Theorem padd4N 41088

Description: Rearrangement of 4 terms in a projective subspace sum. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddass.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddass.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
padd4N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem padd4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp2r 1219	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
3		simp3l 1220	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
4		simp3r 1221	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ⊆ 𝐴)
5		paddass.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		paddass.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
7	5, 6	padd12N 41087	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → (𝑌 + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑊)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1400	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → (𝑌 + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑊)))
9	8	oveq2d 7456	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))) = (𝑋 + (𝑍 + (𝑌 + 𝑊))))
10		simp2l 1218	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
11	5, 6	paddssat 41062	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → (𝑍 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
12	1, 3, 4, 11	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → (𝑍 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
13	5, 6	paddass 41086	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑍 + 𝑊) ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))))
14	1, 10, 2, 12, 13	syl13anc 1400	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))))
15	5, 6	paddssat 41062	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
16	1, 2, 4, 15	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → (𝑌 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
17	5, 6	paddass 41086	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 + 𝑊) ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑍 + (𝑌 + 𝑊))))
18	1, 10, 3, 16, 17	syl13anc 1400	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑍 + (𝑌 + 𝑊))))
19	9, 14, 18	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Atomscatm 40511  HLchlt 40598  +_𝑃cpadd 41043

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-proset 18494  df-poset 18513  df-plt 18528  df-lub 18544  df-glb 18545  df-join 18546  df-meet 18547  df-p0 18623  df-lat 18632  df-clat 18699  df-oposet 40424  df-ol 40426  df-oml 40427  df-covers 40514  df-ats 40515  df-atl 40546  df-cvlat 40570  df-hlat 40599  df-padd 41044

This theorem is used by:  paddclN  41090