Theorem phtpyhtpy 25308

Description: A path homotopy is a homotopy. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isphtpy.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
phtpyhtpy	⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))

Proof of Theorem phtpyhtpy

Dummy variables 𝑠 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isphtpy.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		isphtpy.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3	1, 2	isphtpy 25307	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ↔ (ℎ ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺) ∧ ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((0ℎ𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1ℎ𝑠) = (𝐹‘1)))))
4		simpl 488	. . 3 ⊢ ((ℎ ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺) ∧ ∀𝑠 ∈ (0[,]1)((0ℎ𝑠) = (𝐹‘0) ∧ (1ℎ𝑠) = (𝐹‘1))) → ℎ ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
5	3, 4	biimtrdi 256	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) → ℎ ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺)))
6	5	ssrdv 3914	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ⊆ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204  [,]cicc 13482   Cn ccn 23547  IIcii 25201   Htpy chtpy 25293  PHtpycphtpy 25294

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-map 8852  df-top 23217  df-topon 23234  df-cn 23550  df-phtpy 25297

This theorem is used by:  phtpycn  25309  phtpy01  25311  phtpycom  25314  phtpyco2  25316  phtpycc  25317  pcohtpylem  25345  txsconnlem  36091  cvmliftphtlem  36168