Theorem fprodconst 15913

Description: The product of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fprodconst	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fprodconst

Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp0 14000	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
2	1	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 1 = (𝐵↑0))
3		prodeq1 15842	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
4		prod0 15878	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
5	3, 4	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
6		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
7		hash0 14302	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘∅) = 0
8	6, 7	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = 0)
9	8	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (𝐵↑0))
10	5, 9	eqeq12d 2753	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)) ↔ 1 = (𝐵↑0)))
11	2, 10	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
12	11	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
13		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → 𝐵 = 𝐵)
14		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
16		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simpllr 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		elfznn 13481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
20		fvconst2g 7158	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
21	17, 19, 20	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
22	13, 14, 15, 16, 21	fprod 15876	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
23		expnnval 13999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
24	23	ad2ant2lr 749	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
25	22, 24	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
26	25	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
27	26	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
28	27	expimpd 453	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
29		fz1f1o 15645	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
30	29	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
31	12, 28, 30	mpjaod 861	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  {csn 4582   × cxp 5630  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043  ℕcn 12157  ...cfz 13435  seqcseq 13936  ↑cexp 13996  ♯chash 14265  ∏cprod 15838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-prod 15839

This theorem is referenced by:  risefallfac  15959  gausslemma2dlem5  27350  gausslemma2dlem6  27351  breprexpnat  34811  circlemethnat  34818  circlevma  34819  circlemethhgt  34820  bcprod  35951  etransclem23  46609  hoicvrrex  46908  ovnhoilem1  46953  vonsn  47043