Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  padd4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padd4N 39843
Description: Rearrangement of 4 terms in a projective subspace sum. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddass.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddass.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
padd4N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem padd4N
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp2r 1200 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → 𝑌𝐴)
3 simp3l 1201 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → 𝑍𝐴)
4 simp3r 1202 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → 𝑊𝐴)
5 paddass.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 paddass.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
75, 6padd12N 39842 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌𝐴𝑍𝐴𝑊𝐴)) → (𝑌 + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑊)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1373 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → (𝑌 + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑊)))
98oveq2d 7448 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))) = (𝑋 + (𝑍 + (𝑌 + 𝑊))))
10 simp2l 1199 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → 𝑋𝐴)
115, 6paddssat 39817 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴𝑊𝐴) → (𝑍 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
121, 3, 4, 11syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → (𝑍 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
135, 6paddass 39841 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴 ∧ (𝑍 + 𝑊) ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))))
141, 10, 2, 12, 13syl13anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))))
155, 6paddssat 39817 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑊𝐴) → (𝑌 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
161, 2, 4, 15syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → (𝑌 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
175, 6paddass 39841 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑍𝐴 ∧ (𝑌 + 𝑊) ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑍 + (𝑌 + 𝑊))))
181, 10, 3, 16, 17syl13anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑍 + (𝑌 + 𝑊))))
199, 14, 183eqtr4d 2786 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wss 3950  cfv 6560  (class class class)co 7432  Atomscatm 39265  HLchlt 39352  +𝑃cpadd 39798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-covers 39268  df-ats 39269  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353  df-padd 39799
This theorem is referenced by:  paddclN  39845
  Copyright terms: Public domain W3C validator