Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  padd4N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem padd4N 38711
Description: Rearrangement of 4 terms in a projective subspace sum. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddass.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddass.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
padd4N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑍 + π‘Š)) = ((𝑋 + 𝑍) + (π‘Œ + π‘Š)))
Proof of Theorem padd4N
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp2r 1201 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴)) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
3 simp3l 1202 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
4 simp3r 1203 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴)) β†’ π‘Š βŠ† 𝐴)
5 paddass.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 paddass.p . . . . 5 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
75, 6padd12N 38710 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴)) β†’ (π‘Œ + (𝑍 + π‘Š)) = (𝑍 + (π‘Œ + π‘Š)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1373 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴)) β†’ (π‘Œ + (𝑍 + π‘Š)) = (𝑍 + (π‘Œ + π‘Š)))
98oveq2d 7425 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑋 + (π‘Œ + (𝑍 + π‘Š))) = (𝑋 + (𝑍 + (π‘Œ + π‘Š))))
10 simp2l 1200 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
115, 6paddssat 38685 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴) β†’ (𝑍 + π‘Š) βŠ† 𝐴)
121, 3, 4, 11syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴)) β†’ (𝑍 + π‘Š) βŠ† 𝐴)
135, 6paddass 38709 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ (𝑍 + π‘Š) βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑍 + π‘Š)) = (𝑋 + (π‘Œ + (𝑍 + π‘Š))))
141, 10, 2, 12, 13syl13anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑍 + π‘Š)) = (𝑋 + (π‘Œ + (𝑍 + π‘Š))))
155, 6paddssat 38685 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴) β†’ (π‘Œ + π‘Š) βŠ† 𝐴)
161, 2, 4, 15syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴)) β†’ (π‘Œ + π‘Š) βŠ† 𝐴)
175, 6paddass 38709 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ (π‘Œ + π‘Š) βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 + 𝑍) + (π‘Œ + π‘Š)) = (𝑋 + (𝑍 + (π‘Œ + π‘Š))))
181, 10, 3, 16, 17syl13anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 + 𝑍) + (π‘Œ + π‘Š)) = (𝑋 + (𝑍 + (π‘Œ + π‘Š))))
199, 14, 183eqtr4d 2783 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (𝑍 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Š βŠ† 𝐴)) β†’ ((𝑋 + π‘Œ) + (𝑍 + π‘Š)) = ((𝑋 + 𝑍) + (π‘Œ + π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  +𝑃cpadd 38666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-padd 38667
This theorem is referenced by:  paddclN  38713
  Copyright terms: Public domain W3C validator