MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodconst 14915
Description: The product of constant terms (𝑘 is not free in 𝐵.) (Contributed by Scott Fenton, 12-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
fprodconst ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Proof of Theorem fprodconst
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 exp0 13071 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵↑0) = 1)
21eqcomd 2777 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → 1 = (𝐵↑0))
3 prodeq1 14846 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
4 prod0 14880 . . . . . 6 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
53, 4syl6eq 2821 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 1)
6 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
7 hash0 13360 . . . . . . 7 (♯‘∅) = 0
86, 7syl6eq 2821 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = 0)
98oveq2d 6809 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (𝐵↑0))
105, 9eqeq12d 2786 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)) ↔ 1 = (𝐵↑0)))
112, 10syl5ibrcom 237 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
1211adantl 467 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
13 eqidd 2772 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑓𝑛) → 𝐵 = 𝐵)
14 simprl 754 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
15 simprr 756 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
16 simpllr 760 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 simpllr 760 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝐵 ∈ ℂ)
18 elfznn 12577 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
1918adantl 467 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → 𝑛 ∈ ℕ)
20 fvconst2g 6611 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
2117, 19, 20syl2anc 573 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {𝐵})‘𝑛) = 𝐵)
2213, 14, 15, 16, 21fprod 14878 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
23 expnnval 13070 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
2423ad2ant2lr 742 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝐵↑(♯‘𝐴)) = (seq1( · , (ℕ × {𝐵}))‘(♯‘𝐴)))
2522, 24eqtr4d 2808 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
2625expr 444 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
2726exlimdv 2013 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
2827expimpd 441 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴))))
29 fz1f1o 14649 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
3029adantr 466 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
3112, 28, 30mpjaod 847 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐵↑(♯‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 834   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  c0 4063  {csn 4316   × cxp 5247  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   · cmul 10143  cn 11222  ...cfz 12533  seqcseq 13008  cexp 13067  chash 13321  cprod 14842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-prod 14843
This theorem is referenced by:  risefallfac  14961  gausslemma2dlem5  25317  gausslemma2dlem6  25318  breprexpnat  31052  circlemethnat  31059  circlevma  31060  circlemethhgt  31061  bcprod  31962  etransclem23  40991  hoicvrrex  41290  ovnhoilem1  41335  vonsn  41425
  Copyright terms: Public domain W3C validator