MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prod1 15298
Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prod1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem prod1
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 488 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 ax-1ne0 10604 . . . . 5 1 ≠ 0
43a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ≠ 0)
51prodfclim1 15249 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , ((ℤ𝑀) × {1})) ⇝ 1)
65adantl 485 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( · , ((ℤ𝑀) × {1})) ⇝ 1)
7 simpl 486 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
8 1ex 10635 . . . . . . 7 1 ∈ V
98fvconst2 6957 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = 1)
10 ifid 4489 . . . . . 6 if(𝑘𝐴, 1, 1) = 1
119, 10syl6eqr 2877 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 1, 1))
1211adantl 485 . . . 4 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 1, 1))
13 1cnd 10634 . . . 4 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
141, 2, 4, 6, 7, 12, 13zprodn0 15293 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
15 uzf 12243 . . . . . . . . 9 :ℤ⟶𝒫 ℤ
1615fdmi 6514 . . . . . . . 8 dom ℤ = ℤ
1716eleq2i 2907 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
18 ndmfv 6691 . . . . . . 7 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
1917, 18sylnbir 334 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2019sseq2d 3985 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
2120biimpac 482 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
22 ss0 4335 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
23 prodeq1 15263 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 1)
24 prod0 15297 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 1 = 1
2523, 24syl6eq 2875 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
2621, 22, 253syl 18 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
2714, 26pm2.61dan 812 . 2 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
28 fz1f1o 15067 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
29 eqidd 2825 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑓𝑗) → 1 = 1)
30 simpl 486 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
31 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
32 1cnd 10634 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
33 elfznn 12940 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑗 ∈ ℕ)
348fvconst2 6957 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3635adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3729, 30, 31, 32, 36fprod 15295 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)))
38 nnuz 12278 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
3938prodf1 15247 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)) = 1)
4039adantr 484 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)) = 1)
4137, 40eqtrd 2859 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4241ex 416 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 1 = 1))
4342exlimdv 1935 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 1 = 1))
4443imp 410 . . . 4 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4525, 44jaoi 854 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4628, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4727, 46jaoi 854 1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2115  wne 3014  wss 3919  c0 4276  ifcif 4450  𝒫 cpw 4522  {csn 4550   class class class wbr 5052   × cxp 5540  dom cdm 5542  1-1-ontowf1o 6342  cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  0cc0 10535  1c1 10536   · cmul 10540  cn 11634  cz 11978  cuz 12240  ...cfz 12894  seqcseq 13373  chash 13695  cli 14841  cprod 15259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-prod 15260
This theorem is referenced by:  fprodex01  30552  etransclem35  42837
  Copyright terms: Public domain W3C validator