Theorem smfpimltxr 46040

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) (Revised by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimltxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimltxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxr.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimltxr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimltxr	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5145	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐹‘𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) < +∞))
2	1	rabbidv 3434	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < +∞})
3		smfpimltxr.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
4		smfpimltxr.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5	3	nfdm 5944	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
6	4, 5	nfcxfr 2895	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
7		smfpimltxr.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfpimltxr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9	7, 8, 4	smff 46025	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
10	3, 6, 9	pimltpnf2f 46005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < +∞} = 𝐷)
11	2, 10	sylan9eqr 2788	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = 𝐷)
12	7, 8, 4	smfdmss 46026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
13	7, 12	subsaluni 45653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
15	11, 14	eqeltrd 2827	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
16		breq2 5145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐹‘𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) < -∞))
17	16	rabbidv 3434	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞})
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞})
19	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
20	3, 6, 19	pimltmnf2f 45990	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)
21	18, 20	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = ∅)
22	8	dmexd 7893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
23	4, 22	eqeltrid 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
24		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
25	7, 23, 24	subsalsal 45652	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
26	25	0sald 45643	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
28	21, 27	eqeltrd 2827	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
29	28	adantlr 712	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
30		simpll 764	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝜑)
31		smfpimltxr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		neqne 2942	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
34	33	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
35		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
36	32, 34, 35	xrred 44652	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
38	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
39		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
40	3, 37, 38, 4, 39	smfpreimaltf 46029	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
41	30, 36, 40	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
42	29, 41	pm2.61dan 810	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
43	15, 42	pm2.61dane 3023	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2877   ≠ wne 2934  {crab 3426  Vcvv 3468  ∅c0 4317   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℝcr 11111  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252   ↾_t crest 17375  SAlgcsalg 45601  SMblFncsmblfn 45988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-rest 17377  df-salg 45602  df-smblfn 45989

This theorem is referenced by:  smfpimltxrmptf  46051  smfpimne  46132  smfsupdmmbllem  46137