Theorem pmod1i 41097

Description: The modular law holds in a projective subspace. (Contributed by NM, 10-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmod1i	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍))))

Proof of Theorem pmod1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		pmod.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		pmod.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
5		pmod.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmodlem2 41096	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
7	6	3expa 1136	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
8		inss1 4136	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑌
9		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
10		simplr2 1235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
11		simplr1 1234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
12	3, 5	paddss2 41067	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑌 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌)))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑌 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌)))
14	8, 13	mpi 21	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌))
15		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝐾 ∈ HL)
16	3, 4	psubssat 41003	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
17	16	3ad2antr3 1209	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
18		simpr2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
19		ssinss1 4145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 → (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
20	18, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
21	3, 5	paddss1 41066	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍))))
22	15, 17, 20, 21	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍))))
23	22	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
24		simplr3 1236	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑆)
25	9, 24, 16	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
26		inss2 4137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑍
27	3, 5	paddss2 41067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑍 → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
28	26, 27	mpi 21	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍))
29	9, 25, 25, 28	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍))
30	4, 5	paddidm 41090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
31	9, 24, 30	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
32	29, 31	sseqtrd 3949	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ 𝑍)
33	23, 32	sstrd 3923	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ 𝑍)
34	14, 33	ssind 4140	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍))
35	7, 34	eqssd 3930	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
36	35	ex 418	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  lecple 17464  joincjn 18514  Atomscatm 40512  HLchlt 40599  PSubSpcpsubsp 40745  +_𝑃cpadd 41044

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-proset 18497  df-poset 18516  df-plt 18531  df-lub 18547  df-glb 18548  df-join 18549  df-meet 18550  df-p0 18626  df-lat 18635  df-covers 40515  df-ats 40516  df-atl 40547  df-cvlat 40571  df-hlat 40600  df-psubsp 40752  df-padd 41045

This theorem is used by:  pmod2iN  41098  pmodN  41099  pmodl42N  41100  hlmod1i  41105