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Theorem fproddiv 15911
Description: The quotient of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodmul.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fprodmul.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
fprodmul.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
fproddiv.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 β‰  0)
Assertion
Ref Expression
fproddiv (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 / 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 / βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘˜)   𝐢(π‘˜)

Proof of Theorem fproddiv
Dummy variables 𝑓 π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1div1e1 11908 . . . . 5 (1 / 1) = 1
21eqcomi 2735 . . . 4 1 = (1 / 1)
3 prodeq1 15859 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 / 𝐢) = βˆπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐡 / 𝐢))
4 prod0 15893 . . . . 5 βˆπ‘˜ ∈ βˆ… (𝐡 / 𝐢) = 1
53, 4eqtrdi 2782 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 / 𝐢) = 1)
6 prodeq1 15859 . . . . . 6 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
7 prod0 15893 . . . . . 6 βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 1
86, 7eqtrdi 2782 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = 1)
9 prodeq1 15859 . . . . . 6 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐢)
10 prod0 15893 . . . . . 6 βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐢 = 1
119, 10eqtrdi 2782 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢 = 1)
128, 11oveq12d 7423 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 / βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢) = (1 / 1))
132, 5, 123eqtr4a 2792 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 / 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 / βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
1413a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 / 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 / βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
15 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
16 nnuz 12869 . . . . . . . . 9 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
1715, 16eleqtrdi 2837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
18 fprodmul.2 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1918fmpttd 7110 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
20 f1of 6827 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
2120adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
22 fco 6735 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2319, 21, 22syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2423ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
25 fprodmul.3 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2625fmpttd 7110 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
27 fco 6735 . . . . . . . . . 10 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2826, 21, 27syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2928ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
30 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
3130, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
32 fvco3 6984 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
3331, 32sylan 579 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
3431ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴)
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ π‘˜ ∈ 𝐴)
36 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
3736fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = 𝐢)
3835, 25, 37syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = 𝐢)
39 fproddiv.4 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 β‰  0)
4038, 39eqnetrd 3002 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) β‰  0)
4140ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) β‰  0)
4241ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) β‰  0)
43 nffvmpt1 6896 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))
44 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜0
4543, 44nfne 3037 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) β‰  0
46 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
4746neeq1d 2994 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) β‰  0))
4845, 47rspc 3594 . . . . . . . . . 10 ((π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) β‰  0))
4934, 42, 48sylc 65 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) β‰  0)
5033, 49eqnetrd 3002 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) β‰  0)
5118, 25, 39divcld 11994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 / 𝐢) ∈ β„‚)
52 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢)) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))
5352fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ (𝐡 / 𝐢) ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜π‘˜) = (𝐡 / 𝐢))
5435, 51, 53syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜π‘˜) = (𝐡 / 𝐢))
55 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
5655fvmpt2 7003 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ 𝐡 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
5735, 18, 56syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = 𝐡)
5857, 38oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) / ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) = (𝐡 / 𝐢))
5954, 58eqtr4d 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) / ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)))
6059ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) / ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)))
6160ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) / ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)))
62 nffvmpt1 6896 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›))
63 nffvmpt1 6896 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›))
64 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜ /
6563, 64, 43nfov 7435 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘˜(((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) / ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6662, 65nfeq 2910 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘˜((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) / ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
67 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
68 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
6968, 46oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) / ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) / ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
7067, 69eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘›) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) / ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) ↔ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) / ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))))
7166, 70rspc 3594 . . . . . . . . . 10 ((π‘“β€˜π‘›) ∈ 𝐴 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜π‘˜) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) / ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘˜)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) / ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))))
7234, 61, 71sylc 65 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) / ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
73 fvco3 6984 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
7431, 73sylan 579 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
75 fvco3 6984 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
7631, 75sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
7776, 33oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) / (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›)) = (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)) / ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›))))
7872, 74, 773eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢)) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) / (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓)β€˜π‘›)))
7917, 24, 29, 50, 78prodfdiv 15848 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (seq1( Β· , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢)) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) = ((seq1( Β· , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) / (seq1( Β· , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄))))
80 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
8151fmpttd 7110 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚)
8281adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢)):π΄βŸΆβ„‚)
8382ffvelcdmda 7080 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
8480, 15, 30, 83, 74fprod 15891 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜π‘š) = (seq1( Β· , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢)) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
85 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
8619adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
8786ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
8885, 15, 30, 87, 76fprod 15891 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = (seq1( Β· , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
89 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
9026adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„‚)
9190ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
9289, 15, 30, 91, 33fprod 15891 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = (seq1( Β· , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
9388, 92oveq12d 7423 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) / βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)) = ((seq1( Β· , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) / (seq1( Β· , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄))))
9479, 84, 933eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜π‘š) = (βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) / βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)))
95 prodfc 15895 . . . . . 6 βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 / 𝐢))β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 / 𝐢)
96 prodfc 15895 . . . . . . 7 βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
97 prodfc 15895 . . . . . . 7 βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢
9896, 97oveq12i 7417 . . . . . 6 (βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) / βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)β€˜π‘š)) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 / βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)
9994, 95, 983eqtr3g 2789 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 / 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 / βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
10099expr 456 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 / 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 / βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
101100exlimdv 1928 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 / 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 / βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
102101expimpd 453 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 / 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 / βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢)))
103 fprodmul.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
104 fz1f1o 15662 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
105103, 104syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
10614, 102, 105mpjaod 857 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 (𝐡 / 𝐢) = (βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 / βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆ…c0 4317   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6533  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972  β™―chash 14295  βˆcprod 15855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856
This theorem is referenced by:  fproddivf  15937  bcprod  35241
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