Theorem fprodmodd 15707

Description: If all factors of two finite products are equal modulo 𝑀, the products are equal modulo 𝑀. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodmodd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodmodd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fprodmodd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
fprodmodd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fprodmodd.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
fprodmodd	⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodmodd

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15619	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀))
3		prodeq1 15619	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
4	3	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀))
5	2, 4	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀)))
6		prodeq1 15619	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
7	6	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀))
8		prodeq1 15619	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶)
9	8	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀))
10	7, 9	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)))
11		prodeq1 15619	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵)
12	11	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀))
13		prodeq1 15619	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶)
14	13	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
15	12, 14	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀)))
16		prodeq1 15619	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
17	16	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀))
18		prodeq1 15619	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
19	18	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))
20	17, 19	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀)))
21		prod0 15653	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1)
23	22	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
24		prod0 15653	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
25	24	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶
26	25	oveq1i 7285	. . 3 ⊢ (1 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀)
27	23, 26	eqtrdi 2794	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀))
28		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)))
29		nfcsb1v 3857	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
30		ssfi 8956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
31	30	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑦 ⊆ 𝐴 → 𝑦 ∈ Fin))
32		fprodmodd.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
33	31, 32	syl11 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝜑 → 𝑦 ∈ Fin))
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝜑 → 𝑦 ∈ Fin))
35	34	impcom 408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
36		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
37	36	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
38		eldifn 4062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑦)
39	38	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑦)
40	39	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑦)
41		simpll 764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
42		ssel 3914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
45	44	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
46		fprodmodd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
47	41, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
48	47	zcnd 12427	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
49		csbeq1a 3846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
50		eldifi 4061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑖 ∈ 𝐴)
51	50	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑖 ∈ 𝐴)
52	46	ralrimiva 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
53		rspcsbela 4369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
54	51, 52, 53	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
55	54	zcnd 12427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
56	28, 29, 35, 37, 40, 48, 49, 55	fprodsplitsn 15699	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
57	56	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀))
58	57	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀))
59	35, 47	fprodzcl 15664	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
60	59	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
61		fprodmodd.c	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
62	41, 45, 61	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℤ)
63	35, 62	fprodzcl 15664	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 ∈ ℤ)
64	63	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 ∈ ℤ)
65	54	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
66	61	ralrimiva 3103	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℤ)
67		rspcsbela 4369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℤ) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
68	51, 66, 67	syl2anr 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
69	68	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
70		fprodmodd.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
71	70	nnrpd 12770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
72	71	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℝ+)
73	72	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
74		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀))
75		fprodmodd.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
76	75	ralrimiva 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
77		rspsbca 3813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀)) → [𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
78	51, 76, 77	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → [𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
79		vex 3436	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑖 ∈ V
80		sbceqg 4343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀) ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀)))
81	79, 80	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ([𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀) ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀)))
82	78, 81	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀))
83		csbov1g 7320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ V → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀))
84	83	elv 3438	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀)
85		csbov1g 7320	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ V → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
86	85	elv 3438	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀)
87	82, 84, 86	3eqtr3g 2801	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
88	87	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
89	60, 64, 65, 69, 73, 74, 88	modmul12d 13645	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀))
90		nfcsb1v 3857	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶
91	62	zcnd 12427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℂ)
92		csbeq1a 3846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐶 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶)
93	68	zcnd 12427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
94	28, 90, 35, 37, 40, 91, 92, 93	fprodsplitsn 15699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶))
95	94	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀))
96	95	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
97	96	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
98	58, 89, 97	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
99	98	ex 413	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀)))
100	5, 10, 15, 20, 27, 99, 32	findcard2d 8949	1 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3432  [wsbc 3716  ⦋csb 3832   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  1c1 10872   · cmul 10876  ℕcn 11973  ℤcz 12319  ℝ⁺crp 12730   mod cmo 13589  ∏cprod 15615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  26518