Theorem fprodexp 46879

Description: Positive integer exponentiation of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodexp.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fprodexp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodexp.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodexp	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodexp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 16120	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁))
2		prodeq1 16120	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3	2	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁))
4	1, 3	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁)))
5		prodeq1 16120	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁))
6		prodeq1 16120	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
7	6	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁))
8	5, 7	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)))
9		prodeq1 16120	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁))
10		prodeq1 16120	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
11	10	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁))
12	9, 11	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁)))
13		prodeq1 16120	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁))
14		prodeq1 16120	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
15	14	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁))
16	13, 15	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁)))
17		fprodexp.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12758	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
19		1exp 14274	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
20	18, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
21	20	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1↑𝑁))
22		prod0 16154	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = 1
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = 1)
24		prod0 16154	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
25	24	oveq1i 7461	. . . 4 ⊢ (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁) = (1↑𝑁)
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁) = (1↑𝑁))
27	21, 23, 26	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁))
28		fprodexp.kph	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
29		nfv 1949	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
30	28, 29	nfan 1934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)))
31		fprodexp.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
33		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
34		ssfi 9226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
35	32, 33, 34	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
36	35	adantrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
37		simpll 779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
38	33	sselda 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
39		fprodexp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
40	37, 38, 39	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
41	40	adantlrr 734	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	30, 36, 41	fprodclf 16203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
43		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝜑)
44		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
45	44	eldifad 4054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
46		nfv 1949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑧 ∈ 𝐴
47	28, 46	nfan 1934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)
48		nfcsb1v 3875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
49	48	nfel1 2942	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
50	47, 49	nfim 1931	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
51		eleq1w 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
52	51	anbi2d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
53		csbeq1a 3865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
54	53	eleq1d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
55	52, 54	imbi12d 347	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
56	50, 55, 39	chvarfv 2280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
57	43, 45, 56	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
58	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59		mulexp 14284	. . . . . . 7 ⊢ ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
60	42, 57, 58, 59	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
61	60	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁))
62	61	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁))
63		nfcv 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘↑
64		nfcv 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑁
65	48, 63, 64	nfov 7481	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)
66	44	eldifbd 4055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
67	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑁 ∈ ℕ0)
68	40, 67	expcld 14329	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
69	68	adantlrr 734	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
70	53	oveq1d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵↑𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁))
71	57, 58	expcld 14329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
72	30, 65, 36, 44, 66, 69, 70, 71	fprodsplitsn 16200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
73	72	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
74		oveq1 7458	. . . . . 6 ⊢ (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
75	74	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
76	73, 75	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
77	30, 48, 36, 44, 66, 41, 53, 57	fprodsplitsn 16200	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
78	77	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
79	78	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁))
80	62, 76, 79	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁))
81	80	ex 418	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁)))
82	4, 8, 12, 16, 27, 81, 31	findcard2d 9220	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147  ⦋csb 3851   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  (class class class)co 7451  Fincfn 9011  ℂcc 11237  1c1 11240   · cmul 11244  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ↑cexp 14244  ∏cprod 16116

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-prod 16117

This theorem is used by:  etransclem35  47552