Theorem smfpimltxr 46764

Description: Given a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, the preimage of an open interval unbounded below is in the subspace sigma-algebra induced by its domain. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.) (Revised by Glauco Siliprandi, 15-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfpimltxr.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
smfpimltxr.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfpimltxr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfpimltxr.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfpimltxr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
smfpimltxr	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem smfpimltxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5093	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → ((𝐹‘𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) < +∞))
2	1	rabbidv 3400	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < +∞})
3		smfpimltxr.x	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
4		smfpimltxr.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
5	3	nfdm 5888	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥dom 𝐹
6	4, 5	nfcxfr 2890	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥𝐷
7		smfpimltxr.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
8		smfpimltxr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
9	7, 8, 4	smff 46749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
10	3, 6, 9	pimltpnf2f 46729	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < +∞} = 𝐷)
11	2, 10	sylan9eqr 2787	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = 𝐷)
12	7, 8, 4	smfdmss 46750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
13	7, 12	subsaluni 46377	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → 𝐷 ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
15	11, 14	eqeltrd 2829	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
16		breq2 5093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = -∞ → ((𝐹‘𝑥) < 𝐴 ↔ (𝐹‘𝑥) < -∞))
17	16	rabbidv 3400	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = -∞ → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞})
18	17	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞})
19	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
20	3, 6, 19	pimltmnf2f 46714	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < -∞} = ∅)
21	18, 20	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} = ∅)
22	8	dmexd 7828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
23	4, 22	eqeltrid 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
24		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
25	7, 23, 24	subsalsal 46376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
26	25	0sald 46367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
28	21, 27	eqeltrd 2829	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
29	28	adantlr 715	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
30		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝜑)
31		smfpimltxr.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
33		neqne 2934	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = -∞ → 𝐴 ≠ -∞)
34	33	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ -∞)
35		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ≠ +∞)
36	32, 34, 35	xrred 45382	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
38	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
39		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
40	3, 37, 38, 4, 39	smfpreimaltf 46753	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
41	30, 36, 40	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) ∧ ¬ 𝐴 = -∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
42	29, 41	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ +∞) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
43	15, 42	pm2.61dane 3013	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) < 𝐴} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  Ⅎwnfc 2877   ≠ wne 2926  {crab 3393  Vcvv 3434  ∅c0 4281   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ⟶wf 6473  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℝcr 10997  +∞cpnf 11135  -∞cmnf 11136  ℝ^*cxr 11137   < clt 11138   ↾_t crest 17316  SAlgcsalg 46325  SMblFncsmblfn 46712

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cc 10318  ax-ac2 10346  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-card 9824  df-acn 9827  df-ac 9999  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-ioo 13241  df-ico 13243  df-rest 17318  df-salg 46326  df-smblfn 46713

This theorem is referenced by:  smfpimltxrmptf  46775  smfpimne  46856  smfsupdmmbllem  46861