Theorem fprodconst 15927

Description: The product of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵). (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fprodconst	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fprodconst

Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exp0 14036	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
2	1	eqcomd 2737	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → 1 = (𝐵↑0))
3		prodeq1 15858	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
4		prod0 15892	. . . . . 6 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
5	3, 4	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
6		fveq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
7		hash0 14332	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘∅) = 0
8	6, 7	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = 0)
9	8	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (𝐵↑0))
10	5, 9	eqeq12d 2747	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)) ↔ 1 = (𝐵↑0)))
11	2, 10	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
12	11	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
13		eqidd 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → 𝐵 = 𝐵)
14		simprl 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
16		simpllr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17		simpllr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		elfznn 13535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
19	18	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
20		fvconst2g 7205	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
21	17, 19, 20	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
22	13, 14, 15, 16, 21	fprod 15890	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
23		expnnval 14035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
24	23	ad2ant2lr 745	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
25	22, 24	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
26	25	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
27	26	exlimdv 1935	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
28	27	expimpd 453	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
29		fz1f1o 15661	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
30	29	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
31	12, 28, 30	mpjaod 857	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105  ∅c0 4322  {csn 4628   × cxp 5674  –1-1-onto→wf1o 6542  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8943  ℂcc 11112  0cc0 11114  1c1 11115   · cmul 11119  ℕcn 12217  ...cfz 13489  seqcseq 13971  ↑cexp 14032  ♯chash 14295  ∏cprod 15854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-prod 15855

This theorem is referenced by:  risefallfac  15973  gausslemma2dlem5  27111  gausslemma2dlem6  27112  breprexpnat  33945  circlemethnat  33952  circlevma  33953  circlemethhgt  33954  bcprod  35013  etransclem23  45272  hoicvrrex  45571  ovnhoilem1  45616  vonsn  45706