Theorem prod1 16111

Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prod1	⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem prod1

Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		ax-1ne0 11269	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ≠ 0)
5	1	prodfclim1 16062	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , ((ℤ≥‘𝑀) × {1})) ⇝ 1)
6	5	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( · , ((ℤ≥‘𝑀) × {1})) ⇝ 1)
7		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8		1ex 11303	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
9	8	fvconst2 7210	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = 1)
10		ifid 4523	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1) = 1
11	9, 10	eqtr4di 2814	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1))
12	11	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1))
13		1cnd 11302	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
14	1, 2, 4, 6, 7, 12, 13	zprodn0 16106	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
15		uzf 12968	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
16	15	fdmi 6721	. . . . . . . 8 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
17	16	eleq2i 2853	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
18		ndmfv 6917	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
19	17, 18	sylnbir 334	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
20	19	sseq2d 3963	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
21	20	biimpac 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
22		ss0 4352	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
23		prodeq1 16076	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 1)
24		prod0 16110	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 1 = 1
25	23, 24	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
26	21, 22, 25	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
27	14, 26	pm2.61dan 825	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
28		fz1f1o 15876	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
29		eqidd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑗) → 1 = 1)
30		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
31		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
32		1cnd 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
33		elfznn 13687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑗 ∈ ℕ)
34	8	fvconst2 7210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
36	35	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
37	29, 30, 31, 32, 36	fprod 16108	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)))
38		nnuz 13004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
39	38	prodf1 16060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)) = 1)
40	39	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)) = 1)
41	37, 40	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
42	41	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1))
43	42	exlimdv 1966	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1))
44	43	imp 412	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
45	25, 44	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
46	28, 45	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
47	27, 46	jaoi 871	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482  𝒫 cpw 4557  {csn 4584   class class class wbr 5103   × cxp 5649  dom cdm 5651  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205  ℕcn 12335  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965  ...cfz 13639  seqcseq 14144  ♯chash 14474   ⇝ cli 15651  ∏cprod 16072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-prod 16073

This theorem is used by:  fprodex01  33416  etransclem35  47278