Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimltxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimltxr 43172
 Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimltxr.x 𝑥𝐹
smfpimltxr.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxr.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxr.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimltxr.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimltxr (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxr
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5046 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → ((𝐹𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹𝑥) < +∞))
21rabbidv 3459 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < +∞})
32adantl 484 . . . 4 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < +∞})
4 smfpimltxr.x . . . . . 6 𝑥𝐹
5 smfpimltxr.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6 smfpimltxr.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
7 smfpimltxr.d . . . . . . . . 9 𝐷 = dom 𝐹
84, 6, 7issmff 43159 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))))
95, 8mpbid 234 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
109simp2d 1139 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
114, 10pimltpnf2 43139 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < +∞} = 𝐷)
1211adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < +∞} = 𝐷)
13 eqidd 2821 . . . 4 ((𝜑𝐴 = +∞) → 𝐷 = 𝐷)
143, 12, 133eqtrd 2859 . . 3 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = 𝐷)
159simp1d 1138 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 𝑆)
166, 15restuni4 41541 . . . . . 6 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
1716eqcomd 2826 . . . . 5 (𝜑𝐷 = (𝑆t 𝐷))
185dmexd 7593 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
197, 18eqeltrid 2915 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ V)
20 eqid 2820 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
216, 19, 20subsalsal 42790 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
2221salunid 42784 . . . . 5 (𝜑 (𝑆t 𝐷) ∈ (𝑆t 𝐷))
2317, 22eqeltrd 2911 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
2423adantr 483 . . 3 ((𝜑𝐴 = +∞) → 𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
2514, 24eqeltrd 2911 . 2 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
26 neqne 3014 . . . 4 𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ +∞)
2726adantl 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → 𝐴 ≠ +∞)
28 breq2 5046 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → ((𝐹𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹𝑥) < -∞))
2928rabbidv 3459 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < -∞})
3029adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < -∞})
3110adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = -∞) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
324, 31pimltmnf2 43127 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = ∅)
3330, 32eqtrd 2855 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = ∅)
34210sald 42781 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
3534adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -∞) → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
3633, 35eqeltrd 2911 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
3736adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
38 simpll 765 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝜑)
39 smfpimltxr.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
41 neqne 3014 . . . . . . 7 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
4241adantl 484 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
43 simplr 767 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
4440, 42, 43xrred 41787 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
456adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
465adantr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
47 simpr 487 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
484, 45, 46, 7, 47smfpreimaltf 43161 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
4938, 44, 48syl2anc 586 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
5037, 49pm2.61dan 811 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
5127, 50syldan 593 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
5225, 51pm2.61dan 811 1 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2957   ≠ wne 3006  ∀wral 3125  {crab 3129  Vcvv 3473   ⊆ wss 3913  ∅c0 4269  ∪ cuni 4814   class class class wbr 5042  dom cdm 5531  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ℝcr 10514  +∞cpnf 10650  -∞cmnf 10651  ℝ*cxr 10652   < clt 10653   ↾t crest 16673  SAlgcsalg 42741  SMblFncsmblfn 43125 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cc 9835  ax-ac2 9863  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-card 9346  df-acn 9349  df-ac 9520  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-ioo 12721  df-ico 12723  df-rest 16675  df-salg 42742  df-smblfn 43126 This theorem is referenced by:  smfpimltxrmpt  43183
 Copyright terms: Public domain W3C validator