Theorem phtpyhtpy 25171

Description: A path homotopy is a homotopy. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isphtpy.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
phtpyhtpy	⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))

Proof of Theorem phtpyhtpy

Dummy variables 𝑠 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isphtpy.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		isphtpy.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3	1, 2	isphtpy 25170	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ↔ (ℎ ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺) ∧ ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((0ℎ𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1ℎ𝑠) = (𝐹‘1)))))
4		simpl 488	. . 3 ⊢ ((ℎ ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺) ∧ ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((0ℎ𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1ℎ𝑠) = (𝐹‘1))) → ℎ ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
5	3, 4	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) → ℎ ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺)))
6	5	ssrdv 3946	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119  [,]cicc 13393   Cn ccn 23411  IIcii 25064   Htpy chtpy 25156  PHtpycphtpy 25157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-map 8835  df-top 23081  df-topon 23098  df-cn 23414  df-phtpy 25160

This theorem is used by:  phtpycn  25172  phtpy01  25174  phtpycom  25177  phtpyco2  25179  phtpycc  25180  pcohtpylem  25208  txsconnlem  35745  cvmliftphtlem  35822