Theorem fprodexp 46039

Description: Positive integer exponentiation of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodexp.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fprodexp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodexp.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodexp	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodexp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15863	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁))
2		prodeq1 15863	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3	2	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁))
4	1, 3	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁)))
5		prodeq1 15863	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁))
6		prodeq1 15863	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
7	6	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁))
8	5, 7	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)))
9		prodeq1 15863	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁))
10		prodeq1 15863	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
11	10	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁))
12	9, 11	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁)))
13		prodeq1 15863	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁))
14		prodeq1 15863	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
15	14	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁))
16	13, 15	eqeq12d 2755	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁)))
17		fprodexp.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12540	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
19		1exp 14044	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
21	20	eqcomd 2745	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1↑𝑁))
22		prod0 15899	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = 1
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = 1)
24		prod0 15899	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
25	24	oveq1i 7366	. . . 4 ⊢ (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁) = (1↑𝑁)
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁) = (1↑𝑁))
27	21, 23, 26	3eqtr4d 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁))
28		fprodexp.kph	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
29		nfv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
30	28, 29	nfan 1906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)))
31		fprodexp.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
33		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
34		ssfi 9097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
35	32, 33, 34	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
36	35	adantrr 723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
37		simpll 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
38	33	sselda 3915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
39		fprodexp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
40	37, 38, 39	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
41	40	adantlrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	30, 36, 41	fprodclf 15948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
43		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝜑)
44		simprr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
45	44	eldifad 3895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
46		nfv 1921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑧 ∈ 𝐴
47	28, 46	nfan 1906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)
48		nfcsb1v 3855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
49	48	nfel1 2917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
50	47, 49	nfim 1903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
51		eleq1w 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
52	51	anbi2d 636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
53		csbeq1a 3845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
54	53	eleq1d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
55	52, 54	imbi12d 345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
56	50, 55, 39	chvarfv 2252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
57	43, 45, 56	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
58	17	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59		mulexp 14054	. . . . . . 7 ⊢ ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
60	42, 57, 58, 59	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
61	60	eqcomd 2745	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁))
62	61	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁))
63		nfcv 2901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘↑
64		nfcv 2901	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑁
65	48, 63, 64	nfov 7386	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)
66	44	eldifbd 3896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
67	17	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑁 ∈ ℕ0)
68	40, 67	expcld 14099	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
69	68	adantlrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
70	53	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵↑𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁))
71	57, 58	expcld 14099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
72	30, 65, 36, 44, 66, 69, 70, 71	fprodsplitsn 15945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
73	72	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
74		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
75	74	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
76	73, 75	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
77	30, 48, 36, 44, 66, 41, 53, 57	fprodsplitsn 15945	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
78	77	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
79	78	oveq1d 7371	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁))
80	62, 76, 79	3eqtr4d 2784	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁))
81	80	ex 413	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁)))
82	4, 8, 12, 16, 27, 81, 31	findcard2d 9091	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547  Ⅎwnf 1790   ∈ wcel 2119  ⦋csb 3831   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4261  {csn 4555  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  ℂcc 11027  1c1 11030   · cmul 11034  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ↑cexp 14014  ∏cprod 15859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-prod 15860

This theorem is referenced by:  etransclem35  46712