Theorem padd4N 39834

Description: Rearrangement of 4 terms in a projective subspace sum. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddass.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddass.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
padd4N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem padd4N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp2r 1201	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
3		simp3l 1202	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
4		simp3r 1203	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → 𝑊 ⊆ 𝐴)
5		paddass.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		paddass.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
7	5, 6	padd12N 39833	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → (𝑌 + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑊)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → (𝑌 + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑊)))
9	8	oveq2d 7403	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))) = (𝑋 + (𝑍 + (𝑌 + 𝑊))))
10		simp2l 1200	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
11	5, 6	paddssat 39808	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → (𝑍 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
12	1, 3, 4, 11	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → (𝑍 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
13	5, 6	paddass 39832	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑍 + 𝑊) ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))))
14	1, 10, 2, 12, 13	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))))
15	5, 6	paddssat 39808	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴) → (𝑌 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
16	1, 2, 4, 15	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → (𝑌 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
17	5, 6	paddass 39832	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 + 𝑊) ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑍 + (𝑌 + 𝑊))))
18	1, 10, 3, 16, 17	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑍 + (𝑌 + 𝑊))))
19	9, 14, 18	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Atomscatm 39256  HLchlt 39343  +_𝑃cpadd 39789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-covers 39259  df-ats 39260  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344  df-padd 39790

This theorem is referenced by:  paddclN  39836