Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfpimltxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfpimltxr 45449
Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) (Revised by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
smfpimltxr.x β„²π‘₯𝐹
smfpimltxr.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxr.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfpimltxr.d 𝐷 = dom 𝐹
smfpimltxr.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
smfpimltxr (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem smfpimltxr
StepHypRef Expression
1 breq2 5151 . . . . 5 (𝐴 = +∞ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < +∞))
21rabbidv 3440 . . . 4 (𝐴 = +∞ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < +∞})
3 smfpimltxr.x . . . . 5 β„²π‘₯𝐹
4 smfpimltxr.d . . . . . 6 𝐷 = dom 𝐹
53nfdm 5948 . . . . . 6 β„²π‘₯dom 𝐹
64, 5nfcxfr 2901 . . . . 5 β„²π‘₯𝐷
7 smfpimltxr.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
8 smfpimltxr.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
97, 8, 4smff 45434 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
103, 6, 9pimltpnf2f 45414 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < +∞} = 𝐷)
112, 10sylan9eqr 2794 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = +∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴} = 𝐷)
127, 8, 4smfdmss 45435 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
137, 12subsaluni 45062 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
1413adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = +∞) β†’ 𝐷 ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
1511, 14eqeltrd 2833 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = +∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
16 breq2 5151 . . . . . . . 8 (𝐴 = -∞ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < -∞))
1716rabbidv 3440 . . . . . . 7 (𝐴 = -∞ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < -∞})
1817adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = -∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴} = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < -∞})
199adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
203, 6, 19pimltmnf2f 45399 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = -∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < -∞} = βˆ…)
2118, 20eqtrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = -∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴} = βˆ…)
228dmexd 7892 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ V)
234, 22eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
24 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt 𝐷)
257, 23, 24subsalsal 45061 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
26250sald 45052 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
2726adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = -∞) β†’ βˆ… ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
2821, 27eqeltrd 2833 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 = -∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
2928adantlr 713 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  +∞) ∧ 𝐴 = -∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
30 simpll 765 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  +∞) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ πœ‘)
31 smfpimltxr.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
3230, 31syl 17 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  +∞) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
33 neqne 2948 . . . . . 6 (Β¬ 𝐴 = -∞ β†’ 𝐴 β‰  -∞)
3433adantl 482 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  +∞) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 β‰  -∞)
35 simplr 767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  +∞) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 β‰  +∞)
3632, 34, 35xrred 44061 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  +∞) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
377adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
388adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
39 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
403, 37, 38, 4, 39smfpreimaltf 45438 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4130, 36, 40syl2anc 584 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  +∞) ∧ Β¬ 𝐴 = -∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4229, 41pm2.61dan 811 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐴 β‰  +∞) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
4315, 42pm2.61dane 3029 1 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) < 𝐴} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883   β‰  wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474  βˆ…c0 4321   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  β„*cxr 11243   < clt 11244   β†Ύt crest 17362  SAlgcsalg 45010  SMblFncsmblfn 45397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-rest 17364  df-salg 45011  df-smblfn 45398
This theorem is referenced by:  smfpimltxrmptf  45460  smfpimne  45541  smfsupdmmbllem  45546
  Copyright terms: Public domain W3C validator