Theorem fprodexp 42810

Description: Positive integer exponentiation of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodexp.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodexp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fprodexp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodexp.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodexp	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodexp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15471	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁))
2		prodeq1 15471	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3	2	oveq1d 7228	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁))
4	1, 3	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁)))
5		prodeq1 15471	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁))
6		prodeq1 15471	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
7	6	oveq1d 7228	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁))
8	5, 7	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)))
9		prodeq1 15471	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁))
10		prodeq1 15471	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
11	10	oveq1d 7228	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁))
12	9, 11	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁)))
13		prodeq1 15471	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁))
14		prodeq1 15471	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
15	14	oveq1d 7228	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁))
16	13, 15	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵↑𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁)))
17		fprodexp.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
18	17	nn0zd 12280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
19		1exp 13664	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
21	20	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1↑𝑁))
22		prod0 15505	. . . 4 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = 1
23	22	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = 1)
24		prod0 15505	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
25	24	oveq1i 7223	. . . 4 ⊢ (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁) = (1↑𝑁)
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁) = (1↑𝑁))
27	21, 23, 26	3eqtr4d 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵↑𝑁))
28		fprodexp.kph	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
29		nfv 1922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
30	28, 29	nfan 1907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)))
31		fprodexp.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
32	31	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
33		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
34		ssfi 8851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
35	32, 33, 34	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
36	35	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
37		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
38	33	sselda 3901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
39		fprodexp.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
40	37, 38, 39	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
41	40	adantlrr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
42	30, 36, 41	fprodclf 15554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
43		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝜑)
44		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
45	44	eldifad 3878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
46		nfv 1922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑧 ∈ 𝐴
47	28, 46	nfan 1907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)
48		nfcsb1v 3836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
49	48	nfel1 2920	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
50	47, 49	nfim 1904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
51		eleq1w 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑧 ∈ 𝐴))
52	51	anbi2d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
53		csbeq1a 3825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
54	53	eleq1d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
55	52, 54	imbi12d 348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
56	50, 55, 39	chvarfv 2238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
57	43, 45, 56	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
58	17	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59		mulexp 13674	. . . . . . 7 ⊢ ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
60	42, 57, 58, 59	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
61	60	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁))
62	61	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁))
63		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘↑
64		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑁
65	48, 63, 64	nfov 7243	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)
66	44	eldifbd 3879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
67	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑁 ∈ ℕ0)
68	40, 67	expcld 13716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
69	68	adantlrr 721	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
70	53	oveq1d 7228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑧 → (𝐵↑𝑁) = (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁))
71	57, 58	expcld 13716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁) ∈ ℂ)
72	30, 65, 36, 44, 66, 69, 70, 71	fprodsplitsn 15551	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
73	72	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
74		oveq1 7220	. . . . . 6 ⊢ (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
75	74	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
76	73, 75	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) · (⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵↑𝑁)))
77	30, 48, 36, 44, 66, 41, 53, 57	fprodsplitsn 15551	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
78	77	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵))
79	78	oveq1d 7228	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)↑𝑁))
80	62, 76, 79	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ ∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁))
81	80	ex 416	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵↑𝑁) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵↑𝑁)))
82	4, 8, 12, 16, 27, 81, 31	findcard2d 8844	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵↑𝑁) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543  Ⅎwnf 1791   ∈ wcel 2110  ⦋csb 3811   ∖ cdif 3863   ∪ cun 3864   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237  {csn 4541  (class class class)co 7213  Fincfn 8626  ℂcc 10727  1c1 10730   · cmul 10734  ℕ₀cn0 12090  ℤcz 12176  ↑cexp 13635  ∏cprod 15467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-prod 15468

This theorem is referenced by:  etransclem35  43485