MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prod1 15981
Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prod1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem prod1
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 ax-1ne0 11225 . . . . 5 1 ≠ 0
43a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ≠ 0)
51prodfclim1 15930 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , ((ℤ𝑀) × {1})) ⇝ 1)
65adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( · , ((ℤ𝑀) × {1})) ⇝ 1)
7 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
8 1ex 11258 . . . . . . 7 1 ∈ V
98fvconst2 7225 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = 1)
10 ifid 4565 . . . . . 6 if(𝑘𝐴, 1, 1) = 1
119, 10eqtr4di 2794 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 1, 1))
1211adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 1, 1))
13 1cnd 11257 . . . 4 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
141, 2, 4, 6, 7, 12, 13zprodn0 15976 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
15 uzf 12882 . . . . . . . . 9 :ℤ⟶𝒫 ℤ
1615fdmi 6746 . . . . . . . 8 dom ℤ = ℤ
1716eleq2i 2832 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
18 ndmfv 6940 . . . . . . 7 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
1917, 18sylnbir 331 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2019sseq2d 4015 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
2120biimpac 478 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
22 ss0 4401 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
23 prodeq1 15944 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 1)
24 prod0 15980 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 1 = 1
2523, 24eqtrdi 2792 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
2621, 22, 253syl 18 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
2714, 26pm2.61dan 812 . 2 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
28 fz1f1o 15747 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
29 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑓𝑗) → 1 = 1)
30 simpl 482 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
31 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
32 1cnd 11257 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
33 elfznn 13594 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑗 ∈ ℕ)
348fvconst2 7225 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3635adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3729, 30, 31, 32, 36fprod 15978 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)))
38 nnuz 12922 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
3938prodf1 15928 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)) = 1)
4039adantr 480 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)) = 1)
4137, 40eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4241ex 412 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 1 = 1))
4342exlimdv 1932 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 1 = 1))
4443imp 406 . . . 4 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4525, 44jaoi 857 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4628, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4727, 46jaoi 857 1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 847   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wne 2939  wss 3950  c0 4332  ifcif 4524  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   class class class wbr 5142   × cxp 5682  dom cdm 5684  1-1-ontowf1o 6559  cfv 6560  (class class class)co 7432  Fincfn 8986  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161  cn 12267  cz 12615  cuz 12879  ...cfz 13548  seqcseq 14043  chash 14370  cli 15521  cprod 15940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-prod 15941
This theorem is referenced by:  fprodex01  32828  etransclem35  46289
  Copyright terms: Public domain W3C validator