Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mccl 43376
Description: A multinomial coefficient, in its standard domain, is a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mccl.kb 𝑘𝐵
mccl.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
mccl.b (𝜑𝐵 ∈ (ℕ0m 𝐴))
Assertion
Ref Expression
mccl (𝜑 → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem mccl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 15472 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘))
21fveq2d 6815 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)))
3 prodeq1 15691 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘)))
42, 3oveq12d 7333 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))))
54eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
65ralbidv 3171 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
7 oveq2 7323 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (ℕ0m 𝑎) = (ℕ0m ∅))
87raleqdv 3310 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
96, 8bitrd 278 . . 3 (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
10 sumeq1 15472 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑐 → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘))
1110fveq2d 6815 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑐 → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)))
12 prodeq1 15691 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑐 → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)))
1311, 12oveq12d 7333 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑐 → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))))
1413eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
1514ralbidv 3171 . . . 4 (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
16 oveq2 7323 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (ℕ0m 𝑎) = (ℕ0m 𝑐))
1716raleqdv 3310 . . . 4 (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
1815, 17bitrd 278 . . 3 (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
19 sumeq1 15472 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘))
2019fveq2d 6815 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)))
21 prodeq1 15691 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘)))
2220, 21oveq12d 7333 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))))
2322eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
2423ralbidv 3171 . . . 4 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
25 oveq2 7323 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (ℕ0m 𝑎) = (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑})))
2625raleqdv 3310 . . . 4 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
2724, 26bitrd 278 . . 3 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
28 sumeq1 15472 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘))
2928fveq2d 6815 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)))
30 prodeq1 15691 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘)))
3129, 30oveq12d 7333 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))))
3231eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
3332ralbidv 3171 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
34 oveq2 7323 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (ℕ0m 𝑎) = (ℕ0m 𝐴))
3534raleqdv 3310 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
3633, 35bitrd 278 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
37 sum0 15505 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘) = 0
3837fveq2i 6814 . . . . . . . . 9 (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) = (!‘0)
39 fac0 14063 . . . . . . . . 9 (!‘0) = 1
4038, 39eqtri 2765 . . . . . . . 8 (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) = 1
41 prod0 15725 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘)) = 1
4240, 41oveq12i 7327 . . . . . . 7 ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) = (1 / 1)
43 1div1e1 11738 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
4442, 43eqtri 2765 . . . . . 6 ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) = 1
45 1nn 12057 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
4644, 45eqeltri 2834 . . . . 5 ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ
4746a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ (ℕ0m ∅)) → ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
4847ralrimiva 3140 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
49 nfv 1916 . . . . . 6 𝑏(𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐)))
50 nfra1 3264 . . . . . 6 𝑏𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ
5149, 50nfan 1901 . . . . 5 𝑏((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
52 simpll 764 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → (𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))))
53 fveq2 6811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → (𝑏𝑘) = (𝑏𝑗))
5453cbvsumv 15480 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘) = Σ𝑗𝑐 (𝑏𝑗)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘) = Σ𝑗𝑐 (𝑏𝑗))
56 fveq1 6810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏𝑗) = (𝑒𝑗))
5756sumeq2sdv 15488 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑗𝑐 (𝑏𝑗) = Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗))
5855, 57eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘) = Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗))
5958fveq2d 6815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑒 → (!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)))
60 2fveq3 6816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝑏𝑗)))
6160cbvprodv 15698 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑏𝑗))
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑏𝑗)))
6356fveq2d 6815 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → (!‘(𝑏𝑗)) = (!‘(𝑒𝑗)))
6463prodeq2ad 43370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑏𝑗)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗)))
6562, 64eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗)))
6659, 65oveq12d 7333 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑒 → ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))))
6766eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑒 → (((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ))
6867cbvralvw 3222 . . . . . . . . 9 (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ)
6968biimpi 215 . . . . . . . 8 (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ)
7069ad2antlr 724 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ)
71 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑})))
72 mccl.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7372ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝐴 ∈ Fin)
74 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) → 𝑐𝐴)
7574ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑐𝐴)
76 simprr 770 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) → 𝑑 ∈ (𝐴𝑐))
7776ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑑 ∈ (𝐴𝑐))
78 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑})))
79 fveq2 6811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → (𝑒𝑗) = (𝑒𝑘))
8079cbvsumv 15480 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗) = Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)
8180fveq2i 6814 . . . . . . . . . . . . 13 (!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) = (!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘))
82 2fveq3 6816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑒𝑗)) = (!‘(𝑒𝑘)))
8382cbvprodv 15698 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗)) = ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))
8481, 83oveq12i 7327 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) = ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘)))
8584eleq1i 2828 . . . . . . . . . . 11 (((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8685ralbii 3093 . . . . . . . . . 10 (∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8786biimpi 215 . . . . . . . . 9 (∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8887ad2antlr 724 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8973, 75, 77, 78, 88mccllem 43375 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
9052, 70, 71, 89syl21anc 835 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
9190ex 413 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) → (𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑})) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
9251, 91ralrimi 3237 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) → ∀𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
9392ex 413 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
949, 18, 27, 36, 48, 93, 72findcard2d 9008 . 2 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
95 mccl.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ (ℕ0m 𝐴))
96 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑘𝑏
97 mccl.kb . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
9896, 97nfeq 2918 . . . . . . . 8 𝑘 𝑏 = 𝐵
99 fveq1 6810 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
10099a1d 25 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (𝑘𝐴 → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘)))
10198, 100ralrimi 3237 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘𝐴 (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
102101sumeq2d 15486 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘))
103102fveq2d 6815 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)))
10499fveq2d 6815 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘)))
105104a1d 25 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑘𝐴 → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘))))
10698, 105ralrimi 3237 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘)))
107106prodeq2d 15704 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘)))
108103, 107oveq12d 7333 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))))
109108eleq1d 2822 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ))
110109rspccva 3569 . 2 ((∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℕ0m 𝐴)) → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
11194, 95, 110syl2anc 584 1 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  wnfc 2885  wral 3062  cdif 3894  cun 3895  wss 3897  c0 4267  {csn 4571  cfv 6465  (class class class)co 7315  m cmap 8663  Fincfn 8781  0cc0 10944  1c1 10945   / cdiv 11705  cn 12046  0cn0 12306  !cfa 14060  Σcsu 15469  cprod 15687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-inf2 9470  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-pre-sup 11022
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-er 8546  df-map 8665  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-sup 9271  df-oi 9339  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-n0 12307  df-z 12393  df-uz 12656  df-rp 12804  df-fz 13313  df-fzo 13456  df-seq 13795  df-exp 13856  df-fac 14061  df-bc 14090  df-hash 14118  df-cj 14882  df-re 14883  df-im 14884  df-sqrt 15018  df-abs 15019  df-clim 15269  df-sum 15470  df-prod 15688
This theorem is referenced by:  etransclem24  44036  etransclem25  44037  etransclem26  44038  etransclem28  44040  etransclem35  44047  etransclem37  44049
  Copyright terms: Public domain W3C validator