Theorem smfpimltxr 46776

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) (Revised by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimltxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimltxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxr.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimltxr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimltxr	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5123	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐹‘𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) < +∞))
2	1	rabbidv 3423	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < +∞})
3		smfpimltxr.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
4		smfpimltxr.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5	3	nfdm 5931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
6	4, 5	nfcxfr 2896	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
7		smfpimltxr.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfpimltxr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9	7, 8, 4	smff 46761	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
10	3, 6, 9	pimltpnf2f 46741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < +∞} = 𝐷)
11	2, 10	sylan9eqr 2792	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = 𝐷)
12	7, 8, 4	smfdmss 46762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
13	7, 12	subsaluni 46389	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
15	11, 14	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
16		breq2 5123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐹‘𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) < -∞))
17	16	rabbidv 3423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞})
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞})
19	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
20	3, 6, 19	pimltmnf2f 46726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)
21	18, 20	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = ∅)
22	8	dmexd 7899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
23	4, 22	eqeltrid 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
24		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
25	7, 23, 24	subsalsal 46388	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
26	25	0sald 46379	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
28	21, 27	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
29	28	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
30		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝜑)
31		smfpimltxr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		neqne 2940	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
34	33	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
35		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
36	32, 34, 35	xrred 45392	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
38	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
39		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
40	3, 37, 38, 4, 39	smfpreimaltf 46765	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
41	30, 36, 40	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
42	29, 41	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
43	15, 42	pm2.61dane 3019	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2883   ≠ wne 2932  {crab 3415  Vcvv 3459  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  +∞cpnf 11266  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ↾_t crest 17434  SAlgcsalg 46337  SMblFncsmblfn 46724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cc 10449  ax-ac2 10477  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-acn 9956  df-ac 10130  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-rest 17436  df-salg 46338  df-smblfn 46725

This theorem is referenced by:  smfpimltxrmptf  46787  smfpimne  46868  smfsupdmmbllem  46873