Theorem fprodcllem 15353

Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllem.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllem.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodcllem.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
fprodcllem.5	⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fprodcllem	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15311	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		prod0 15345	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
3	1, 2	eqtrdi 2809	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
4	3	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
5		fprodcllem.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
6	5	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → 1 ∈ 𝑆)
7	4, 6	eqeltrd 2852	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 = ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
8		fprodcllem.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ℂ)
10		fprodcllem.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
11	10	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
12		fprodcllem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
13	12	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
14		fprodcllem.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
15	14	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑆)
16		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
17	9, 11, 13, 15, 16	fprodcl2lem 15352	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)
18	7, 17	pm2.61dane 3038	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  (class class class)co 7150  Fincfn 8527  ℂcc 10573  1c1 10576   · cmul 10580  ∏cprod 15307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-prod 15308

This theorem is referenced by:  fprodcl  15354  fprodrecl  15355  fprodzcl  15356  fprodnncl  15357  fprodrpcl  15358  fprodnn0cl  15359  fprodcllemf  15360  risefaccllem  15415  fallfaccllem  15416