Theorem fprodexp 43025

Description: Positive integer exponentiation of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodexp.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fprodexp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodexp.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodexp	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodexp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15547	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁))
2		prodeq1 15547	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3	2	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁))
4	1, 3	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁)))
5		prodeq1 15547	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁))
6		prodeq1 15547	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
7	6	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁))
8	5, 7	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)))
9		prodeq1 15547	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁))
10		prodeq1 15547	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
11	10	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁))
12	9, 11	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁)))
13		prodeq1 15547	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁))
14		prodeq1 15547	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
15	14	oveq1d 7270	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁))
16	13, 15	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁)))
17		fprodexp.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12353	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
19		1exp 13740	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
21	20	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1↑𝑁))
22		prod0 15581	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = 1
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = 1)
24		prod0 15581	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
25	24	oveq1i 7265	. . . 4 ⊢ (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁) = (1↑𝑁)
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁) = (1↑𝑁))
27	21, 23, 26	3eqtr4d 2788	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁))
28		fprodexp.kph	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
29		nfv 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
30	28, 29	nfan 1903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)))
31		fprodexp.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
33		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
34		ssfi 8918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
35	32, 33, 34	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
36	35	adantrr 713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
37		simpll 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
38	33	sselda 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
39		fprodexp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
40	37, 38, 39	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
41	40	adantlrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	30, 36, 41	fprodclf 15630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
43		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝜑)
44		simprr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
45	44	eldifad 3895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
46		nfv 1918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑧 ∈ 𝐴
47	28, 46	nfan 1903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)
48		nfcsb1v 3853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
49	48	nfel1 2922	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
50	47, 49	nfim 1900	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
51		eleq1w 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
52	51	anbi2d 628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
53		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
54	53	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
55	52, 54	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
56	50, 55, 39	chvarfv 2236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
57	43, 45, 56	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
58	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59		mulexp 13750	. . . . . . 7 ⊢ ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
60	42, 57, 58, 59	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
61	60	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁))
62	61	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁))
63		nfcv 2906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘↑
64		nfcv 2906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑁
65	48, 63, 64	nfov 7285	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)
66	44	eldifbd 3896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
67	17	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑁 ∈ ℕ0)
68	40, 67	expcld 13792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
69	68	adantlrr 717	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
70	53	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵↑𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁))
71	57, 58	expcld 13792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
72	30, 65, 36, 44, 66, 69, 70, 71	fprodsplitsn 15627	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
73	72	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
74		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
75	74	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
76	73, 75	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
77	30, 48, 36, 44, 66, 41, 53, 57	fprodsplitsn 15627	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
78	77	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
79	78	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁))
80	62, 76, 79	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁))
81	80	ex 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁)))
82	4, 8, 12, 16, 27, 81, 31	findcard2d 8911	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  ⦋csb 3828   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℂcc 10800  1c1 10803   · cmul 10807  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ↑cexp 13710  ∏cprod 15543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-prod 15544

This theorem is referenced by:  etransclem35  43700