Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodabs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodabs2 44609
Description: The absolute value of a finite product . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodabs2.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodabs2.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodabs2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (absโ€˜๐ต))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodabs2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15857 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต)
21fveq2d 6894 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต))
3 prodeq1 15857 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (absโ€˜๐ต))
42, 3eqeq12d 2746 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (absโ€˜๐ต)))
5 prodeq1 15857 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต)
65fveq2d 6894 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต))
7 prodeq1 15857 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต))
86, 7eqeq12d 2746 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)))
9 prodeq1 15857 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต)
109fveq2d 6894 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต))
11 prodeq1 15857 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})(absโ€˜๐ต))
1210, 11eqeq12d 2746 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})(absโ€˜๐ต)))
13 prodeq1 15857 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
1413fveq2d 6894 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต))
15 prodeq1 15857 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (absโ€˜๐ต))
1614, 15eqeq12d 2746 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (absโ€˜๐ต)))
17 abs1 15248 . . . 4 (absโ€˜1) = 1
18 prod0 15891 . . . . 5 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = 1
1918fveq2i 6893 . . . 4 (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต) = (absโ€˜1)
20 prod0 15891 . . . 4 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (absโ€˜๐ต) = 1
2117, 19, 203eqtr4i 2768 . . 3 (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (absโ€˜๐ต)
2221a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (absโ€˜๐ต))
23 eqidd 2731 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
24 nfv 1915 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)))
25 nfcsb1v 3917 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต
26 fprodabs2.a . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2726adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โІ ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
28 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โІ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โІ ๐ด)
29 ssfi 9175 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘ฆ โІ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
3027, 28, 29syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โІ ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
3130adantrr 713 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
32 simprr 769 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))
3332eldifbd 3960 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
34 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐œ‘)
3528sselda 3981 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โІ ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
3635adantlrr 717 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
37 fprodabs2.b . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3834, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
39 csbeq1a 3906 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
40 simpl 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐œ‘)
4132eldifad 3959 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ด)
42 nfv 1915 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด)
4325nfel1 2917 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
4442, 43nfim 1897 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
45 eleq1w 2814 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ง โˆˆ ๐ด))
4645anbi2d 627 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด)))
4739eleq1d 2816 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
4846, 47imbi12d 343 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)))
4944, 48, 37chvarfv 2231 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
5040, 41, 49syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
5124, 25, 31, 32, 33, 38, 39, 50fprodsplitsn 15937 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
5251adantr 479 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
5352fveq2d 6894 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต) = (absโ€˜(โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
5424, 31, 38fprodclf 15940 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5554, 50absmuld 15405 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (absโ€˜(โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)) = ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
5655adantr 479 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜(โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)) = ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
57 oveq1 7418 . . . . . 6 ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
5857adantl 480 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
5953, 56, 583eqtrd 2774 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
60 nfcv 2901 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜abs
6160, 25nffv 6900 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜(absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
6238abscld 15387 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
6362recnd 11246 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
6439fveq2d 6894 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ (absโ€˜๐ต) = (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
6550abscld 15387 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
6665recnd 11246 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6724, 61, 31, 32, 33, 63, 64, 66fprodsplitsn 15937 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})(absโ€˜๐ต) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
6867adantr 479 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})(absโ€˜๐ต) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
6923, 59, 683eqtr4d 2780 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})(absโ€˜๐ต))
7069ex 411 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โІ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})(absโ€˜๐ต)))
714, 8, 12, 16, 22, 70, 26findcard2d 9168 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (absโ€˜๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โฆ‹csb 3892   โˆ– cdif 3944   โˆช cun 3945   โІ wss 3947  โˆ…c0 4321  {csn 4627  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  1c1 11113   ยท cmul 11117  abscabs 15185  โˆcprod 15853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-prod 15854
This theorem is referenced by:  etransclem41  45289
  Copyright terms: Public domain W3C validator