Theorem mccl 45840

Description: A multinomial coefficient, in its standard domain, is a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mccl.kb	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
mccl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
mccl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
mccl	⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem mccl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 15612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘))
2	1	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)))
3		prodeq1 15830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘)))
4	2, 3	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))))
5	4	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
6	5	ralbidv 3159	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
7		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m ∅))
8	7	raleqdv 3296	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
9	6, 8	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
10		sumeq1 15612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘))
11	10	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)))
12		prodeq1 15830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)))
13	11, 12	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))))
14	13	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
15	14	ralbidv 3159	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
16		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m 𝑐))
17	16	raleqdv 3296	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
18	15, 17	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
19		sumeq1 15612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘))
20	19	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)))
21		prodeq1 15830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘)))
22	20, 21	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))))
23	22	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
24	23	ralbidv 3159	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
25		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
26	25	raleqdv 3296	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
27	24, 26	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
28		sumeq1 15612	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘))
29	28	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)))
30		prodeq1 15830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)))
31	29, 30	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))))
32	31	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
33	32	ralbidv 3159	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
34		oveq2 7366	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m 𝐴))
35	34	raleqdv 3296	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
36	33, 35	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
37		sum0 15644	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘) = 0
38	37	fveq2i 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) = (!‘0)
39		fac0 14199	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
40	38, 39	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) = 1
41		prod0 15866	. . . . . . . 8 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘)) = 1
42	40, 41	oveq12i 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) = (1 / 1)
43		1div1e1 11832	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
44	42, 43	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) = 1
45		1nn 12156	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
46	44, 45	eqeltri 2832	. . . . 5 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)) → ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
48	47	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
49		nfv 1915	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐)))
50		nfra1 3260	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ
51	49, 50	nfan 1900	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
52		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → (𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))))
53		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑏‘𝑘) = (𝑏‘𝑗))
54	53	cbvsumv 15619	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗))
56		fveq1 6833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (𝑏‘𝑗) = (𝑒‘𝑗))
57	56	sumeq2sdv 15626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗))
58	55, 57	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗))
59	58	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)))
60		2fveq3 6839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝑏‘𝑗)))
61	60	cbvprodv 15837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗))
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗)))
63	56	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (!‘(𝑏‘𝑗)) = (!‘(𝑒‘𝑗)))
64	63	prodeq2ad 45834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)))
65	62, 64	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)))
66	59, 65	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))))
67	66	eleq1d 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ))
68	67	cbvralvw 3214	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
69	68	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
70	69	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
71		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
72		mccl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
73	72	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝐴 ∈ Fin)
74		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
75	74	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
76		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))
77	76	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))
78		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
79		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑒‘𝑗) = (𝑒‘𝑘))
80	79	cbvsumv 15619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)
81	80	fveq2i 6837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘))
82		2fveq3 6839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑒‘𝑗)) = (!‘(𝑒‘𝑘)))
83	82	cbvprodv 15837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)) = ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))
84	81, 83	oveq12i 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘)))
85	84	eleq1i 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
86	85	ralbii 3082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
87	86	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
88	87	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
89	73, 75, 77, 78, 88	mccllem 45839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
90	52, 70, 71, 89	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
91	90	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) → (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
92	51, 91	ralrimi 3234	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
93	92	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
94	9, 18, 27, 36, 48, 93, 72	findcard2d 9091	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
95		mccl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴))
96		nfcv 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑏
97		mccl.kb	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
98	96, 97	nfeq 2912	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑏 = 𝐵
99		fveq1 6833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
100	99	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘)))
101	98, 100	ralrimi 3234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
102	101	sumeq2d 15624	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘))
103	102	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)))
104	99	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘)))
105	104	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐴 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘))))
106	98, 105	ralrimi 3234	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘)))
107	106	prodeq2d 15844	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘)))
108	103, 107	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))))
109	108	eleq1d 2821	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ))
110	109	rspccva 3575	. 2 ⊢ ((∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)) → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)
111	94, 95, 110	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Ⅎwnfc 2883  ∀wral 3051   ∖ cdif 3898   ∪ cun 3899   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  0cc0 11026  1c1 11027   / cdiv 11794  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  !cfa 14196  Σcsu 15609  ∏cprod 15826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-sum 15610  df-prod 15827

This theorem is referenced by:  etransclem24  46498  etransclem25  46499  etransclem26  46500  etransclem28  46502  etransclem35  46509  etransclem37  46511