MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprmproddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprmproddvds 16539
Description: If a positive integer is divisible by each element of a set of pairwise coprime positive integers, then it is divisible by their product. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
coprmproddvds (((𝑀 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ (∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛   𝑚,𝐾   𝑚,𝑀,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem coprmproddvds
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cleq1lem 14867 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ↔ (∅ ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))))
2 difeq1 4075 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∖ {𝑚}) = (∅ ∖ {𝑚}))
32raleqdv 3313 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (∀𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (∅ ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
43raleqbi1dv 3307 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑚 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ (∅ ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
5 raleq 3309 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → (∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∀𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
64, 5anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ((∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (∀𝑚 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ (∅ ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
71, 6anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ↔ ((∅ ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ (∅ ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))))
8 prodeq1 15792 . . . . . . 7 (𝑥 = ∅ → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) = ∏𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚))
98breq1d 5115 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∏𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
107, 9imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (((∅ ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ (∅ ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
11 cleq1lem 14867 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ↔ (𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))))
12 difeq1 4075 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∖ {𝑚}) = (𝑦 ∖ {𝑚}))
1312raleqdv 3313 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
1413raleqbi1dv 3307 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
15 raleq 3309 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
1614, 15anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
1711, 16anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ↔ ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))))
18 prodeq1 15792 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) = ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚))
1918breq1d 5115 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
2017, 19imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
21 cleq1lem 14867 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ↔ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))))
22 difeq1 4075 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ∖ {𝑚}) = ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚}))
2322raleqdv 3313 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
2423raleqbi1dv 3307 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
25 raleq 3309 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
2624, 25anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
2721, 26anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ↔ (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))))
28 prodeq1 15792 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) = ∏𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚))
2928breq1d 5115 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∏𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
3027, 29imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
31 cleq1lem 14867 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ↔ (𝑀 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ))))
32 difeq1 4075 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑀 → (𝑥 ∖ {𝑚}) = (𝑀 ∖ {𝑚}))
3332raleqdv 3313 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
3433raleqbi1dv 3307 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ↔ ∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1))
35 raleq 3309 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
3634, 35anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → ((∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
3731, 36anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) ↔ ((𝑀 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))))
38 prodeq1 15792 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) = ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚))
3938breq1d 5115 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾 ↔ ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
4037, 39imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → ((((𝑥 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑥𝑛 ∈ (𝑥 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑥 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) ↔ (((𝑀 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
41 prod0 15826 . . . . . . . 8 𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) = 1
42 nnz 12520 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
43 1dvds 16153 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝐾)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝐾)
4541, 44eqbrtrid 5140 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → ∏𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)
4645adantr 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) → ∏𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)
4746ad2antlr 725 . . . . 5 (((∅ ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ ∅ ∀𝑛 ∈ (∅ ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚 ∈ ∅ (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)
48 coprmproddvdslem 16538 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((((𝑦 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑦𝑛 ∈ (𝑦 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑦 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ((((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})∀𝑛 ∈ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
4910, 20, 30, 40, 47, 48findcard2s 9109 . . . 4 (𝑀 ∈ Fin → (((𝑀 ⊆ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ)) ∧ (∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))
5049exp4c 433 . . 3 (𝑀 ∈ Fin → (𝑀 ⊆ ℕ → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) → ((∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾))))
5150impcom 408 . 2 ((𝑀 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ Fin) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) → ((∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾) → ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)))
52513imp 1111 1 (((𝑀 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℕ) ∧ (∀𝑚𝑀𝑛 ∈ (𝑀 ∖ {𝑚})((𝐹𝑚) gcd (𝐹𝑛)) = 1 ∧ ∀𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)) → ∏𝑚𝑀 (𝐹𝑚) ∥ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  1c1 11052  cn 12153  cz 12499  cprod 15788  cdvds 16136   gcd cgcd 16374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-prod 15789  df-dvds 16137  df-gcd 16375
This theorem is referenced by:  prmodvdslcmf  16919
  Copyright terms: Public domain W3C validator