Theorem pmod1i 40104

Description: The modular law holds in a projective subspace. (Contributed by NM, 10-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmod1i	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍))))

Proof of Theorem pmod1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		pmod.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		pmod.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
5		pmod.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmodlem2 40103	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
7	6	3expa 1118	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
8		inss1 4189	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑌
9		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
10		simplr2 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
11		simplr1 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
12	3, 5	paddss2 40074	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑌 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌)))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑌 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌)))
14	8, 13	mpi 20	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌))
15		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝐾 ∈ HL)
16	3, 4	psubssat 40010	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
17	16	3ad2antr3 1191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
18		simpr2 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
19		ssinss1 4198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 → (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
21	3, 5	paddss1 40073	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍))))
22	15, 17, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍))))
23	22	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
24		simplr3 1218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑆)
25	9, 24, 16	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
26		inss2 4190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑍
27	3, 5	paddss2 40074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑍 → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
28	26, 27	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍))
29	9, 25, 25, 28	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍))
30	4, 5	paddidm 40097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
31	9, 24, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
32	29, 31	sseqtrd 3970	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ 𝑍)
33	23, 32	sstrd 3944	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ 𝑍)
34	14, 33	ssind 4193	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍))
35	7, 34	eqssd 3951	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
36	35	ex 412	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  lecple 17184  joincjn 18234  Atomscatm 39519  HLchlt 39606  PSubSpcpsubsp 39752  +_𝑃cpadd 40051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-proset 18217  df-poset 18236  df-plt 18251  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-p0 18346  df-lat 18355  df-covers 39522  df-ats 39523  df-atl 39554  df-cvlat 39578  df-hlat 39607  df-psubsp 39759  df-padd 40052

This theorem is referenced by:  pmod2iN  40105  pmodN  40106  pmodl42N  40107  hlmod1i  40112