Theorem mccl 43139

Description: A multinomial coefficient, in its standard domain, is a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mccl.kb	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
mccl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
mccl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
mccl	⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem mccl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 15400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘))
2	1	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)))
3		prodeq1 15619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘)))
4	2, 3	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))))
5	4	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
6	5	ralbidv 3112	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
7		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m ∅))
8	7	raleqdv 3348	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
9	6, 8	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
10		sumeq1 15400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘))
11	10	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)))
12		prodeq1 15619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)))
13	11, 12	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))))
14	13	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
15	14	ralbidv 3112	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
16		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m 𝑐))
17	16	raleqdv 3348	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
18	15, 17	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
19		sumeq1 15400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘))
20	19	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)))
21		prodeq1 15619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘)))
22	20, 21	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))))
23	22	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
24	23	ralbidv 3112	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
25		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
26	25	raleqdv 3348	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
27	24, 26	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
28		sumeq1 15400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘))
29	28	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)))
30		prodeq1 15619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)))
31	29, 30	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))))
32	31	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
33	32	ralbidv 3112	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
34		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m 𝐴))
35	34	raleqdv 3348	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
36	33, 35	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
37		sum0 15433	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘) = 0
38	37	fveq2i 6777	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) = (!‘0)
39		fac0 13990	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
40	38, 39	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) = 1
41		prod0 15653	. . . . . . . 8 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘)) = 1
42	40, 41	oveq12i 7287	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) = (1 / 1)
43		1div1e1 11665	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
44	42, 43	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) = 1
45		1nn 11984	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
46	44, 45	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)) → ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
48	47	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
49		nfv 1917	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐)))
50		nfra1 3144	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ
51	49, 50	nfan 1902	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
52		simpll 764	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → (𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))))
53		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑏‘𝑘) = (𝑏‘𝑗))
54	53	cbvsumv 15408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗))
56		fveq1 6773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (𝑏‘𝑗) = (𝑒‘𝑗))
57	56	sumeq2sdv 15416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗))
58	55, 57	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗))
59	58	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)))
60		2fveq3 6779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝑏‘𝑗)))
61	60	cbvprodv 15626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗))
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗)))
63	56	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (!‘(𝑏‘𝑗)) = (!‘(𝑒‘𝑗)))
64	63	prodeq2ad 43133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)))
65	62, 64	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)))
66	59, 65	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))))
67	66	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ))
68	67	cbvralvw 3383	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
69	68	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
70	69	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
71		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
72		mccl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
73	72	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝐴 ∈ Fin)
74		simprl 768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
75	74	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
76		simprr 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))
77	76	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))
78		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
79		fveq2 6774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑒‘𝑗) = (𝑒‘𝑘))
80	79	cbvsumv 15408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)
81	80	fveq2i 6777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘))
82		2fveq3 6779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑒‘𝑗)) = (!‘(𝑒‘𝑘)))
83	82	cbvprodv 15626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)) = ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))
84	81, 83	oveq12i 7287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘)))
85	84	eleq1i 2829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
86	85	ralbii 3092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
87	86	biimpi 215	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
88	87	ad2antlr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
89	73, 75, 77, 78, 88	mccllem 43138	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
90	52, 70, 71, 89	syl21anc 835	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
91	90	ex 413	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) → (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
92	51, 91	ralrimi 3141	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
93	92	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
94	9, 18, 27, 36, 48, 93, 72	findcard2d 8949	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
95		mccl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴))
96		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑏
97		mccl.kb	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
98	96, 97	nfeq 2920	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑏 = 𝐵
99		fveq1 6773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
100	99	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘)))
101	98, 100	ralrimi 3141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
102	101	sumeq2d 15414	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘))
103	102	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)))
104	99	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘)))
105	104	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐴 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘))))
106	98, 105	ralrimi 3141	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘)))
107	106	prodeq2d 15632	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘)))
108	103, 107	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))))
109	108	eleq1d 2823	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ))
110	109	rspccva 3560	. 2 ⊢ ((∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)) → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)
111	94, 95, 110	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2887  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  Fincfn 8733  0cc0 10871  1c1 10872   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  !cfa 13987  Σcsu 15397  ∏cprod 15615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-prod 15616

This theorem is referenced by:  etransclem24  43799  etransclem25  43800  etransclem26  43801  etransclem28  43803  etransclem35  43810  etransclem37  43812