Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodexp 45550
Description: Positive integer exponentiation of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodexp.kph 𝑘𝜑
fprodexp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fprodexp.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodexp.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodexp (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝐴 𝐵𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodexp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15940 . . 3 (𝑥 = ∅ → ∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁))
2 prodeq1 15940 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
32oveq1d 7446 . . 3 (𝑥 = ∅ → (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁))
41, 3eqeq12d 2751 . 2 (𝑥 = ∅ → (∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁)))
5 prodeq1 15940 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁))
6 prodeq1 15940 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘𝑦 𝐵)
76oveq1d 7446 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁))
85, 7eqeq12d 2751 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) ↔ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)))
9 prodeq1 15940 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁))
10 prodeq1 15940 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
1110oveq1d 7446 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁))
129, 11eqeq12d 2751 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁)))
13 prodeq1 15940 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑁))
14 prodeq1 15940 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
1514oveq1d 7446 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) = (∏𝑘𝐴 𝐵𝑁))
1613, 15eqeq12d 2751 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) ↔ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝐴 𝐵𝑁)))
17 fprodexp.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1817nn0zd 12637 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
19 1exp 14129 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
2120eqcomd 2741 . . 3 (𝜑 → 1 = (1↑𝑁))
22 prod0 15976 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁) = 1
2322a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁) = 1)
24 prod0 15976 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
2524oveq1i 7441 . . . 4 (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁) = (1↑𝑁)
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁) = (1↑𝑁))
2721, 23, 263eqtr4d 2785 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁))
28 fprodexp.kph . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
29 nfv 1912 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
3028, 29nfan 1897 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)))
31 fprodexp.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
33 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
34 ssfi 9212 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
3532, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
3635adantrr 717 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
37 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
3833sselda 3995 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
39 fprodexp.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
4140adantlrr 721 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
4230, 36, 41fprodclf 16025 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
43 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝜑)
44 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
4544eldifad 3975 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
46 nfv 1912 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑧𝐴
4728, 46nfan 1897 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑧𝐴)
48 nfcsb1v 3933 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
4948nfel1 2920 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
5047, 49nfim 1894 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
51 eleq1w 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧 → (𝑘𝐴𝑧𝐴))
5251anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑧 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑧𝐴)))
53 csbeq1a 3922 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
5453eleq1d 2824 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5552, 54imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑧 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
5650, 55, 39chvarfv 2238 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5743, 45, 56syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59 mulexp 14139 . . . . . . 7 ((∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
6042, 57, 58, 59syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
6160eqcomd 2741 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)) = ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁))
6261adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)) = ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁))
63 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑘
64 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑘𝑁
6548, 63, 64nfov 7461 . . . . . . 7 𝑘(𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)
6644eldifbd 3976 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
6717ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6840, 67expcld 14183 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
6968adantlrr 721 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
7053oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁))
7157, 58expcld 14183 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁) ∈ ℂ)
7230, 65, 36, 44, 66, 69, 70, 71fprodsplitsn 16022 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
7372adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
74 oveq1 7438 . . . . . 6 (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) → (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
7574adantl 481 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
7673, 75eqtrd 2775 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
7730, 48, 36, 44, 66, 41, 53, 57fprodsplitsn 16022 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
7877adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
7978oveq1d 7446 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁) = ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁))
8062, 76, 793eqtr4d 2785 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁))
8180ex 412 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁)))
824, 8, 12, 16, 27, 81, 31findcard2d 9205 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝐴 𝐵𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  csb 3908  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  1c1 11154   · cmul 11158  0cn0 12524  cz 12611  cexp 14099  cprod 15936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-prod 15937
This theorem is referenced by:  etransclem35  46225
  Copyright terms: Public domain W3C validator