Theorem fprodconst 16071

Description: The product of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fprodconst	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fprodconst

Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp0 14133	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
2	1	eqcomd 2768	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 1 = (𝐵↑0))
3		prodeq1 16000	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
4		prod0 16036	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
5	3, 4	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
6		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
7		hash0 14435	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘∅) = 0
8	6, 7	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = 0)
9	8	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (𝐵↑0))
10	5, 9	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)) ↔ 1 = (𝐵↑0)))
11	2, 10	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
12	11	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
13		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → 𝐵 = 𝐵)
14		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
16		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		elfznn 13612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
19	18	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
20		fvconst2g 7205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
21	17, 19, 20	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
22	13, 14, 15, 16, 21	fprod 16034	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
23		expnnval 14132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
24	23	ad2ant2lr 761	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
25	22, 24	eqtr4d 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
26	25	expr 462	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
27	26	exlimdv 1966	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
28	27	expimpd 459	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
29		fz1f1o 15800	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
30	29	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
31	12, 28, 30	mpjaod 874	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∅c0 4282  {csn 4587   × cxp 5657  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  ℂcc 11126  0cc0 11128  1c1 11129   · cmul 11133  ℕcn 12261  ...cfz 13565  seqcseq 14069  ↑cexp 14129  ♯chash 14398  ∏cprod 15996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-prod 15997

This theorem is used by:  risefallfac  16117  gausslemma2dlem5  27615  gausslemma2dlem6  27616  breprexpnat  35150  circlemethnat  35157  circlevma  35158  circlemethhgt  35159  bcprod  36325  etransclem23  47093  hoicvrrex  47392  ovnhoilem1  47437  vonsn  47527