Theorem mccl 45613

Description: A multinomial coefficient, in its standard domain, is a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mccl.kb	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
mccl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
mccl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
mccl	⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem mccl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 15725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘))
2	1	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)))
3		prodeq1 15943	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘)))
4	2, 3	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))))
5	4	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
6	5	ralbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
7		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m ∅))
8	7	raleqdv 3326	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
9	6, 8	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
10		sumeq1 15725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘))
11	10	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)))
12		prodeq1 15943	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)))
13	11, 12	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))))
14	13	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
15	14	ralbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
16		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m 𝑐))
17	16	raleqdv 3326	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
18	15, 17	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
19		sumeq1 15725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘))
20	19	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)))
21		prodeq1 15943	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘)))
22	20, 21	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))))
23	22	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
24	23	ralbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
25		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
26	25	raleqdv 3326	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
27	24, 26	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
28		sumeq1 15725	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘))
29	28	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)))
30		prodeq1 15943	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)))
31	29, 30	oveq12d 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))))
32	31	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
33	32	ralbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
34		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m 𝐴))
35	34	raleqdv 3326	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
36	33, 35	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
37		sum0 15757	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘) = 0
38	37	fveq2i 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) = (!‘0)
39		fac0 14315	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
40	38, 39	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) = 1
41		prod0 15979	. . . . . . . 8 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘)) = 1
42	40, 41	oveq12i 7443	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) = (1 / 1)
43		1div1e1 11958	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
44	42, 43	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) = 1
45		1nn 12277	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
46	44, 45	eqeltri 2837	. . . . 5 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)) → ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
48	47	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
49		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐)))
50		nfra1 3284	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ
51	49, 50	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
52		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → (𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))))
53		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑏‘𝑘) = (𝑏‘𝑗))
54	53	cbvsumv 15732	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗))
56		fveq1 6905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (𝑏‘𝑗) = (𝑒‘𝑗))
57	56	sumeq2sdv 15739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗))
58	55, 57	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗))
59	58	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)))
60		2fveq3 6911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝑏‘𝑗)))
61	60	cbvprodv 15950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗))
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗)))
63	56	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (!‘(𝑏‘𝑗)) = (!‘(𝑒‘𝑗)))
64	63	prodeq2ad 45607	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)))
65	62, 64	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)))
66	59, 65	oveq12d 7449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))))
67	66	eleq1d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ))
68	67	cbvralvw 3237	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
69	68	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
70	69	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
71		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
72		mccl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
73	72	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝐴 ∈ Fin)
74		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
75	74	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
76		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))
77	76	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))
78		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
79		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑒‘𝑗) = (𝑒‘𝑘))
80	79	cbvsumv 15732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)
81	80	fveq2i 6909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘))
82		2fveq3 6911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑒‘𝑗)) = (!‘(𝑒‘𝑘)))
83	82	cbvprodv 15950	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)) = ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))
84	81, 83	oveq12i 7443	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘)))
85	84	eleq1i 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
86	85	ralbii 3093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
87	86	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
88	87	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
89	73, 75, 77, 78, 88	mccllem 45612	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
90	52, 70, 71, 89	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
91	90	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) → (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
92	51, 91	ralrimi 3257	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
93	92	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
94	9, 18, 27, 36, 48, 93, 72	findcard2d 9206	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
95		mccl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴))
96		nfcv 2905	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑏
97		mccl.kb	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
98	96, 97	nfeq 2919	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑏 = 𝐵
99		fveq1 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
100	99	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘)))
101	98, 100	ralrimi 3257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
102	101	sumeq2d 15737	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘))
103	102	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)))
104	99	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘)))
105	104	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐴 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘))))
106	98, 105	ralrimi 3257	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘)))
107	106	prodeq2d 15957	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘)))
108	103, 107	oveq12d 7449	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))))
109	108	eleq1d 2826	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ))
110	109	rspccva 3621	. 2 ⊢ ((∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)) → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)
111	94, 95, 110	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2890  ∀wral 3061   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  0cc0 11155  1c1 11156   / cdiv 11920  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  !cfa 14312  Σcsu 15722  ∏cprod 15939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-prod 15940

This theorem is referenced by:  etransclem24  46273  etransclem25  46274  etransclem26  46275  etransclem28  46277  etransclem35  46284  etransclem37  46286