Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmod1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmod1i 37424
 Description: The modular law holds in a projective subspace. (Contributed by NM, 10-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmod1i ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑋𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌𝑍))))

Proof of Theorem pmod1i
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2758 . . . . 5 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3 pmod.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 pmod.s . . . . 5 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
5 pmod.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5pmodlem2 37423 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
763expa 1115 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
8 inss1 4133 . . . . 5 (𝑌𝑍) ⊆ 𝑌
9 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
10 simplr2 1213 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑌𝐴)
11 simplr1 1212 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑋𝐴)
123, 5paddss2 37394 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝐴) → ((𝑌𝑍) ⊆ 𝑌 → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌)))
139, 10, 11, 12syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑌𝑍) ⊆ 𝑌 → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌)))
148, 13mpi 20 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌))
15 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝐾 ∈ HL)
163, 4psubssat 37330 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝑆) → 𝑍𝐴)
17163ad2antr3 1187 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑍𝐴)
18 simpr2 1192 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑌𝐴)
19 ssinss1 4142 . . . . . . . 8 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
213, 5paddss1 37393 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴 ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑋𝑍 → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌𝑍))))
2215, 17, 20, 21syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑋𝑍 → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌𝑍))))
2322imp 410 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌𝑍)))
24 simplr3 1214 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑍𝑆)
259, 24, 16syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑍𝐴)
26 inss2 4134 . . . . . . . 8 (𝑌𝑍) ⊆ 𝑍
273, 5paddss2 37394 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌𝑍) ⊆ 𝑍 → (𝑍 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
2826, 27mpi 20 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴𝑍𝐴) → (𝑍 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍))
299, 25, 25, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑍 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍))
304, 5paddidm 37417 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝑆) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
319, 24, 30syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
3229, 31sseqtrd 3932 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑍 + (𝑌𝑍)) ⊆ 𝑍)
3323, 32sstrd 3902 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ 𝑍)
3414, 33ssind 4137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍))
357, 34eqssd 3909 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3635ex 416 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑋𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌𝑍))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  lecple 16630  joincjn 17620  Atomscatm 36839  HLchlt 36926  PSubSpcpsubsp 37072  +𝑃cpadd 37371 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-proset 17604  df-poset 17622  df-plt 17634  df-lub 17650  df-glb 17651  df-join 17652  df-meet 17653  df-p0 17715  df-lat 17722  df-covers 36842  df-ats 36843  df-atl 36874  df-cvlat 36898  df-hlat 36927  df-psubsp 37079  df-padd 37372 This theorem is referenced by:  pmod2iN  37425  pmodN  37426  pmodl42N  37427  hlmod1i  37432
 Copyright terms: Public domain W3C validator