Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mccl 45613
Description: A multinomial coefficient, in its standard domain, is a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mccl.kb 𝑘𝐵
mccl.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
mccl.b (𝜑𝐵 ∈ (ℕ0m 𝐴))
Assertion
Ref Expression
mccl (𝜑 → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem mccl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 15725 . . . . . . . 8 (𝑎 = ∅ → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘))
21fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)))
3 prodeq1 15943 . . . . . . 7 (𝑎 = ∅ → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘)))
42, 3oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))))
54eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
65ralbidv 3178 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
7 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (ℕ0m 𝑎) = (ℕ0m ∅))
87raleqdv 3326 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
96, 8bitrd 279 . . 3 (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
10 sumeq1 15725 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑐 → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘))
1110fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑐 → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)))
12 prodeq1 15943 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑐 → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)))
1311, 12oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑐 → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))))
1413eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
1514ralbidv 3178 . . . 4 (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
16 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑎 = 𝑐 → (ℕ0m 𝑎) = (ℕ0m 𝑐))
1716raleqdv 3326 . . . 4 (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
1815, 17bitrd 279 . . 3 (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
19 sumeq1 15725 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘))
2019fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)))
21 prodeq1 15943 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘)))
2220, 21oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))))
2322eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
2423ralbidv 3178 . . . 4 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
25 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (ℕ0m 𝑎) = (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑})))
2625raleqdv 3326 . . . 4 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
2724, 26bitrd 279 . . 3 (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
28 sumeq1 15725 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘))
2928fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)))
30 prodeq1 15943 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘)))
3129, 30oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))))
3231eleq1d 2826 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
3332ralbidv 3178 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
34 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (ℕ0m 𝑎) = (ℕ0m 𝐴))
3534raleqdv 3326 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
3633, 35bitrd 279 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑎)((!‘Σ𝑘𝑎 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑎 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
37 sum0 15757 . . . . . . . . . 10 Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘) = 0
3837fveq2i 6909 . . . . . . . . 9 (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) = (!‘0)
39 fac0 14315 . . . . . . . . 9 (!‘0) = 1
4038, 39eqtri 2765 . . . . . . . 8 (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) = 1
41 prod0 15979 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘)) = 1
4240, 41oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) = (1 / 1)
43 1div1e1 11958 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
4442, 43eqtri 2765 . . . . . 6 ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) = 1
45 1nn 12277 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
4644, 45eqeltri 2837 . . . . 5 ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ
4746a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ (ℕ0m ∅)) → ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
4847ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
49 nfv 1914 . . . . . 6 𝑏(𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐)))
50 nfra1 3284 . . . . . 6 𝑏𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ
5149, 50nfan 1899 . . . . 5 𝑏((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
52 simpll 767 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → (𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))))
53 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑗 → (𝑏𝑘) = (𝑏𝑗))
5453cbvsumv 15732 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘) = Σ𝑗𝑐 (𝑏𝑗)
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘) = Σ𝑗𝑐 (𝑏𝑗))
56 fveq1 6905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑒 → (𝑏𝑗) = (𝑒𝑗))
5756sumeq2sdv 15739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑗𝑐 (𝑏𝑗) = Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗))
5855, 57eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘) = Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗))
5958fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑒 → (!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)))
60 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑗 → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝑏𝑗)))
6160cbvprodv 15950 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑏𝑗))
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑏𝑗)))
6356fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 𝑒 → (!‘(𝑏𝑗)) = (!‘(𝑒𝑗)))
6463prodeq2ad 45607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑏𝑗)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗)))
6562, 64eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗)))
6659, 65oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑒 → ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))))
6766eleq1d 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑒 → (((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ))
6867cbvralvw 3237 . . . . . . . . 9 (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ)
6968biimpi 216 . . . . . . . 8 (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ)
7069ad2antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ)
71 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑})))
72 mccl.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7372ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝐴 ∈ Fin)
74 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) → 𝑐𝐴)
7574ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑐𝐴)
76 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) → 𝑑 ∈ (𝐴𝑐))
7776ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑑 ∈ (𝐴𝑐))
78 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑})))
79 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝑘 → (𝑒𝑗) = (𝑒𝑘))
8079cbvsumv 15732 . . . . . . . . . . . . . 14 Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗) = Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)
8180fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) = (!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘))
82 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑒𝑗)) = (!‘(𝑒𝑘)))
8382cbvprodv 15950 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗)) = ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))
8481, 83oveq12i 7443 . . . . . . . . . . . 12 ((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) = ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘)))
8584eleq1i 2832 . . . . . . . . . . 11 (((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8685ralbii 3093 . . . . . . . . . 10 (∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8786biimpi 216 . . . . . . . . 9 (∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8887ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑒𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑒𝑘))) ∈ ℕ)
8973, 75, 77, 78, 88mccllem 45612 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑗𝑐 (𝑒𝑗)) / ∏𝑗𝑐 (!‘(𝑒𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
9052, 70, 71, 89syl21anc 838 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
9190ex 412 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) → (𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑})) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
9251, 91ralrimi 3257 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ) → ∀𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
9392ex 412 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐𝐴𝑑 ∈ (𝐴𝑐))) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝑐)((!‘Σ𝑘𝑐 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝑐 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑏 ∈ (ℕ0m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ))
949, 18, 27, 36, 48, 93, 72findcard2d 9206 . 2 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ)
95 mccl.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ (ℕ0m 𝐴))
96 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑘𝑏
97 mccl.kb . . . . . . . . 9 𝑘𝐵
9896, 97nfeq 2919 . . . . . . . 8 𝑘 𝑏 = 𝐵
99 fveq1 6905 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
10099a1d 25 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (𝑘𝐴 → (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘)))
10198, 100ralrimi 3257 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘𝐴 (𝑏𝑘) = (𝐵𝑘))
102101sumeq2d 15737 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘) = Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘))
103102fveq2d 6910 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) = (!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)))
10499fveq2d 6910 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘)))
105104a1d 25 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑘𝐴 → (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘))))
10698, 105ralrimi 3257 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘)) = (!‘(𝐵𝑘)))
107106prodeq2d 15957 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘)) = ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘)))
108103, 107oveq12d 7449 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) = ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))))
109108eleq1d 2826 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ))
110109rspccva 3621 . 2 ((∀𝑏 ∈ (ℕ0m 𝐴)((!‘Σ𝑘𝐴 (𝑏𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝑏𝑘))) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℕ0m 𝐴)) → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
11194, 95, 110syl2anc 584 1 (𝜑 → ((!‘Σ𝑘𝐴 (𝐵𝑘)) / ∏𝑘𝐴 (!‘(𝐵𝑘))) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wnfc 2890  wral 3061  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  !cfa 14312  Σcsu 15722  cprod 15939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-prod 15940
This theorem is referenced by:  etransclem24  46273  etransclem25  46274  etransclem26  46275  etransclem28  46277  etransclem35  46284  etransclem37  46286
  Copyright terms: Public domain W3C validator