Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodabs2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodabs2 43843
Description: The absolute value of a finite product . (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodabs2.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodabs2.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fprodabs2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (absโ€˜๐ต))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodabs2
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15793 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต)
21fveq2d 6847 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต))
3 prodeq1 15793 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (absโ€˜๐ต))
42, 3eqeq12d 2753 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (absโ€˜๐ต)))
5 prodeq1 15793 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต)
65fveq2d 6847 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต))
7 prodeq1 15793 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต))
86, 7eqeq12d 2753 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)))
9 prodeq1 15793 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต)
109fveq2d 6847 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต))
11 prodeq1 15793 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})(absโ€˜๐ต))
1210, 11eqeq12d 2753 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง}) โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})(absโ€˜๐ต)))
13 prodeq1 15793 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
1413fveq2d 6847 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต))
15 prodeq1 15793 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (absโ€˜๐ต))
1614, 15eqeq12d 2753 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ (absโ€˜๐ต) โ†” (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (absโ€˜๐ต)))
17 abs1 15183 . . . 4 (absโ€˜1) = 1
18 prod0 15827 . . . . 5 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = 1
1918fveq2i 6846 . . . 4 (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต) = (absโ€˜1)
20 prod0 15827 . . . 4 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (absโ€˜๐ต) = 1
2117, 19, 203eqtr4i 2775 . . 3 (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (absโ€˜๐ต)
2221a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… (absโ€˜๐ต))
23 eqidd 2738 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
24 nfv 1918 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)))
25 nfcsb1v 3881 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต
26 fprodabs2.a . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
2726adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โŠ† ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
28 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โŠ† ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โŠ† ๐ด)
29 ssfi 9118 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘ฆ โŠ† ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
3027, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โŠ† ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
3130adantrr 716 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
32 simprr 772 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))
3332eldifbd 3924 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐‘ฆ)
34 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐œ‘)
3528sselda 3945 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โŠ† ๐ด) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
3635adantlrr 720 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
37 fprodabs2.b . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3834, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
39 csbeq1a 3870 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
40 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐œ‘)
4132eldifad 3923 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ด)
42 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด)
4325nfel1 2924 . . . . . . . . . . 11 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚
4442, 43nfim 1900 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
45 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘ง โˆˆ ๐ด))
4645anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†” (๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด)))
4739eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†” โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚))
4846, 47imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†” ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)))
4944, 48, 37chvarfv 2234 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ด) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
5040, 41, 49syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
5124, 25, 31, 32, 33, 38, 39, 50fprodsplitsn 15873 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
5251adantr 482 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
5352fveq2d 6847 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต) = (absโ€˜(โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
5424, 31, 38fprodclf 15876 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โˆˆ โ„‚)
5554, 50absmuld 15340 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (absโ€˜(โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)) = ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
5655adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜(โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)) = ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
57 oveq1 7365 . . . . . 6 ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
5857adantl 483 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
5953, 56, 583eqtrd 2781 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
60 nfcv 2908 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜abs
6160, 25nffv 6853 . . . . . 6 โ„ฒ๐‘˜(absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
6238abscld 15322 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
6362recnd 11184 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
6439fveq2d 6847 . . . . . 6 (๐‘˜ = ๐‘ง โ†’ (absโ€˜๐ต) = (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
6550abscld 15322 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต) โˆˆ โ„)
6665recnd 11184 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6724, 61, 31, 32, 33, 63, 64, 66fprodsplitsn 15873 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})(absโ€˜๐ต) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
6867adantr 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})(absโ€˜๐ต) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต)))
6923, 59, 683eqtr4d 2787 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต)) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})(absโ€˜๐ต))
7069ex 414 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ((absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ (absโ€˜๐ต) โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘ง})(absโ€˜๐ต)))
714, 8, 12, 16, 22, 70, 26findcard2d 9111 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (absโ€˜๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โฆ‹csb 3856   โˆ– cdif 3908   โˆช cun 3909   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283  {csn 4587  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  โ„‚cc 11050  1c1 11053   ยท cmul 11057  abscabs 15120  โˆcprod 15789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9578  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-oi 9447  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-clim 15371  df-prod 15790
This theorem is referenced by:  etransclem41  44523
  Copyright terms: Public domain W3C validator