Theorem prod1 15981

Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prod1	⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem prod1

Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		ax-1ne0 11225	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ≠ 0)
5	1	prodfclim1 15930	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , ((ℤ≥‘𝑀) × {1})) ⇝ 1)
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( · , ((ℤ≥‘𝑀) × {1})) ⇝ 1)
7		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8		1ex 11258	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
9	8	fvconst2 7225	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = 1)
10		ifid 4565	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1) = 1
11	9, 10	eqtr4di 2794	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1))
12	11	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1))
13		1cnd 11257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
14	1, 2, 4, 6, 7, 12, 13	zprodn0 15976	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
15		uzf 12882	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
16	15	fdmi 6746	. . . . . . . 8 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
17	16	eleq2i 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
18		ndmfv 6940	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
19	17, 18	sylnbir 331	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
20	19	sseq2d 4015	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
21	20	biimpac 478	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
22		ss0 4401	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
23		prodeq1 15944	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 1)
24		prod0 15980	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 1 = 1
25	23, 24	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
26	21, 22, 25	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
27	14, 26	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
28		fz1f1o 15747	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
29		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑗) → 1 = 1)
30		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
31		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
32		1cnd 11257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
33		elfznn 13594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑗 ∈ ℕ)
34	8	fvconst2 7225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
36	35	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
37	29, 30, 31, 32, 36	fprod 15978	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)))
38		nnuz 12922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
39	38	prodf1 15928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)) = 1)
40	39	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)) = 1)
41	37, 40	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
42	41	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1))
43	42	exlimdv 1932	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1))
44	43	imp 406	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
45	25, 44	jaoi 857	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
46	28, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
47	27, 46	jaoi 857	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3950  ∅c0 4332  ifcif 4524  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   class class class wbr 5142   × cxp 5682  dom cdm 5684  –1-1-onto→wf1o 6559  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161  ℕcn 12267  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  ...cfz 13548  seqcseq 14043  ♯chash 14370   ⇝ cli 15521  ∏cprod 15940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-prod 15941

This theorem is referenced by:  fprodex01  32828  etransclem35  46289