Theorem prod1 15297

Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prod1	⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem prod1

Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		ax-1ne0 10605	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ≠ 0)
5	1	prodfclim1 15248	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , ((ℤ≥‘𝑀) × {1})) ⇝ 1)
6	5	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( · , ((ℤ≥‘𝑀) × {1})) ⇝ 1)
7		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8		1ex 10636	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
9	8	fvconst2 6965	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = 1)
10		ifid 4505	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1) = 1
11	9, 10	syl6eqr 2874	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1))
12	11	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1))
13		1cnd 10635	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
14	1, 2, 4, 6, 7, 12, 13	zprodn0 15292	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
15		uzf 12245	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
16	15	fdmi 6523	. . . . . . . 8 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
17	16	eleq2i 2904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
18		ndmfv 6699	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
19	17, 18	sylnbir 333	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
20	19	sseq2d 3998	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
21	20	biimpac 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
22		ss0 4351	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
23		prodeq1 15262	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 1)
24		prod0 15296	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 1 = 1
25	23, 24	syl6eq 2872	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
26	21, 22, 25	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
27	14, 26	pm2.61dan 811	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
28		fz1f1o 15066	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
29		eqidd 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑗) → 1 = 1)
30		simpl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
31		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
32		1cnd 10635	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
33		elfznn 12935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑗 ∈ ℕ)
34	8	fvconst2 6965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
36	35	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
37	29, 30, 31, 32, 36	fprod 15294	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)))
38		nnuz 12280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
39	38	prodf1 15246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)) = 1)
40	39	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)) = 1)
41	37, 40	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
42	41	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1))
43	42	exlimdv 1930	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1))
44	43	imp 409	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
45	25, 44	jaoi 853	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
46	28, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
47	27, 46	jaoi 853	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ⊆ wss 3935  ∅c0 4290  ifcif 4466  𝒫 cpw 4538  {csn 4566   class class class wbr 5065   × cxp 5552  dom cdm 5554  –1-1-onto→wf1o 6353  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Fincfn 8508  0cc0 10536  1c1 10537   · cmul 10541  ℕcn 11637  ℤcz 11980  ℤ_≥cuz 12242  ...cfz 12891  seqcseq 13368  ♯chash 13689   ⇝ cli 14840  ∏cprod 15258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-prod 15259

This theorem is referenced by:  fprodex01  30541  etransclem35  42553