Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimltxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimltxr 41698
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimltxr.x 𝑥𝐹
smfpimltxr.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxr.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxr.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimltxr.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimltxr (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxr
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4847 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → ((𝐹𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹𝑥) < +∞))
21rabbidv 3373 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < +∞})
32adantl 474 . . . 4 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < +∞})
4 smfpimltxr.x . . . . . 6 𝑥𝐹
5 smfpimltxr.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6 smfpimltxr.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
7 smfpimltxr.d . . . . . . . . 9 𝐷 = dom 𝐹
84, 6, 7issmff 41685 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))))
95, 8mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
109simp2d 1174 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
114, 10pimltpnf2 41665 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < +∞} = 𝐷)
1211adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < +∞} = 𝐷)
13 eqidd 2800 . . . 4 ((𝜑𝐴 = +∞) → 𝐷 = 𝐷)
143, 12, 133eqtrd 2837 . . 3 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = 𝐷)
159simp1d 1173 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 𝑆)
166, 15restuni4 40058 . . . . . 6 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
1716eqcomd 2805 . . . . 5 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
185dmexd 7333 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
197, 18syl5eqel 2882 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ V)
20 eqid 2799 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
216, 19, 20subsalsal 41316 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
2221salunid 41310 . . . . 5 (𝜑 (𝑆t 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷))
2317, 22eqeltrd 2878 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
2423adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐴 = +∞) → 𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
2514, 24eqeltrd 2878 . 2 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
26 neqne 2979 . . . 4 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
2726adantl 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
28 breq2 4847 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → ((𝐹𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹𝑥) < -∞))
2928rabbidv 3373 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < -∞})
3029adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < -∞})
3110adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = -∞) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
324, 31pimltmnf2 41653 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = ∅)
3330, 32eqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = ∅)
34210sald 41307 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
3534adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -∞) → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
3633, 35eqeltrd 2878 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
3736adantlr 707 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
38 simpll 784 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝜑)
39 smfpimltxr.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
41 neqne 2979 . . . . . . 7 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
4241adantl 474 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
43 simplr 786 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
4440, 42, 43xrred 40321 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
456adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
465adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
47 simpr 478 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
484, 45, 46, 7, 47smfpreimaltf 41687 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
4938, 44, 48syl2anc 580 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
5037, 49pm2.61dan 848 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
5127, 50syldan 586 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
5225, 51pm2.61dan 848 1 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wnfc 2928  wne 2971  wral 3089  {crab 3093  Vcvv 3385  wss 3769  c0 4115   cuni 4628   class class class wbr 4843  dom cdm 5312  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cr 10223  +∞cpnf 10360  -∞cmnf 10361  *cxr 10362   < clt 10363  t crest 16396  SAlgcsalg 41267  SMblFncsmblfn 41651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-ac2 9573  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-acn 9054  df-ac 9225  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-rest 16398  df-salg 41268  df-smblfn 41652
This theorem is referenced by:  smfpimltxrmpt  41709
  Copyright terms: Public domain W3C validator