Theorem smfpimltxr 46762

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) (Revised by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimltxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimltxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxr.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimltxr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimltxr	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5147	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐹‘𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) < +∞))
2	1	rabbidv 3444	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < +∞})
3		smfpimltxr.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
4		smfpimltxr.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5	3	nfdm 5962	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
6	4, 5	nfcxfr 2903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
7		smfpimltxr.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfpimltxr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9	7, 8, 4	smff 46747	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
10	3, 6, 9	pimltpnf2f 46727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < +∞} = 𝐷)
11	2, 10	sylan9eqr 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = 𝐷)
12	7, 8, 4	smfdmss 46748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
13	7, 12	subsaluni 46375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
15	11, 14	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
16		breq2 5147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐹‘𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) < -∞))
17	16	rabbidv 3444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞})
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞})
19	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
20	3, 6, 19	pimltmnf2f 46712	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)
21	18, 20	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = ∅)
22	8	dmexd 7925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
23	4, 22	eqeltrid 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
24		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
25	7, 23, 24	subsalsal 46374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
26	25	0sald 46365	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
28	21, 27	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
29	28	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
30		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝜑)
31		smfpimltxr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		neqne 2948	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
34	33	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
35		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
36	32, 34, 35	xrred 45376	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
38	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
39		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
40	3, 37, 38, 4, 39	smfpreimaltf 46751	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
41	30, 36, 40	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
42	29, 41	pm2.61dan 813	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
43	15, 42	pm2.61dane 3029	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2890   ≠ wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ↾_t crest 17465  SAlgcsalg 46323  SMblFncsmblfn 46710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-rest 17467  df-salg 46324  df-smblfn 46711

This theorem is referenced by:  smfpimltxrmptf  46773  smfpimne  46854  smfsupdmmbllem  46859