Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  padd4N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padd4N 38270
Description: Rearrangement of 4 terms in a projective subspace sum. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddass.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddass.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
padd4N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem padd4N
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp2r 1200 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → 𝑌𝐴)
3 simp3l 1201 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → 𝑍𝐴)
4 simp3r 1202 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → 𝑊𝐴)
5 paddass.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 paddass.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
75, 6padd12N 38269 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌𝐴𝑍𝐴𝑊𝐴)) → (𝑌 + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑊)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → (𝑌 + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑍 + (𝑌 + 𝑊)))
98oveq2d 7369 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))) = (𝑋 + (𝑍 + (𝑌 + 𝑊))))
10 simp2l 1199 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → 𝑋𝐴)
115, 6paddssat 38244 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴𝑊𝐴) → (𝑍 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
121, 3, 4, 11syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → (𝑍 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
135, 6paddass 38268 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴 ∧ (𝑍 + 𝑊) ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))))
141, 10, 2, 12, 13syl13anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑌 + (𝑍 + 𝑊))))
155, 6paddssat 38244 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑊𝐴) → (𝑌 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
161, 2, 4, 15syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → (𝑌 + 𝑊) ⊆ 𝐴)
175, 6paddass 38268 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑍𝐴 ∧ (𝑌 + 𝑊) ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑍 + (𝑌 + 𝑊))))
181, 10, 3, 16, 17syl13anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)) = (𝑋 + (𝑍 + (𝑌 + 𝑊))))
199, 14, 183eqtr4d 2786 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝐴𝑊𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + (𝑍 + 𝑊)) = ((𝑋 + 𝑍) + (𝑌 + 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908  cfv 6493  (class class class)co 7353  Atomscatm 37692  HLchlt 37779  +𝑃cpadd 38225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-proset 18176  df-poset 18194  df-plt 18211  df-lub 18227  df-glb 18228  df-join 18229  df-meet 18230  df-p0 18306  df-lat 18313  df-clat 18380  df-oposet 37605  df-ol 37607  df-oml 37608  df-covers 37695  df-ats 37696  df-atl 37727  df-cvlat 37751  df-hlat 37780  df-padd 38226
This theorem is referenced by:  paddclN  38272
  Copyright terms: Public domain W3C validator