MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodconst 16011
Description: The product of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fprodconst ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fprodconst
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exp0 14103 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
21eqcomd 2741 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → 1 = (𝐵↑0))
3 prodeq1 15940 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
4 prod0 15976 . . . . . 6 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
53, 4eqtrdi 2791 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 1)
6 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
7 hash0 14403 . . . . . . 7 (♯‘∅) = 0
86, 7eqtrdi 2791 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = 0)
98oveq2d 7447 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (𝐵↑0))
105, 9eqeq12d 2751 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)) ↔ 1 = (𝐵↑0)))
112, 10syl5ibrcom 247 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
1211adantl 481 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
13 eqidd 2736 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑓𝑛) → 𝐵 = 𝐵)
14 simprl 771 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15 simprr 773 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
16 simpllr 776 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 simpllr 776 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
18 elfznn 13590 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
1918adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
20 fvconst2g 7222 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
2117, 19, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
2213, 14, 15, 16, 21fprod 15974 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
23 expnnval 14102 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
2423ad2ant2lr 748 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
2522, 24eqtr4d 2778 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
2625expr 456 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
2726exlimdv 1931 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
2827expimpd 453 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
29 fz1f1o 15743 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
3029adantr 480 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
3112, 28, 30mpjaod 860 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  c0 4339  {csn 4631   × cxp 5687  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  cn 12264  ...cfz 13544  seqcseq 14039  cexp 14099  chash 14366  cprod 15936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937
This theorem is referenced by:  risefallfac  16057  gausslemma2dlem5  27430  gausslemma2dlem6  27431  breprexpnat  34628  circlemethnat  34635  circlevma  34636  circlemethhgt  34637  bcprod  35718  etransclem23  46213  hoicvrrex  46512  ovnhoilem1  46557  vonsn  46647
  Copyright terms: Public domain W3C validator