Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimltxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimltxr 46762
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) (Revised by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimltxr.x 𝑥𝐹
smfpimltxr.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxr.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxr.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimltxr.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimltxr (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxr
StepHypRef Expression
1 breq2 5147 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → ((𝐹𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹𝑥) < +∞))
21rabbidv 3444 . . . 4 (𝐴 = +∞ → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < +∞})
3 smfpimltxr.x . . . . 5 𝑥𝐹
4 smfpimltxr.d . . . . . 6 𝐷 = dom 𝐹
53nfdm 5962 . . . . . 6 𝑥dom 𝐹
64, 5nfcxfr 2903 . . . . 5 𝑥𝐷
7 smfpimltxr.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
8 smfpimltxr.f . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
97, 8, 4smff 46747 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
103, 6, 9pimltpnf2f 46727 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < +∞} = 𝐷)
112, 10sylan9eqr 2799 . . 3 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = 𝐷)
127, 8, 4smfdmss 46748 . . . . 5 (𝜑𝐷 𝑆)
137, 12subsaluni 46375 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
1413adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 = +∞) → 𝐷 ∈ (𝑆t 𝐷))
1511, 14eqeltrd 2841 . 2 ((𝜑𝐴 = +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
16 breq2 5147 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ → ((𝐹𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹𝑥) < -∞))
1716rabbidv 3444 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < -∞})
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < -∞})
199adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = -∞) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
203, 6, 19pimltmnf2f 46712 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < -∞} = ∅)
2118, 20eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} = ∅)
228dmexd 7925 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
234, 22eqeltrid 2845 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ∈ V)
24 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
257, 23, 24subsalsal 46374 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
26250sald 46365 . . . . . 6 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
2726adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -∞) → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
2821, 27eqeltrd 2841 . . . 4 ((𝜑𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
2928adantlr 715 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
30 simpll 767 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝜑)
31 smfpimltxr.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33 neqne 2948 . . . . . 6 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
3433adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
35 simplr 769 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
3632, 34, 35xrred 45376 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
377adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
388adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
39 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
403, 37, 38, 4, 39smfpreimaltf 46751 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
4130, 36, 40syl2anc 584 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
4229, 41pm2.61dan 813 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ +∞) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
4315, 42pm2.61dane 3029 1 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wnfc 2890  wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480  c0 4333   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  t crest 17465  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-rest 17467  df-salg 46324  df-smblfn 46711
This theorem is referenced by:  smfpimltxrmptf  46773  smfpimne  46854  smfsupdmmbllem  46859
  Copyright terms: Public domain W3C validator