MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprmproddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprmproddvds 16544
Description: If a positive integer is divisible by each element of a set of pairwise coprime positive integers, then it is divisible by their product. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
coprmproddvds (((𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)
Distinct variable groups:   π‘š,𝐹,𝑛   π‘š,𝐾   π‘š,𝑀,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem coprmproddvds
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cleq1lem 14873 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ↔ (βˆ… βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))))
2 difeq1 4076 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = (βˆ… βˆ– {π‘š}))
32raleqdv 3312 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
43raleqbi1dv 3306 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
5 raleq 3308 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆ€π‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
64, 5anbi12d 632 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
71, 6anbi12d 632 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ↔ ((βˆ… βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))))
8 prodeq1 15797 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š))
98breq1d 5116 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
107, 9imbi12d 345 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (((βˆ… βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
11 cleq1lem 14873 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ↔ (𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))))
12 difeq1 4076 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = (𝑦 βˆ– {π‘š}))
1312raleqdv 3312 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
1413raleqbi1dv 3306 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
15 raleq 3308 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
1614, 15anbi12d 632 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
1711, 16anbi12d 632 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ↔ ((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))))
18 prodeq1 15797 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š))
1918breq1d 5116 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
2017, 19imbi12d 345 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
21 cleq1lem 14873 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ↔ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))))
22 difeq1 4076 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š}))
2322raleqdv 3312 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
2423raleqbi1dv 3306 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
25 raleq 3308 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
2624, 25anbi12d 632 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
2721, 26anbi12d 632 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ↔ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))))
28 prodeq1 15797 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š))
2928breq1d 5116 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
3027, 29imbi12d 345 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
31 cleq1lem 14873 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ↔ (𝑀 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))))
32 difeq1 4076 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = (𝑀 βˆ– {π‘š}))
3332raleqdv 3312 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
3433raleqbi1dv 3306 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
35 raleq 3308 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
3634, 35anbi12d 632 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
3731, 36anbi12d 632 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ↔ ((𝑀 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))))
38 prodeq1 15797 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š))
3938breq1d 5116 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
4037, 39imbi12d 345 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (((𝑀 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
41 prod0 15831 . . . . . . . 8 βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) = 1
42 nnz 12525 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„• β†’ 𝐾 ∈ β„€)
43 1dvds 16158 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„€ β†’ 1 βˆ₯ 𝐾)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ β„• β†’ 1 βˆ₯ 𝐾)
4541, 44eqbrtrid 5141 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ β„• β†’ βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)
4645adantr 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)
4746ad2antlr 726 . . . . 5 (((βˆ… βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)
48 coprmproddvdslem 16543 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
4910, 20, 30, 40, 47, 48findcard2s 9112 . . . 4 (𝑀 ∈ Fin β†’ (((𝑀 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
5049exp4c 434 . . 3 (𝑀 ∈ Fin β†’ (𝑀 βŠ† β„• β†’ ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))))
5150impcom 409 . 2 ((𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ Fin) β†’ ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
52513imp 1112 1 (((𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  1c1 11057  β„•cn 12158  β„€cz 12504  βˆcprod 15793   βˆ₯ cdvds 16141   gcd cgcd 16379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-prod 15794  df-dvds 16142  df-gcd 16380
This theorem is referenced by:  prmodvdslcmf  16924
  Copyright terms: Public domain W3C validator