MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coprmproddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coprmproddvds 16599
Description: If a positive integer is divisible by each element of a set of pairwise coprime positive integers, then it is divisible by their product. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
coprmproddvds (((𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)
Distinct variable groups:   π‘š,𝐹,𝑛   π‘š,𝐾   π‘š,𝑀,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem coprmproddvds
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cleq1lem 14928 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ↔ (βˆ… βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))))
2 difeq1 4115 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = (βˆ… βˆ– {π‘š}))
32raleqdv 3325 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
43raleqbi1dv 3333 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
5 raleq 3322 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆ€π‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
64, 5anbi12d 631 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
71, 6anbi12d 631 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ↔ ((βˆ… βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))))
8 prodeq1 15852 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š))
98breq1d 5158 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
107, 9imbi12d 344 . . . . 5 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (((βˆ… βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
11 cleq1lem 14928 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ↔ (𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))))
12 difeq1 4115 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = (𝑦 βˆ– {π‘š}))
1312raleqdv 3325 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
1413raleqbi1dv 3333 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
15 raleq 3322 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
1614, 15anbi12d 631 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
1711, 16anbi12d 631 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ↔ ((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))))
18 prodeq1 15852 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š))
1918breq1d 5158 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
2017, 19imbi12d 344 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
21 cleq1lem 14928 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ↔ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))))
22 difeq1 4115 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š}))
2322raleqdv 3325 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
2423raleqbi1dv 3333 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
25 raleq 3322 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
2624, 25anbi12d 631 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
2721, 26anbi12d 631 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ↔ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))))
28 prodeq1 15852 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š))
2928breq1d 5158 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
3027, 29imbi12d 344 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
31 cleq1lem 14928 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ↔ (𝑀 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))))
32 difeq1 4115 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = (𝑀 βˆ– {π‘š}))
3332raleqdv 3325 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
3433raleqbi1dv 3333 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
35 raleq 3322 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
3634, 35anbi12d 631 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
3731, 36anbi12d 631 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) ↔ ((𝑀 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))))
38 prodeq1 15852 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š))
3938breq1d 5158 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾 ↔ βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
4037, 39imbi12d 344 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) ↔ (((𝑀 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
41 prod0 15886 . . . . . . . 8 βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) = 1
42 nnz 12578 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„• β†’ 𝐾 ∈ β„€)
43 1dvds 16213 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ β„€ β†’ 1 βˆ₯ 𝐾)
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ β„• β†’ 1 βˆ₯ 𝐾)
4541, 44eqbrtrid 5183 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ β„• β†’ βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)
4645adantr 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)
4746ad2antlr 725 . . . . 5 (((βˆ… βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)
48 coprmproddvdslem 16598 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
4910, 20, 30, 40, 47, 48findcard2s 9164 . . . 4 (𝑀 ∈ Fin β†’ (((𝑀 βŠ† β„• ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))
5049exp4c 433 . . 3 (𝑀 ∈ Fin β†’ (𝑀 βŠ† β„• β†’ ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾))))
5150impcom 408 . 2 ((𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ Fin) β†’ ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ ((βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)))
52513imp 1111 1 (((𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑀 ∈ Fin) ∧ (𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) βˆ₯ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  1c1 11110  β„•cn 12211  β„€cz 12557  βˆcprod 15848   βˆ₯ cdvds 16196   gcd cgcd 16434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-prod 15849  df-dvds 16197  df-gcd 16435
This theorem is referenced by:  prmodvdslcmf  16979
  Copyright terms: Public domain W3C validator