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Theorem coprmprod 16605
Description: The product of the elements of a sequence of pairwise coprime positive integers is coprime to a positive integer which is coprime to all integers of the sequence. (Contributed by AV, 18-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
coprmprod (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
Distinct variable groups:   π‘š,𝐹   π‘š,𝑀,𝑛   π‘š,𝑁,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem coprmprod
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 4002 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ βŠ† β„• ↔ βˆ… βŠ† β„•))
213anbi1d 1436 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ↔ (βˆ… βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)))
3 raleq 3316 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ βˆ… ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
4 difeq1 4110 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = (βˆ… βˆ– {π‘š}))
54raleqdv 3319 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
65raleqbi1dv 3327 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
72, 3, 63anbi123d 1432 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ↔ ((βˆ… βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)))
8 prodeq1 15859 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š))
98oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁))
109eqeq1d 2728 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ (βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
117, 10imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((βˆ… βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)))
12 sseq1 4002 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ βŠ† β„• ↔ 𝑦 βŠ† β„•))
13123anbi1d 1436 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ↔ (𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)))
14 raleq 3316 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
15 difeq1 4110 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = (𝑦 βˆ– {π‘š}))
1615raleqdv 3319 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
1716raleqbi1dv 3327 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
1813, 14, 173anbi123d 1432 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ↔ ((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)))
19 prodeq1 15859 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š))
2019oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁))
2120eqeq1d 2728 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
2218, 21imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)))
23 sseq1 4002 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘₯ βŠ† β„• ↔ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„•))
24233anbi1d 1436 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ↔ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)))
25 raleq 3316 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
26 difeq1 4110 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š}))
2726raleqdv 3319 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
2827raleqbi1dv 3327 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
2924, 25, 283anbi123d 1432 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ↔ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)))
30 prodeq1 15859 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š))
3130oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁))
3231eqeq1d 2728 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
3329, 32imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) ↔ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)))
34 sseq1 4002 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ βŠ† β„• ↔ 𝑀 βŠ† β„•))
35343anbi1d 1436 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ↔ (𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)))
36 raleq 3316 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
37 difeq1 4110 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = (𝑀 βˆ– {π‘š}))
3837raleqdv 3319 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
3938raleqbi1dv 3327 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
4035, 36, 393anbi123d 1432 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ↔ ((𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)))
41 prodeq1 15859 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š))
4241oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁))
4342eqeq1d 2728 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
4440, 43imbi12d 344 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)))
45 prod0 15893 . . . . . . . . . . 11 βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) = 1
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) = 1)
4746oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
48 nnz 12583 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
49 1gcd 16482 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (1 gcd 𝑁) = 1)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 gcd 𝑁) = 1)
5147, 50eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)
52513ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((βˆ… βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)
53523ad2ant1 1130 . . . . . 6 (((βˆ… βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)
54 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘š(((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
55 nfcv 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘š(πΉβ€˜π‘§)
56 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
57 unss 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ {𝑧} βŠ† β„•) ↔ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„•)
58 vex 3472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑧 ∈ V
5958snss 4784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ β„• ↔ {𝑧} βŠ† β„•)
6059biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧} βŠ† β„• β†’ 𝑧 ∈ β„•)
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ {𝑧} βŠ† β„•) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
6257, 61sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• β†’ 𝑧 ∈ β„•)
63623ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
6463adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
65 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
66 simpll3 1211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
67 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ {𝑧} βŠ† β„•) β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
6857, 67sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
69683ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
7170sselda 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ π‘š ∈ β„•)
7266, 71ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„•)
7372nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
74 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘§))
75 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
7662adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
7775, 76ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)
78773adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)
8079nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
8154, 55, 56, 64, 65, 73, 74, 80fprodsplitsn 15939 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
8281oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = ((βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)) gcd 𝑁))
8356, 72fprodnncl 15905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„•)
8483nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„€)
8579nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„€)
8684, 85zmulcld 12676 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„€)
87483ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8986, 88gcdcomd 16462 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ ((βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§))))
9082, 89eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§))))
9190ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)))))
92913ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)))))
9392com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)))))
9493adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)))))
9594imp 406 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§))))
96 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9796, 83, 793jca 1125 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•))
9897ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)))
99983ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)))
10099com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)))
101100adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)))
102101imp 406 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•))
10388, 84gcdcomd 16462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁))
104103ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁)))
1051043ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁)))
106105com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁)))
107106adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁)))
108107imp 406 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁))
10968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• β†’ 𝑦 βŠ† β„•))
110 idd 24 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•))
111 idd 24 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))
112109, 110, 1113anim123d 1439 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)))
113 ssun1 4167 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ {𝑧})
114 ssralv 4045 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
115113, 114mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
116 ssralv 4045 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
117113, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
118113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ 𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ {𝑧}))
119118ssdifd 4135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ– {π‘š}) βŠ† ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š}))
120 ssralv 4045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 βˆ– {π‘š}) βŠ† ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š}) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
122121ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
123117, 122syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
124112, 115, 1233anim123d 1439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ ((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)))
125124imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)))
126125imp31 417 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)
127108, 126eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = 1)
128 rpmulgcd 16505 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•) ∧ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = 1) β†’ (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)))
129102, 127, 128syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)))
130 vsnid 4660 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 ∈ {𝑧}
131130olci 863 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ {𝑧})
132 elun 4143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ {𝑧}))
133131, 132mpbir 230 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})
13474oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁))
135134eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑧 β†’ (((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁) = 1))
136135rspcv 3602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁) = 1))
137133, 136mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁) = 1))
138137imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁) = 1)
13978nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„€)
14087, 139gcdcomd 16462 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)) = ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁))
141140eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ ((𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1 ↔ ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁) = 1))
142141adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) β†’ ((𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1 ↔ ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁) = 1))
143138, 142mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) β†’ (𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1)
1441433adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1)
145144adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1)
14695, 129, 1453eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)
147146exp31 419 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)))
14811, 22, 33, 44, 53, 147findcard2s 9167 . . . . 5 (𝑀 ∈ Fin β†’ (((𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
1491483expd 1350 . . . 4 (𝑀 ∈ Fin β†’ ((𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))))
1501493expd 1350 . . 3 (𝑀 ∈ Fin β†’ (𝑀 βŠ† β„• β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))))))
1511503imp 1108 . 2 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))))
1521513imp 1108 1 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„•cn 12216  β„€cz 12562  βˆcprod 15855   gcd cgcd 16442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-prod 15856  df-dvds 16205  df-gcd 16443
This theorem is referenced by:  coprmproddvdslem  16606
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