Theorem mccl 46138

Description: A multinomial coefficient, in its standard domain, is a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mccl.kb	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
mccl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
mccl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
mccl	⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem mccl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1 15699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘))
2	1	fveq2d 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)))
3		prodeq1 15920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘)))
4	2, 3	oveq12d 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))))
5	4	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
6	5	ralbidv 3184	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
7		oveq2 7400	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m ∅))
8	7	raleqdv 3319	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
9	6, 8	bitrd 281	. . 3 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
10		sumeq1 15699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘))
11	10	fveq2d 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)))
12		prodeq1 15920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)))
13	11, 12	oveq12d 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))))
14	13	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
15	14	ralbidv 3184	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
16		oveq2 7400	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m 𝑐))
17	16	raleqdv 3319	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
18	15, 17	bitrd 281	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
19		sumeq1 15699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘))
20	19	fveq2d 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)))
21		prodeq1 15920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘)))
22	20, 21	oveq12d 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))))
23	22	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
24	23	ralbidv 3184	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
25		oveq2 7400	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
26	25	raleqdv 3319	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
27	24, 26	bitrd 281	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑐 ∪ {𝑑}) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
28		sumeq1 15699	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘))
29	28	fveq2d 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)))
30		prodeq1 15920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)))
31	29, 30	oveq12d 7410	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))))
32	31	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
33	32	ralbidv 3184	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
34		oveq2 7400	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (ℕ0 ↑m 𝑎) = (ℕ0 ↑m 𝐴))
35	34	raleqdv 3319	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
36	33, 35	bitrd 281	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑎)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑎 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑎 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
37		sum0 15731	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘) = 0
38	37	fveq2i 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) = (!‘0)
39		fac0 14286	. . . . . . . . 9 ⊢ (!‘0) = 1
40	38, 39	eqtri 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) = 1
41		prod0 15956	. . . . . . . 8 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘)) = 1
42	40, 41	oveq12i 7404	. . . . . . 7 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) = (1 / 1)
43		1div1e1 11878	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
44	42, 43	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) = 1
45		1nn 12218	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
46	44, 45	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ
47	46	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)) → ((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
48	47	ralrimiva 3153	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m ∅)((!‘Σ𝑘 ∈ ∅ (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ ∅ (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
49		nfv 1933	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐)))
50		nfra1 3285	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ
51	49, 50	nfan 1918	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
52		simpll 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → (𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))))
53		fveq2 6863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑏‘𝑘) = (𝑏‘𝑗))
54	53	cbvsumv 15706	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗)
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗))
56		fveq1 6862	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (𝑏‘𝑗) = (𝑒‘𝑗))
57	56	sumeq2sdv 15713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗))
58	55, 57	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗))
59	58	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)))
60		2fveq3 6868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝑏‘𝑗)))
61	60	cbvprodv 15927	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗))
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗)))
63	56	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (!‘(𝑏‘𝑗)) = (!‘(𝑒‘𝑗)))
64	63	prodeq2ad 46132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑗)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)))
65	62, 64	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)))
66	59, 65	oveq12d 7410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))))
67	66	eleq1d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = 𝑒 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ))
68	67	cbvralvw 3239	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
69	68	biimpi 218	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
70	69	ad2antlr 737	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ)
71		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
72		mccl.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
73	72	ad3antrrr 740	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝐴 ∈ Fin)
74		simprl 780	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
75	74	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
76		simprr 782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))
77	76	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))
78		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})))
79		fveq2 6863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑒‘𝑗) = (𝑒‘𝑘))
80	79	cbvsumv 15706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗) = Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)
81	80	fveq2i 6866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘))
82		2fveq3 6868	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘(𝑒‘𝑗)) = (!‘(𝑒‘𝑘)))
83	82	cbvprodv 15927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗)) = ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))
84	81, 83	oveq12i 7404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘)))
85	84	eleq1i 2852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
86	85	ralbii 3107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ ↔ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
87	86	biimpi 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
88	87	ad2antlr 737	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑘))) ∈ ℕ)
89	73, 75, 77, 78, 88	mccllem 46137	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑒 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑗 ∈ 𝑐 (𝑒‘𝑗)) / ∏𝑗 ∈ 𝑐 (!‘(𝑒‘𝑗))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
90	52, 70, 71, 89	syl21anc 848	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
91	90	ex 416	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) → (𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑})) → ((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
92	51, 91	ralrimi 3259	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) ∧ ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ) → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
93	92	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → (∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝑐)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝑐 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝑐 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m (𝑐 ∪ {𝑑}))((!‘Σ𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ (𝑐 ∪ {𝑑})(!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ))
94	9, 18, 27, 36, 48, 93, 72	findcard2d 9131	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ)
95		mccl.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴))
96		nfcv 2923	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑏
97		mccl.kb	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
98	96, 97	nfeq 2936	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑏 = 𝐵
99		fveq1 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
100	99	a1d 25	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘)))
101	98, 100	ralrimi 3259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘) = (𝐵‘𝑘))
102	101	sumeq2d 15711	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘))
103	102	fveq2d 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) = (!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)))
104	99	fveq2d 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘)))
105	104	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑘 ∈ 𝐴 → (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘))))
106	98, 105	ralrimi 3259	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)) = (!‘(𝐵‘𝑘)))
107	106	prodeq2d 15934	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘)) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘)))
108	103, 107	oveq12d 7410	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) = ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))))
109	108	eleq1d 2846	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ↔ ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ))
110	109	rspccva 3580	. 2 ⊢ ((∀𝑏 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝑏‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝑏‘𝑘))) ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐴)) → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)
111	94, 95, 110	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → ((!‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵‘𝑘)) / ∏𝑘 ∈ 𝐴 (!‘(𝐵‘𝑘))) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908  ∀wral 3075   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4581  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ↑_m cmap 8803  Fincfn 8923  0cc0 11070  1c1 11071   / cdiv 11841  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12478  !cfa 14283  Σcsu 15696  ∏cprod 15916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-clim 15498  df-sum 15697  df-prod 15917

This theorem is referenced by:  etransclem24  46796  etransclem25  46797  etransclem26  46798  etransclem28  46800  etransclem35  46807  etransclem37  46809