MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodmodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodmodd 15941
Description: If all factors of two finite products are equal modulo ๐‘€, the products are equal modulo ๐‘€. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodmodd.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodmodd.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
fprodmodd.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
fprodmodd.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
fprodmodd.p ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€))
Assertion
Ref Expression
fprodmodd (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ mod ๐‘€))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodmodd
Dummy variables ๐‘– ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15853 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต)
21oveq1d 7424 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต mod ๐‘€))
3 prodeq1 15853 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ)
43oveq1d 7424 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ mod ๐‘€))
52, 4eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ mod ๐‘€)))
6 prodeq1 15853 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต)
76oveq1d 7424 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€))
8 prodeq1 15853 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ)
98oveq1d 7424 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€))
107, 9eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)))
11 prodeq1 15853 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘–}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต)
1211oveq1d 7424 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘–}) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต mod ๐‘€))
13 prodeq1 15853 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘–}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ)
1413oveq1d 7424 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘–}) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ mod ๐‘€))
1512, 14eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘–}) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ mod ๐‘€)))
16 prodeq1 15853 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
1716oveq1d 7424 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต mod ๐‘€))
18 prodeq1 15853 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
1918oveq1d 7424 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ mod ๐‘€))
2017, 19eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ mod ๐‘€)))
21 prod0 15887 . . . . 5 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = 1
2221a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = 1)
2322oveq1d 7424 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต mod ๐‘€) = (1 mod ๐‘€))
24 prod0 15887 . . . . 5 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ = 1
2524eqcomi 2742 . . . 4 1 = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ
2625oveq1i 7419 . . 3 (1 mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ mod ๐‘€)
2723, 26eqtrdi 2789 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ mod ๐‘€))
28 nfv 1918 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)))
29 nfcsb1v 3919 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต
30 ssfi 9173 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘ฆ โŠ† ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
3130ex 414 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin))
32 fprodmodd.a . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
3331, 32syl11 33 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin))
3433adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin))
3534impcom 409 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
36 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))
3736adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))
38 eldifn 4128 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ) โ†’ ยฌ ๐‘– โˆˆ ๐‘ฆ)
3938adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)) โ†’ ยฌ ๐‘– โˆˆ ๐‘ฆ)
4039adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘– โˆˆ ๐‘ฆ)
41 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐œ‘)
42 ssel 3976 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
4342adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
4443adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
4544imp 408 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
46 fprodmodd.b . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4741, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4847zcnd 12667 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
49 csbeq1a 3908 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
50 eldifi 4127 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐ด)
5150adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐ด)
5246ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„ค)
53 rspcsbela 4436 . . . . . . . . 9 ((๐‘– โˆˆ ๐ด โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„ค)
5451, 52, 53syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„ค)
5554zcnd 12667 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
5628, 29, 35, 37, 40, 48, 49, 55fprodsplitsn 15933 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
5756oveq1d 7424 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต mod ๐‘€) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต) mod ๐‘€))
5857adantr 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต mod ๐‘€) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต) mod ๐‘€))
5935, 47fprodzcl 15898 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โˆˆ โ„ค)
6059adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โˆˆ โ„ค)
61 fprodmodd.c . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6241, 45, 61syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6335, 62fprodzcl 15898 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6463adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6554adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„ค)
6661ralrimiva 3147 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ โˆˆ โ„ค)
67 rspcsbela 4436 . . . . . . 7 ((๐‘– โˆˆ ๐ด โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6851, 66, 67syl2anr 598 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6968adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„ค)
70 fprodmodd.m . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
7170nnrpd 13014 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
7271adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
7372adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
74 simpr 486 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€))
75 fprodmodd.p . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€))
7675ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€))
77 rspsbca 3875 . . . . . . . . 9 ((๐‘– โˆˆ ๐ด โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ [๐‘– / ๐‘˜](๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€))
7851, 76, 77syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ [๐‘– / ๐‘˜](๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€))
79 vex 3479 . . . . . . . . 9 ๐‘– โˆˆ V
80 sbceqg 4410 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ V โ†’ ([๐‘– / ๐‘˜](๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€) โ†” โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ต mod ๐‘€) = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ถ mod ๐‘€)))
8179, 80mp1i 13 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ([๐‘– / ๐‘˜](๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€) โ†” โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ต mod ๐‘€) = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ถ mod ๐‘€)))
8278, 81mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ต mod ๐‘€) = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ถ mod ๐‘€))
83 csbov1g 7454 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ต mod ๐‘€) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต mod ๐‘€))
8483elv 3481 . . . . . . 7 โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ต mod ๐‘€) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต mod ๐‘€)
85 csbov1g 7454 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ถ mod ๐‘€) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ mod ๐‘€))
8685elv 3481 . . . . . . 7 โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ถ mod ๐‘€) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ mod ๐‘€)
8782, 84, 863eqtr3g 2796 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต mod ๐‘€) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ mod ๐‘€))
8887adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต mod ๐‘€) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ mod ๐‘€))
8960, 64, 65, 69, 73, 74, 88modmul12d 13890 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต) mod ๐‘€) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ) mod ๐‘€))
90 nfcsb1v 3919 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ
9162zcnd 12667 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
92 csbeq1a 3908 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)
9368zcnd 12667 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9428, 90, 35, 37, 40, 91, 92, 93fprodsplitsn 15933 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))
9594oveq1d 7424 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ mod ๐‘€) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ) mod ๐‘€))
9695eqcomd 2739 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ) mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ mod ๐‘€))
9796adantr 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ) mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ mod ๐‘€))
9858, 89, 973eqtrd 2777 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ mod ๐‘€))
9998ex 414 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ mod ๐‘€)))
1005, 10, 15, 20, 27, 99, 32findcard2d 9166 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ mod ๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  Vcvv 3475  [wsbc 3778  โฆ‹csb 3894   โˆ– cdif 3946   โˆช cun 3947   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  {csn 4629  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  1c1 11111   ยท cmul 11115  โ„•cn 12212  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974   mod cmo 13834  โˆcprod 15849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  26873
  Copyright terms: Public domain W3C validator