Theorem mccl 44314

Description: A multinomial coefficient, in its standard domain, is a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mccl.kb	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
mccl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
mccl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
mccl	⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem mccl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 15635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘))
2	1	fveq2d 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)))
3		prodeq1 15853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘)))
4	2, 3	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))))
5	4	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
6	5	ralbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
7		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m ∅))
8	7	raleqdv 3326	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
9	6, 8	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
10		sumeq1 15635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘))
11	10	fveq2d 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)))
12		prodeq1 15853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)))
13	11, 12	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))))
14	13	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
15	14	ralbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
16		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m 𝑐))
17	16	raleqdv 3326	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
18	15, 17	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
19		sumeq1 15635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘))
20	19	fveq2d 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)))
21		prodeq1 15853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘)))
22	20, 21	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))))
23	22	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
24	23	ralbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
25		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
26	25	raleqdv 3326	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
27	24, 26	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
28		sumeq1 15635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘))
29	28	fveq2d 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)))
30		prodeq1 15853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)))
31	29, 30	oveq12d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))))
32	31	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
33	32	ralbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
34		oveq2 7417	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m 𝐴))
35	34	raleqdv 3326	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
36	33, 35	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
37		sum0 15667	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘) = 0
38	37	fveq2i 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) = (!‘0)
39		fac0 14236	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
40	38, 39	eqtri 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) = 1
41		prod0 15887	. . . . . . . 8 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘)) = 1
42	40, 41	oveq12i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) = (1 / 1)
43		1div1e1 11904	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
44	42, 43	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) = 1
45		1nn 12223	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
46	44, 45	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)) → ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
48	47	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
49		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐)))
50		nfra1 3282	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ
51	49, 50	nfan 1903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
52		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → (𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))))
53		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑏‘𝑘) = (𝑏‘𝑗))
54	53	cbvsumv 15642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗))
56		fveq1 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (𝑏‘𝑗) = (𝑒‘𝑗))
57	56	sumeq2sdv 15650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗))
58	55, 57	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗))
59	58	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)))
60		2fveq3 6897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝑏‘𝑗)))
61	60	cbvprodv 15860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗))
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗)))
63	56	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (!‘(𝑏‘𝑗)) = (!‘(𝑒‘𝑗)))
64	63	prodeq2ad 44308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)))
65	62, 64	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)))
66	59, 65	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))))
67	66	eleq1d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ))
68	67	cbvralvw 3235	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
69	68	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
70	69	ad2antlr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
71		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
72		mccl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
73	72	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝐴 ∈ Fin)
74		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
75	74	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
76		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))
77	76	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))
78		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
79		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑒‘𝑗) = (𝑒‘𝑘))
80	79	cbvsumv 15642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)
81	80	fveq2i 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘))
82		2fveq3 6897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑒‘𝑗)) = (!‘(𝑒‘𝑘)))
83	82	cbvprodv 15860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)) = ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))
84	81, 83	oveq12i 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘)))
85	84	eleq1i 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
86	85	ralbii 3094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
87	86	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
88	87	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
89	73, 75, 77, 78, 88	mccllem 44313	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
90	52, 70, 71, 89	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
91	90	ex 414	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) → (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
92	51, 91	ralrimi 3255	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
93	92	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
94	9, 18, 27, 36, 48, 93, 72	findcard2d 9166	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
95		mccl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴))
96		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑏
97		mccl.kb	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
98	96, 97	nfeq 2917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑏 = 𝐵
99		fveq1 6891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
100	99	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘)))
101	98, 100	ralrimi 3255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
102	101	sumeq2d 15648	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘))
103	102	fveq2d 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)))
104	99	fveq2d 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘)))
105	104	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐴 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘))))
106	98, 105	ralrimi 3255	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘)))
107	106	prodeq2d 15866	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘)))
108	103, 107	oveq12d 7427	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))))
109	108	eleq1d 2819	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ))
110	109	rspccva 3612	. 2 ⊢ ((∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)) → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)
111	94, 95, 110	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3062   ∖ cdif 3946   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  {csn 4629  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   / cdiv 11871  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  !cfa 14233  Σcsu 15632  ∏cprod 15849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-prod 15850

This theorem is referenced by:  etransclem24  44974  etransclem25  44975  etransclem26  44976  etransclem28  44978  etransclem35  44985  etransclem37  44987