Theorem pmod1i 40600

Description: The modular law holds in a projective subspace. (Contributed by NM, 10-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmod1i	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍))))

Proof of Theorem pmod1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		pmod.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		pmod.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
5		pmod.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmodlem2 40599	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
7	6	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
8		inss1 4190	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑌
9		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
10		simplr2 1235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
11		simplr1 1234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
12	3, 5	paddss2 40570	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑌 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌)))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑌 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌)))
14	8, 13	mpi 21	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌))
15		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝐾 ∈ HL)
16	3, 4	psubssat 40506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
17	16	3ad2antr3 1209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
18		simpr2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
19		ssinss1 4199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 → (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
21	3, 5	paddss1 40569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍))))
22	15, 17, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍))))
23	22	imp 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
24		simplr3 1236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑆)
25	9, 24, 16	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
26		inss2 4191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑍
27	3, 5	paddss2 40570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑍 → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
28	26, 27	mpi 21	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍))
29	9, 25, 25, 28	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍))
30	4, 5	paddidm 40593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
31	9, 24, 30	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
32	29, 31	sseqtrd 3974	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ 𝑍)
33	23, 32	sstrd 3948	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ 𝑍)
34	14, 33	ssind 4194	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍))
35	7, 34	eqssd 3955	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
36	35	ex 417	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  lecple 17318  joincjn 18368  Atomscatm 40015  HLchlt 40102  PSubSpcpsubsp 40248  +_𝑃cpadd 40547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-lat 18489  df-covers 40018  df-ats 40019  df-atl 40050  df-cvlat 40074  df-hlat 40103  df-psubsp 40255  df-padd 40548

This theorem is referenced by:  pmod2iN  40601  pmodN  40602  pmodl42N  40603  hlmod1i  40608