MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prod1 15888
Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prod1 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∨ 𝐴 ∈ Fin) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝑀

Proof of Theorem prod1
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜π‘€) = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 simpr 486 . . . 4 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 ax-1ne0 11179 . . . . 5 1 β‰  0
43a1i 11 . . . 4 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 1 β‰  0)
51prodfclim1 15839 . . . . 5 (𝑀 ∈ β„€ β†’ seq𝑀( Β· , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {1})) ⇝ 1)
65adantl 483 . . . 4 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ seq𝑀( Β· , ((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {1})) ⇝ 1)
7 simpl 484 . . . 4 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€))
8 1ex 11210 . . . . . . 7 1 ∈ V
98fvconst2 7205 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {1})β€˜π‘˜) = 1)
10 ifid 4569 . . . . . 6 if(π‘˜ ∈ 𝐴, 1, 1) = 1
119, 10eqtr4di 2791 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {1})β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 1, 1))
1211adantl 483 . . . 4 (((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€)) β†’ (((β„€β‰₯β€˜π‘€) Γ— {1})β€˜π‘˜) = if(π‘˜ ∈ 𝐴, 1, 1))
13 1cnd 11209 . . . 4 (((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 1 ∈ β„‚)
141, 2, 4, 6, 7, 12, 13zprodn0 15883 . . 3 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
15 uzf 12825 . . . . . . . . 9 β„€β‰₯:β„€βŸΆπ’« β„€
1615fdmi 6730 . . . . . . . 8 dom β„€β‰₯ = β„€
1716eleq2i 2826 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ ↔ 𝑀 ∈ β„€)
18 ndmfv 6927 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑀 ∈ dom β„€β‰₯ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
1917, 18sylnbir 331 . . . . . 6 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘€) = βˆ…)
2019sseq2d 4015 . . . . 5 (Β¬ 𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ↔ 𝐴 βŠ† βˆ…))
2120biimpac 480 . . . 4 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ 𝐴 βŠ† βˆ…)
22 ss0 4399 . . . 4 (𝐴 βŠ† βˆ… β†’ 𝐴 = βˆ…)
23 prodeq1 15853 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 1)
24 prod0 15887 . . . . 5 βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 1 = 1
2523, 24eqtrdi 2789 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
2621, 22, 253syl 18 . . 3 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∧ Β¬ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
2714, 26pm2.61dan 812 . 2 (𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
28 fz1f1o 15656 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
29 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘—) β†’ 1 = 1)
30 simpl 484 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
31 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
32 1cnd 11209 . . . . . . . . 9 ((((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 1 ∈ β„‚)
33 elfznn 13530 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
348fvconst2 7205 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((β„• Γ— {1})β€˜π‘—) = 1)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜π΄)) β†’ ((β„• Γ— {1})β€˜π‘—) = 1)
3635adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((β„• Γ— {1})β€˜π‘—) = 1)
3729, 30, 31, 32, 36fprod 15885 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = (seq1( Β· , (β„• Γ— {1}))β€˜(β™―β€˜π΄)))
38 nnuz 12865 . . . . . . . . . 10 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
3938prodf1 15837 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {1}))β€˜(β™―β€˜π΄)) = 1)
4039adantr 482 . . . . . . . 8 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ (seq1( Β· , (β„• Γ— {1}))β€˜(β™―β€˜π΄)) = 1)
4137, 40eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
4241ex 414 . . . . . 6 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1))
4342exlimdv 1937 . . . . 5 ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1))
4443imp 408 . . . 4 (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
4525, 44jaoi 856 . . 3 ((𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
4628, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
4727, 46jaoi 856 1 ((𝐴 βŠ† (β„€β‰₯β€˜π‘€) ∨ 𝐴 ∈ Fin) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 1 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115  β„•cn 12212  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  seqcseq 13966  β™―chash 14290   ⇝ cli 15428  βˆcprod 15849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850
This theorem is referenced by:  fprodex01  32031  etransclem35  44985
  Copyright terms: Public domain W3C validator