MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prod1 15819
Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prod1 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∨ 𝐴 ∈ Fin) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑀

Proof of Theorem prod1
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 simpr 485 . . . 4 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 ax-1ne0 11116 . . . . 5 1 β‰  0
43a1i 11 . . . 4 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 1 β‰  0)
51prodfclim1 15770 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„€ β†’ seq𝑀( Β· , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {1})) ⇝ 1)
65adantl 482 . . . 4 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ seq𝑀( Β· , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {1})) ⇝ 1)
7 simpl 483 . . . 4 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
8 1ex 11147 . . . . . . 7 1 ∈ V
98fvconst2 7149 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {1})β€˜π‘˜) = 1)
10 ifid 4524 . . . . . 6 if(π‘˜ ∈ 𝐴, 1, 1) = 1
119, 10eqtr4di 2794 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {1})β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 1, 1))
1211adantl 482 . . . 4 (((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {1})β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 1, 1))
13 1cnd 11146 . . . 4 (((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 1 ∈ β„‚)
141, 2, 4, 6, 7, 12, 13zprodn0 15814 . . 3 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
15 uzf 12762 . . . . . . . . 9 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
1615fdmi 6677 . . . . . . . 8 dom β„€β‰₯ = β„€
1716eleq2i 2829 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ ↔ 𝑀 ∈ β„€)
18 ndmfv 6874 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
1917, 18sylnbir 330 . . . . . 6 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
2019sseq2d 3974 . . . . 5 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↔ 𝐴 βŠ† βˆ…))
2120biimpac 479 . . . 4 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† βˆ…)
22 ss0 4356 . . . 4 (𝐴 βŠ† βˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
23 prodeq1 15784 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 1)
24 prod0 15818 . . . . 5 βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 1 = 1
2523, 24eqtrdi 2792 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
2621, 22, 253syl 18 . . 3 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
2714, 26pm2.61dan 811 . 2 (𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
28 fz1f1o 15587 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
29 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘—) β†’ 1 = 1)
30 simpl 483 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
31 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
32 1cnd 11146 . . . . . . . . 9 ((((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 1 ∈ β„‚)
33 elfznn 13462 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
348fvconst2 7149 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((β„• Γ— {1})β€˜π‘—) = 1)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) β†’ ((β„• Γ— {1})β€˜π‘—) = 1)
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((β„• Γ— {1})β€˜π‘—) = 1)
3729, 30, 31, 32, 36fprod 15816 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = (seq1( Β· , (β„• Γ— {1}))β€˜(β™―β€˜π΄)))
38 nnuz 12798 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3938prodf1 15768 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {1}))β€˜(β™―β€˜π΄)) = 1)
4039adantr 481 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {1}))β€˜(β™―β€˜π΄)) = 1)
4137, 40eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
4241ex 413 . . . . . 6 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1))
4342exlimdv 1936 . . . . 5 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1))
4443imp 407 . . . 4 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
4525, 44jaoi 855 . . 3 ((𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
4628, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
4727, 46jaoi 855 1 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∨ 𝐴 ∈ Fin) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280  ifcif 4484  π’« cpw 4558  {csn 4584   class class class wbr 5103   Γ— cxp 5629  dom cdm 5631  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6492  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  0cc0 11047  1c1 11048   Β· cmul 11052  β„•cn 12149  β„€cz 12495  β„€β‰₯cuz 12759  ...cfz 13416  seqcseq 13898  β™―chash 14222   ⇝ cli 15358  βˆcprod 15780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-rp 12908  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-prod 15781
This theorem is referenced by:  fprodex01  31604  etransclem35  44442
  Copyright terms: Public domain W3C validator