Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  txsconnlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem txsconnlem 34300
Description: Lemma for txsconn 34301. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txsconn.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Top)
txsconn.2 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Top)
txsconn.3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
txsconn.5 𝐴 = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)
txsconn.6 𝐡 = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)
txsconn.7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐴(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(π΄β€˜0)})))
txsconn.8 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐡(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(π΅β€˜0)})))
Assertion
Ref Expression
txsconnlem (πœ‘ β†’ 𝐹( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}))
Proof of Theorem txsconnlem
Dummy variables π‘₯ 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txsconn.3 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
2 fconstmpt 5738 . . 3 ((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜0))
3 iitopon 24402 . . . . 5 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
43a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
5 txsconn.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Top)
6 eqid 2732 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
76toptopon 22426 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
85, 7sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
9 txsconn.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Top)
10 eqid 2732 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑆 = βˆͺ 𝑆
1110toptopon 22426 . . . . . 6 (𝑆 ∈ Top ↔ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
129, 11sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆))
13 txtopon 23102 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)))
148, 12, 13syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)))
15 cnf2 22760 . . . . . 6 ((II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)) ∧ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝐹 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆))) β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
164, 14, 1, 15syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
17 0elunit 13448 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
18 ffvelcdm 7083 . . . . 5 ((𝐹:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
1916, 17, 18sylancl 586 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
204, 14, 19cnmptc 23173 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜0)) ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
212, 20eqeltrid 2837 . 2 (πœ‘ β†’ ((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}) ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
22 txsconn.5 . . . . . . . . . . 11 𝐴 = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)
23 tx1cn 23120 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
248, 12, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅))
25 cnco 22777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑅)) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝑅))
261, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝑅))
2722, 26eqeltrid 2837 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (II Cn 𝑅))
28 fconstmpt 5738 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]1) Γ— {(π΄β€˜0)}) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (π΄β€˜0))
29 iiuni 24404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]1) = βˆͺ II
3029, 6cnf 22757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (II Cn 𝑅) β†’ 𝐴:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝑅)
3127, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝑅)
32 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝑅 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (π΄β€˜0) ∈ βˆͺ 𝑅)
3331, 17, 32sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜0) ∈ βˆͺ 𝑅)
344, 8, 33cnmptc 23173 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (π΄β€˜0)) ∈ (II Cn 𝑅))
3528, 34eqeltrid 2837 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((0[,]1) Γ— {(π΄β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑅))
3627, 35phtpycn 24506 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐴(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(π΄β€˜0)})) βŠ† ((II Γ—t II) Cn 𝑅))
37 txsconn.7 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐴(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(π΄β€˜0)})))
3836, 37sseldd 3983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝑅))
39 iitop 24403 . . . . . . . . . 10 II ∈ Top
4039, 39, 29, 29txunii 23104 . . . . . . . . 9 ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) = βˆͺ (II Γ—t II)
4140, 6cnf 22757 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝑅) β†’ 𝐺:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝑅)
42 ffn 6717 . . . . . . . 8 (𝐺:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝑅 β†’ 𝐺 Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
4338, 41, 423syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
44 fnov 7542 . . . . . . 7 (𝐺 Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ↔ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑦)))
4543, 44sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑦)))
4645, 38eqeltrrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐺𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝑅))
47 txsconn.6 . . . . . . . . . . 11 𝐡 = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)
48 tx2cn 23121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑆)) β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
498, 12, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆))
50 cnco 22777 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∈ ((𝑅 Γ—t 𝑆) Cn 𝑆)) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝑆))
511, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹) ∈ (II Cn 𝑆))
5247, 51eqeltrid 2837 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (II Cn 𝑆))
53 fconstmpt 5738 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]1) Γ— {(π΅β€˜0)}) = (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (π΅β€˜0))
5429, 10cnf 22757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐡 ∈ (II Cn 𝑆) β†’ 𝐡:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝑆)
5552, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝑆)
56 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡:(0[,]1)⟢βˆͺ 𝑆 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (π΅β€˜0) ∈ βˆͺ 𝑆)
5755, 17, 56sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜0) ∈ βˆͺ 𝑆)
584, 12, 57cnmptc 23173 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1) ↦ (π΅β€˜0)) ∈ (II Cn 𝑆))
5953, 58eqeltrid 2837 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((0[,]1) Γ— {(π΅β€˜0)}) ∈ (II Cn 𝑆))
6052, 59phtpycn 24506 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐡(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(π΅β€˜0)})) βŠ† ((II Γ—t II) Cn 𝑆))
61 txsconn.8 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐡(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(π΅β€˜0)})))
6260, 61sseldd 3983 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝑆))
6340, 10cnf 22757 . . . . . . . 8 (𝐻 ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝑆) β†’ 𝐻:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝑆)
64 ffn 6717 . . . . . . . 8 (𝐻:((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢βˆͺ 𝑆 β†’ 𝐻 Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
6562, 63, 643syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)))
66 fnov 7542 . . . . . . 7 (𝐻 Fn ((0[,]1) Γ— (0[,]1)) ↔ 𝐻 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐻𝑦)))
6765, 66sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐻 = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐻𝑦)))
6867, 62eqeltrrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯𝐻𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn 𝑆))
694, 4, 46, 68cnmpt2t 23184 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩) ∈ ((II Γ—t II) Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)))
7027, 35phtpyhtpy 24505 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴(PHtpyβ€˜π‘…)((0[,]1) Γ— {(π΄β€˜0)})) βŠ† (𝐴(II Htpy 𝑅)((0[,]1) Γ— {(π΄β€˜0)})))
7170, 37sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐴(II Htpy 𝑅)((0[,]1) Γ— {(π΄β€˜0)})))
724, 27, 35, 71htpyi 24497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑠𝐺0) = (π΄β€˜π‘ ) ∧ (𝑠𝐺1) = (((0[,]1) Γ— {(π΄β€˜0)})β€˜π‘ )))
7372simpld 495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐺0) = (π΄β€˜π‘ ))
7422fveq1i 6892 . . . . . . . 8 (π΄β€˜π‘ ) = (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜π‘ )
75 fvco3 6990 . . . . . . . . 9 ((𝐹:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜π‘ ) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜π‘ )))
7616, 75sylan 580 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜π‘ ) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜π‘ )))
7774, 76eqtrid 2784 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (π΄β€˜π‘ ) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜π‘ )))
78 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . 9 ((𝐹:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
7916, 78sylan 580 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
80 fvres 6910 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜π‘ )) = (1st β€˜(πΉβ€˜π‘ )))
8179, 80syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜π‘ )) = (1st β€˜(πΉβ€˜π‘ )))
8273, 77, 813eqtrd 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐺0) = (1st β€˜(πΉβ€˜π‘ )))
8352, 59phtpyhtpy 24505 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡(PHtpyβ€˜π‘†)((0[,]1) Γ— {(π΅β€˜0)})) βŠ† (𝐡(II Htpy 𝑆)((0[,]1) Γ— {(π΅β€˜0)})))
8483, 61sseldd 3983 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (𝐡(II Htpy 𝑆)((0[,]1) Γ— {(π΅β€˜0)})))
854, 52, 59, 84htpyi 24497 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((𝑠𝐻0) = (π΅β€˜π‘ ) ∧ (𝑠𝐻1) = (((0[,]1) Γ— {(π΅β€˜0)})β€˜π‘ )))
8685simpld 495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻0) = (π΅β€˜π‘ ))
8747fveq1i 6892 . . . . . . . 8 (π΅β€˜π‘ ) = (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜π‘ )
88 fvco3 6990 . . . . . . . . 9 ((𝐹:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜π‘ ) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜π‘ )))
8916, 88sylan 580 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜π‘ ) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜π‘ )))
9087, 89eqtrid 2784 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (π΅β€˜π‘ ) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜π‘ )))
91 fvres 6910 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜π‘ )) = (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘ )))
9279, 91syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜π‘ )) = (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘ )))
9386, 90, 923eqtrd 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻0) = (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘ )))
9482, 93opeq12d 4881 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ⟨(𝑠𝐺0), (𝑠𝐻0)⟩ = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘ )), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘ ))⟩)
95 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ 𝑠 ∈ (0[,]1))
96 oveq12 7420 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (π‘₯𝐺𝑦) = (𝑠𝐺0))
97 oveq12 7420 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (𝑠𝐻0))
9896, 97opeq12d 4881 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 0) β†’ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩ = ⟨(𝑠𝐺0), (𝑠𝐻0)⟩)
99 eqid 2732 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩) = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩)
100 opex 5464 . . . . . . 7 ⟨(𝑠𝐺0), (𝑠𝐻0)⟩ ∈ V
10198, 99, 100ovmpoa 7565 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠(π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩)0) = ⟨(𝑠𝐺0), (𝑠𝐻0)⟩)
10295, 17, 101sylancl 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠(π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩)0) = ⟨(𝑠𝐺0), (𝑠𝐻0)⟩)
103 1st2nd2 8016 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘ ) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘ )), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘ ))⟩)
10479, 103syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜π‘ )), (2nd β€˜(πΉβ€˜π‘ ))⟩)
10594, 102, 1043eqtr4d 2782 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠(π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩)0) = (πΉβ€˜π‘ ))
10672simprd 496 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐺1) = (((0[,]1) Γ— {(π΄β€˜0)})β€˜π‘ ))
107 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (π΄β€˜0) ∈ V
108107fvconst2 7207 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,]1) β†’ (((0[,]1) Γ— {(π΄β€˜0)})β€˜π‘ ) = (π΄β€˜0))
109108adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {(π΄β€˜0)})β€˜π‘ ) = (π΄β€˜0))
11022fveq1i 6892 . . . . . . . . 9 (π΄β€˜0) = (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜0)
111 fvco3 6990 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜0) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜0)))
11216, 17, 111sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜0) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜0)))
113 fvres 6910 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜0) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜0)) = (1st β€˜(πΉβ€˜0)))
11419, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜0)) = (1st β€˜(πΉβ€˜0)))
115112, 114eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜0) = (1st β€˜(πΉβ€˜0)))
116110, 115eqtrid 2784 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜0) = (1st β€˜(πΉβ€˜0)))
117116adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (π΄β€˜0) = (1st β€˜(πΉβ€˜0)))
118106, 109, 1173eqtrd 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐺1) = (1st β€˜(πΉβ€˜0)))
11985simprd 496 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻1) = (((0[,]1) Γ— {(π΅β€˜0)})β€˜π‘ ))
120 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (π΅β€˜0) ∈ V
121120fvconst2 7207 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0[,]1) β†’ (((0[,]1) Γ— {(π΅β€˜0)})β€˜π‘ ) = (π΅β€˜0))
122121adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {(π΅β€˜0)})β€˜π‘ ) = (π΅β€˜0))
12347fveq1i 6892 . . . . . . . . 9 (π΅β€˜0) = (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜0)
124 fvco3 6990 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜0) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜0)))
12516, 17, 124sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜0) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜0)))
126 fvres 6910 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜0) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜0)) = (2nd β€˜(πΉβ€˜0)))
12719, 126syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜0)) = (2nd β€˜(πΉβ€˜0)))
128125, 127eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜0) = (2nd β€˜(πΉβ€˜0)))
129123, 128eqtrid 2784 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜0) = (2nd β€˜(πΉβ€˜0)))
130129adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (π΅β€˜0) = (2nd β€˜(πΉβ€˜0)))
131119, 122, 1303eqtrd 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐻1) = (2nd β€˜(πΉβ€˜0)))
132118, 131opeq12d 4881 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ⟨(𝑠𝐺1), (𝑠𝐻1)⟩ = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜0)), (2nd β€˜(πΉβ€˜0))⟩)
133 1elunit 13449 . . . . . 6 1 ∈ (0[,]1)
134 oveq12 7420 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (π‘₯𝐺𝑦) = (𝑠𝐺1))
135 oveq12 7420 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (𝑠𝐻1))
136134, 135opeq12d 4881 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 𝑠 ∧ 𝑦 = 1) β†’ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩ = ⟨(𝑠𝐺1), (𝑠𝐻1)⟩)
137 opex 5464 . . . . . . 7 ⟨(𝑠𝐺1), (𝑠𝐻1)⟩ ∈ V
138136, 99, 137ovmpoa 7565 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (0[,]1) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠(π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩)1) = ⟨(𝑠𝐺1), (𝑠𝐻1)⟩)
13995, 133, 138sylancl 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠(π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩)1) = ⟨(𝑠𝐺1), (𝑠𝐻1)⟩)
140 fvex 6904 . . . . . . . 8 (πΉβ€˜0) ∈ V
141140fvconst2 7207 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (0[,]1) β†’ (((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜0))
142141adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜0))
14319adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜0) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
144 1st2nd2 8016 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜0) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜0) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜0)), (2nd β€˜(πΉβ€˜0))⟩)
145143, 144syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜0) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜0)), (2nd β€˜(πΉβ€˜0))⟩)
146142, 145eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})β€˜π‘ ) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜0)), (2nd β€˜(πΉβ€˜0))⟩)
147132, 139, 1463eqtr4d 2782 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠(π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩)1) = (((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})β€˜π‘ ))
14827, 35, 37phtpyi 24507 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝐺𝑠) = (π΄β€˜0) ∧ (1𝐺𝑠) = (π΄β€˜1)))
149148simpld 495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐺𝑠) = (π΄β€˜0))
150149, 117eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐺𝑠) = (1st β€˜(πΉβ€˜0)))
15152, 59, 61phtpyi 24507 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ((0𝐻𝑠) = (π΅β€˜0) ∧ (1𝐻𝑠) = (π΅β€˜1)))
152151simpld 495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐻𝑠) = (π΅β€˜0))
153152, 130eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0𝐻𝑠) = (2nd β€˜(πΉβ€˜0)))
154150, 153opeq12d 4881 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ⟨(0𝐺𝑠), (0𝐻𝑠)⟩ = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜0)), (2nd β€˜(πΉβ€˜0))⟩)
155 oveq12 7420 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (π‘₯𝐺𝑦) = (0𝐺𝑠))
156 oveq12 7420 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (0𝐻𝑠))
157155, 156opeq12d 4881 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 0 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩ = ⟨(0𝐺𝑠), (0𝐻𝑠)⟩)
158 opex 5464 . . . . . . 7 ⟨(0𝐺𝑠), (0𝐻𝑠)⟩ ∈ V
159157, 99, 158ovmpoa 7565 . . . . . 6 ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0(π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩)𝑠) = ⟨(0𝐺𝑠), (0𝐻𝑠)⟩)
16017, 95, 159sylancr 587 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0(π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩)𝑠) = ⟨(0𝐺𝑠), (0𝐻𝑠)⟩)
161154, 160, 1453eqtr4d 2782 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (0(π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩)𝑠) = (πΉβ€˜0))
162148simprd 496 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐺𝑠) = (π΄β€˜1))
16322fveq1i 6892 . . . . . . . . . 10 (π΄β€˜1) = (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜1)
164 fvco3 6990 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜1) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜1)))
16516, 133, 164sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜1) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜1)))
166163, 165eqtrid 2784 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜1) = ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜1)))
167 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
16816, 133, 167sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
169 fvres 6910 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜1) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜1)) = (1st β€˜(πΉβ€˜1)))
170168, 169syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1st β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜1)) = (1st β€˜(πΉβ€˜1)))
171166, 170eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜1) = (1st β€˜(πΉβ€˜1)))
172171adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (π΄β€˜1) = (1st β€˜(πΉβ€˜1)))
173162, 172eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐺𝑠) = (1st β€˜(πΉβ€˜1)))
174151simprd 496 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐻𝑠) = (π΅β€˜1))
17547fveq1i 6892 . . . . . . . . . 10 (π΅β€˜1) = (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜1)
176 fvco3 6990 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:(0[,]1)⟢(βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜1) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜1)))
17716, 133, 176sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆)) ∘ 𝐹)β€˜1) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜1)))
178175, 177eqtrid 2784 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜1) = ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜1)))
179 fvres 6910 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜1) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜1)) = (2nd β€˜(πΉβ€˜1)))
180168, 179syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((2nd β†Ύ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))β€˜(πΉβ€˜1)) = (2nd β€˜(πΉβ€˜1)))
181178, 180eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π΅β€˜1) = (2nd β€˜(πΉβ€˜1)))
182181adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (π΅β€˜1) = (2nd β€˜(πΉβ€˜1)))
183174, 182eqtrd 2772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1𝐻𝑠) = (2nd β€˜(πΉβ€˜1)))
184173, 183opeq12d 4881 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ ⟨(1𝐺𝑠), (1𝐻𝑠)⟩ = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜1)), (2nd β€˜(πΉβ€˜1))⟩)
185 oveq12 7420 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (π‘₯𝐺𝑦) = (1𝐺𝑠))
186 oveq12 7420 . . . . . . . 8 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (1𝐻𝑠))
187185, 186opeq12d 4881 . . . . . . 7 ((π‘₯ = 1 ∧ 𝑦 = 𝑠) β†’ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩ = ⟨(1𝐺𝑠), (1𝐻𝑠)⟩)
188 opex 5464 . . . . . . 7 ⟨(1𝐺𝑠), (1𝐻𝑠)⟩ ∈ V
189187, 99, 188ovmpoa 7565 . . . . . 6 ((1 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1(π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩)𝑠) = ⟨(1𝐺𝑠), (1𝐻𝑠)⟩)
190133, 95, 189sylancr 587 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1(π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩)𝑠) = ⟨(1𝐺𝑠), (1𝐻𝑠)⟩)
191168adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆))
192 1st2nd2 8016 . . . . . 6 ((πΉβ€˜1) ∈ (βˆͺ 𝑅 Γ— βˆͺ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜1) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜1)), (2nd β€˜(πΉβ€˜1))⟩)
193191, 192syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (πΉβ€˜1) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜1)), (2nd β€˜(πΉβ€˜1))⟩)
194184, 190, 1933eqtr4d 2782 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) β†’ (1(π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩)𝑠) = (πΉβ€˜1))
1951, 21, 69, 105, 147, 161, 194isphtpy2d 24510 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ⟨(π‘₯𝐺𝑦), (π‘₯𝐻𝑦)⟩) ∈ (𝐹(PHtpyβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})))
196195ne0d 4335 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(PHtpyβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})) β‰  βˆ…)
197 isphtpc 24517 . 2 (𝐹( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}) ↔ (𝐹 ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ ((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}) ∈ (II Cn (𝑅 Γ—t 𝑆)) ∧ (𝐹(PHtpyβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)})) β‰  βˆ…))
1981, 21, 196, 197syl3anbrc 1343 1 (πœ‘ β†’ 𝐹( ≃phβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆))((0[,]1) Γ— {(πΉβ€˜0)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ…c0 4322  {csn 4628  βŸ¨cop 4634  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  1st c1st 7975  2nd c2nd 7976  0cc0 11112  1c1 11113  [,]cicc 13329  Topctop 22402  TopOnctopon 22419   Cn ccn 22735   Γ—t ctx 23071  IIcii 24398   Htpy chtpy 24490  PHtpycphtpy 24491   ≃phcphtpc 24492
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-icc 13333  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-topgen 17391  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-tx 23073  df-ii 24400  df-htpy 24493  df-phtpy 24494  df-phtpc 24515
This theorem is referenced by:  txsconn  34301
  Copyright terms: Public domain W3C validator