Theorem smfpimltxr 47431

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) (Revised by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimltxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimltxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxr.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimltxr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimltxr	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5112	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐹‘𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) < +∞))
2	1	rabbidv 3421	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < +∞})
3		smfpimltxr.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
4		smfpimltxr.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5	3	nfdm 5941	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
6	4, 5	nfcxfr 2921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
7		smfpimltxr.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfpimltxr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9	7, 8, 4	smff 47416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
10	3, 6, 9	pimltpnf2f 47396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < +∞} = 𝐷)
11	2, 10	sylan9eqr 2818	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = 𝐷)
12	7, 8, 4	smfdmss 47417	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
13	7, 12	subsaluni 47044	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
14	13	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
15	11, 14	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
16		breq2 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐹‘𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) < -∞))
17	16	rabbidv 3421	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞})
18	17	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞})
19	9	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
20	3, 6, 19	pimltmnf2f 47381	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)
21	18, 20	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = ∅)
22	8	dmexd 7899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
23	4, 22	eqeltrid 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
24		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
25	7, 23, 24	subsalsal 47043	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
26	25	0sald 47034	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
27	26	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
28	21, 27	eqeltrd 2861	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
29	28	adantlr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
30		simpll 778	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝜑)
31		smfpimltxr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
32	30, 31	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		neqne 2964	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
34	33	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
35		simplr 780	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
36	32, 34, 35	xrred 46050	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	7	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
38	8	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
39		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
40	3, 37, 38, 4, 39	smfpreimaltf 47420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
41	30, 36, 40	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
42	29, 41	pm2.61dan 824	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
43	15, 42	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908   ≠ wne 2956  {crab 3414  Vcvv 3453  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  +∞cpnf 11239  -∞cmnf 11240  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ↾_t crest 17472  SAlgcsalg 46992  SMblFncsmblfn 47379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cc 10418  ax-ac2 10446  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-acn 9927  df-ac 10099  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-ioo 13375  df-ico 13377  df-rest 17474  df-salg 46993  df-smblfn 47380

This theorem is referenced by:  smfpimltxrmptf  47442  smfpimne  47523  smfsupdmmbllem  47528