Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atle 39039
Description: Any nonzero element has an atom under it. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atle.l = (le‘𝐾)
atle.z 0 = (0.‘𝐾)
atle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atle ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∃𝑝𝐴 𝑝 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   0 ,𝑝

Proof of Theorem atle
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlop 38964 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
323ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝐾 ∈ OP)
4 atle.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atle.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
64, 5op0cl 38786 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
73, 6syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 0𝐵)
8 simp2 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝑋𝐵)
9 simp3 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝑋0 )
10 eqid 2725 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
114, 10, 5opltn0 38792 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋𝑋0 ))
123, 8, 11syl2anc 582 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋𝑋0 ))
139, 12mpbird 256 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 0 (lt‘𝐾)𝑋)
14 atle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
15 eqid 2725 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
16 atle.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
174, 14, 10, 15, 16hlrelat 39005 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 0𝐵𝑋𝐵) ∧ 0 (lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝𝐴 ( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
181, 7, 8, 13, 17syl31anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∃𝑝𝐴 ( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
19 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
20 hlol 38963 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
224, 16atbase 38891 . . . . . . . 8 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
2322adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
244, 15, 5olj02 38828 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑝𝐵) → ( 0 (join‘𝐾)𝑝) = 𝑝)
2521, 23, 24syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → ( 0 (join‘𝐾)𝑝) = 𝑝)
2625breq1d 5159 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → (( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋𝑝 𝑋))
2726biimpd 228 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → (( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋𝑝 𝑋))
2827adantld 489 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → (( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → 𝑝 𝑋))
2928reximdva 3157 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (∃𝑝𝐴 ( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑝𝐴 𝑝 𝑋))
3018, 29mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∃𝑝𝐴 𝑝 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  lecple 17243  ltcplt 18303  joincjn 18306  0.cp0 18418  OPcops 38774  OLcol 38776  Atomscatm 38865  HLchlt 38952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-lat 18427  df-clat 18494  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953
This theorem is referenced by:  1cvratex  39076  llnle  39121  lhpexle  39608
  Copyright terms: Public domain W3C validator