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Theorem coprmprod 16542
Description: The product of the elements of a sequence of pairwise coprime positive integers is coprime to a positive integer which is coprime to all integers of the sequence. (Contributed by AV, 18-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
coprmprod (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
Distinct variable groups:   π‘š,𝐹   π‘š,𝑀,𝑛   π‘š,𝑁,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem coprmprod
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3970 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ βŠ† β„• ↔ βˆ… βŠ† β„•))
213anbi1d 1441 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ↔ (βˆ… βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)))
3 raleq 3308 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ βˆ… ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
4 difeq1 4076 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = (βˆ… βˆ– {π‘š}))
54raleqdv 3312 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
65raleqbi1dv 3306 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
72, 3, 63anbi123d 1437 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ↔ ((βˆ… βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)))
8 prodeq1 15797 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š))
98oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁))
109eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ (βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
117, 10imbi12d 345 . . . . . 6 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((βˆ… βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)))
12 sseq1 3970 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ βŠ† β„• ↔ 𝑦 βŠ† β„•))
13123anbi1d 1441 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ↔ (𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)))
14 raleq 3308 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
15 difeq1 4076 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = (𝑦 βˆ– {π‘š}))
1615raleqdv 3312 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
1716raleqbi1dv 3306 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
1813, 14, 173anbi123d 1437 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ↔ ((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)))
19 prodeq1 15797 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š))
2019oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁))
2120eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
2218, 21imbi12d 345 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)))
23 sseq1 3970 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘₯ βŠ† β„• ↔ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„•))
24233anbi1d 1441 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ↔ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)))
25 raleq 3308 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
26 difeq1 4076 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š}))
2726raleqdv 3312 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
2827raleqbi1dv 3306 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
2924, 25, 283anbi123d 1437 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ↔ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)))
30 prodeq1 15797 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š))
3130oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁))
3231eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
3329, 32imbi12d 345 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) ↔ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)))
34 sseq1 3970 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ βŠ† β„• ↔ 𝑀 βŠ† β„•))
35343anbi1d 1441 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ↔ (𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)))
36 raleq 3308 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
37 difeq1 4076 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (π‘₯ βˆ– {π‘š}) = (𝑀 βˆ– {π‘š}))
3837raleqdv 3312 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
3938raleqbi1dv 3306 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 ↔ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
4035, 36, 393anbi123d 1437 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) ↔ ((𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)))
41 prodeq1 15797 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) = βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š))
4241oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁))
4342eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
4440, 43imbi12d 345 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((((π‘₯ βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ π‘₯ βˆ€π‘› ∈ (π‘₯ βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ π‘₯ (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)))
45 prod0 15831 . . . . . . . . . . 11 βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) = 1
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) = 1)
4746oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
48 nnz 12525 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
49 1gcd 16419 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (1 gcd 𝑁) = 1)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ β„• β†’ (1 gcd 𝑁) = 1)
5147, 50eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ (βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)
52513ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((βˆ… βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)
53523ad2ant1 1134 . . . . . 6 (((βˆ… βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ βˆ… βˆ€π‘› ∈ (βˆ… βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ βˆ… (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)
54 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘š(((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦))
55 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘š(πΉβ€˜π‘§)
56 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ Fin)
57 unss 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ {𝑧} βŠ† β„•) ↔ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„•)
58 vex 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑧 ∈ V
5958snss 4747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ β„• ↔ {𝑧} βŠ† β„•)
6059biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ({𝑧} βŠ† β„• β†’ 𝑧 ∈ β„•)
6160adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ {𝑧} βŠ† β„•) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
6257, 61sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• β†’ 𝑧 ∈ β„•)
63623ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
6463adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
65 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
66 simpll3 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
67 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ {𝑧} βŠ† β„•) β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
6857, 67sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
69683ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
7069adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
7170sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ π‘š ∈ β„•)
7266, 71ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„•)
7372nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„‚)
74 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘š) = (πΉβ€˜π‘§))
75 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)
7662adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ 𝑧 ∈ β„•)
7775, 76ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)
78773adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)
7978adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)
8079nncnd 12174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
8154, 55, 56, 64, 65, 73, 74, 80fprodsplitsn 15877 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
8281oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = ((βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)) gcd 𝑁))
8356, 72fprodnncl 15843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„•)
8483nnzd 12531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„€)
8579nnzd 12531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„€)
8684, 85zmulcld 12618 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„€)
87483ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8887adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
8986, 88gcdcomd 16399 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ ((βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§))))
9082, 89eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§))))
9190ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)))))
92913ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)))))
9392com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)))))
9493adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§)))))
9594imp 408 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§))))
96 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
9796, 83, 793jca 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•))
9897ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)))
99983ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)))
10099com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)))
101100adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•)))
102101imp 408 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•))
10388, 84gcdcomd 16399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ (𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁))
104103ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁)))
1051043ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁)))
106105com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁)))
107106adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁)))
108107imp 408 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁))
10968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• β†’ 𝑦 βŠ† β„•))
110 idd 24 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•))
111 idd 24 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„•))
112109, 110, 1113anim123d 1444 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•)))
113 ssun1 4133 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ {𝑧})
114 ssralv 4011 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
115113, 114mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
116 ssralv 4011 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
117113, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
118113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ 𝑦 βŠ† (𝑦 βˆͺ {𝑧}))
119118ssdifd 4101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ– {π‘š}) βŠ† ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š}))
120 ssralv 4011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 βˆ– {π‘š}) βŠ† ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š}) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ π‘š ∈ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
122121ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
123117, 122syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1))
124112, 115, 1233anim123d 1444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ ((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)))
125124imim1d 82 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)))
126125imp31 419 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)
127108, 126eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = 1)
128 rpmulgcd 16442 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) ∈ β„• ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„•) ∧ (𝑁 gcd βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š)) = 1) β†’ (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)))
129102, 127, 128syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (𝑁 gcd (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) Β· (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)))
130 vsnid 4624 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧 ∈ {𝑧}
131130olci 865 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ {𝑧})
132 elun 4109 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 ∨ 𝑧 ∈ {𝑧}))
133131, 132mpbir 230 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})
13474oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁))
135134eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑧 β†’ (((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ↔ ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁) = 1))
136135rspcv 3576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁) = 1))
137133, 136mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 β†’ ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁) = 1))
138137imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁) = 1)
13978nnzd 12531 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„€)
14087, 139gcdcomd 16399 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)) = ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁))
141140eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ ((𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1 ↔ ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁) = 1))
142141adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) β†’ ((𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1 ↔ ((πΉβ€˜π‘§) gcd 𝑁) = 1))
143138, 142mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) β†’ (𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1)
1441433adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1)
145144adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (𝑁 gcd (πΉβ€˜π‘§)) = 1)
14695, 129, 1453eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) ∧ (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)) ∧ (((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1)) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)
147146exp31 421 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ ((((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑦 βˆ€π‘› ∈ (𝑦 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑦 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) β†’ ((((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆͺ {𝑧}) βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1)))
14811, 22, 33, 44, 53, 147findcard2s 9112 . . . . 5 (𝑀 ∈ Fin β†’ (((𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1) β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
1491483expd 1354 . . . 4 (𝑀 ∈ Fin β†’ ((𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„•) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))))
1501493expd 1354 . . 3 (𝑀 ∈ Fin β†’ (𝑀 βŠ† β„• β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))))))
1511503imp 1112 . 2 ((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐹:β„•βŸΆβ„• β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1 β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))))
1521513imp 1112 1 (((𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑀 βŠ† β„• ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ 𝐹:β„•βŸΆβ„• ∧ βˆ€π‘š ∈ 𝑀 ((πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1) β†’ (βˆ€π‘š ∈ 𝑀 βˆ€π‘› ∈ (𝑀 βˆ– {π‘š})((πΉβ€˜π‘š) gcd (πΉβ€˜π‘›)) = 1 β†’ (βˆπ‘š ∈ 𝑀 (πΉβ€˜π‘š) gcd 𝑁) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  1c1 11057   Β· cmul 11061  β„•cn 12158  β„€cz 12504  βˆcprod 15793   gcd cgcd 16379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-prod 15794  df-dvds 16142  df-gcd 16380
This theorem is referenced by:  coprmproddvdslem  16543
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