
22	4, 16	atbase 35910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
23	22	adantl 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → 𝑝 ∈ 𝐵)
24	4, 15, 5	olj02 35847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ( 0 (join‘𝐾)𝑝) = 𝑝)
25	21, 23, 24	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → ( 0 (join‘𝐾)𝑝) = 𝑝)
26	25	breq1d 4944	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (( 0 (join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋 ↔ 𝑝 ≤ 𝑋))
27	26	biimpd 221	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (( 0 (join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋 → 𝑝 ≤ 𝑋))
28	27	adantld 483	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → 𝑝 ≤ 𝑋))
29	28	reximdva 3221	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 ( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) ≤ 𝑋) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑋))
30	18, 29	mpd 15	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 ≤ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2969  ∃wrex 3091   class class class wbr 4934  ‘cfv 6193  (class class class)co 6982  Basecbs 16345  lecple 16434  ltcplt 17421  joincjn 17424  0.cp0 17517  OPcops 35793  OLcol 35795  Atomscatm 35884  HLchlt 35971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-op 4451  df-uni 4718  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-id 5316  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-lat 17526  df-clat 17588  df-oposet 35797  df-ol 35799  df-oml 35800  df-covers 35887  df-ats 35888  df-atl 35919  df-cvlat 35943  df-hlat 35972

This theorem is referenced by:  1cvratex  36094  llnle  36139  lhpexle  36626