MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodmodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodmodd 15885
Description: If all factors of two finite products are equal modulo ๐‘€, the products are equal modulo ๐‘€. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodmodd.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
fprodmodd.b ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
fprodmodd.c ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
fprodmodd.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
fprodmodd.p ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€))
Assertion
Ref Expression
fprodmodd (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ mod ๐‘€))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘€   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘˜)   ๐ถ(๐‘˜)

Proof of Theorem fprodmodd
Dummy variables ๐‘– ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15797 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต)
21oveq1d 7373 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต mod ๐‘€))
3 prodeq1 15797 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ)
43oveq1d 7373 . . 3 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ mod ๐‘€))
52, 4eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ mod ๐‘€)))
6 prodeq1 15797 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต)
76oveq1d 7373 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€))
8 prodeq1 15797 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ)
98oveq1d 7373 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€))
107, 9eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)))
11 prodeq1 15797 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘–}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต)
1211oveq1d 7373 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘–}) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต mod ๐‘€))
13 prodeq1 15797 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘–}) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ)
1413oveq1d 7373 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘–}) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ mod ๐‘€))
1512, 14eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ โˆช {๐‘–}) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ mod ๐‘€)))
16 prodeq1 15797 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
1716oveq1d 7373 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต mod ๐‘€))
18 prodeq1 15797 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ = โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
1918oveq1d 7373 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ mod ๐‘€))
2017, 19eqeq12d 2749 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฅ ๐ถ mod ๐‘€) โ†” (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ mod ๐‘€)))
21 prod0 15831 . . . . 5 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = 1
2221a1i 11 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต = 1)
2322oveq1d 7373 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต mod ๐‘€) = (1 mod ๐‘€))
24 prod0 15831 . . . . 5 โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ = 1
2524eqcomi 2742 . . . 4 1 = โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ
2625oveq1i 7368 . . 3 (1 mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ mod ๐‘€)
2723, 26eqtrdi 2789 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ โˆ… ๐ถ mod ๐‘€))
28 nfv 1918 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜(๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)))
29 nfcsb1v 3881 . . . . . . 7 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต
30 ssfi 9120 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘ฆ โŠ† ๐ด) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
3130ex 414 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ Fin โ†’ (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin))
32 fprodmodd.a . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
3331, 32syl11 33 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin))
3433adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin))
3534impcom 409 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ Fin)
36 simpr 486 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))
3736adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))
38 eldifn 4088 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ) โ†’ ยฌ ๐‘– โˆˆ ๐‘ฆ)
3938adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)) โ†’ ยฌ ๐‘– โˆˆ ๐‘ฆ)
4039adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ยฌ ๐‘– โˆˆ ๐‘ฆ)
41 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐œ‘)
42 ssel 3938 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
4342adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
4443adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด))
4544imp 408 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐ด)
46 fprodmodd.b . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4741, 45, 46syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4847zcnd 12613 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
49 csbeq1a 3870 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ๐ต = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต)
50 eldifi 4087 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐ด)
5150adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐ด)
5246ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„ค)
53 rspcsbela 4396 . . . . . . . . 9 ((๐‘– โˆˆ ๐ด โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„ค)
5451, 52, 53syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„ค)
5554zcnd 12613 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„‚)
5628, 29, 35, 37, 40, 48, 49, 55fprodsplitsn 15877 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต))
5756oveq1d 7373 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต mod ๐‘€) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต) mod ๐‘€))
5857adantr 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต mod ๐‘€) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต) mod ๐‘€))
5935, 47fprodzcl 15842 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โˆˆ โ„ค)
6059adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต โˆˆ โ„ค)
61 fprodmodd.c . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6241, 45, 61syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6335, 62fprodzcl 15842 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6463adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6554adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„ค)
6661ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ โˆˆ โ„ค)
67 rspcsbela 4396 . . . . . . 7 ((๐‘– โˆˆ ๐ด โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6851, 66, 67syl2anr 598 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„ค)
6968adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„ค)
70 fprodmodd.m . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
7170nnrpd 12960 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
7271adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
7372adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
74 simpr 486 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€))
75 fprodmodd.p . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€))
7675ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€))
77 rspsbca 3837 . . . . . . . . 9 ((๐‘– โˆˆ ๐ด โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ [๐‘– / ๐‘˜](๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€))
7851, 76, 77syl2anr 598 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ [๐‘– / ๐‘˜](๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€))
79 vex 3448 . . . . . . . . 9 ๐‘– โˆˆ V
80 sbceqg 4370 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ V โ†’ ([๐‘– / ๐‘˜](๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€) โ†” โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ต mod ๐‘€) = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ถ mod ๐‘€)))
8179, 80mp1i 13 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ([๐‘– / ๐‘˜](๐ต mod ๐‘€) = (๐ถ mod ๐‘€) โ†” โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ต mod ๐‘€) = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ถ mod ๐‘€)))
8278, 81mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ต mod ๐‘€) = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ถ mod ๐‘€))
83 csbov1g 7403 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ต mod ๐‘€) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต mod ๐‘€))
8483elv 3450 . . . . . . 7 โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ต mod ๐‘€) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต mod ๐‘€)
85 csbov1g 7403 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ V โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ถ mod ๐‘€) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ mod ๐‘€))
8685elv 3450 . . . . . . 7 โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ(๐ถ mod ๐‘€) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ mod ๐‘€)
8782, 84, 863eqtr3g 2796 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต mod ๐‘€) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ mod ๐‘€))
8887adantr 482 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต mod ๐‘€) = (โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ mod ๐‘€))
8960, 64, 65, 69, 73, 74, 88modmul12d 13836 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ต) mod ๐‘€) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ) mod ๐‘€))
90 nfcsb1v 3881 . . . . . . . 8 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ
9162zcnd 12613 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
92 csbeq1a 3870 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ๐ถ = โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ)
9368zcnd 12613 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9428, 90, 35, 37, 40, 91, 92, 93fprodsplitsn 15877 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ))
9594oveq1d 7373 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ mod ๐‘€) = ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ) mod ๐‘€))
9695eqcomd 2739 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ) mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ mod ๐‘€))
9796adantr 482 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ ยท โฆ‹๐‘– / ๐‘˜โฆŒ๐ถ) mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ mod ๐‘€))
9858, 89, 973eqtrd 2777 . . 3 (((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โˆง (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€)) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ mod ๐‘€))
9998ex 414 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โŠ† ๐ด โˆง ๐‘– โˆˆ (๐ด โˆ– ๐‘ฆ))) โ†’ ((โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ฆ ๐ถ mod ๐‘€) โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ (๐‘ฆ โˆช {๐‘–})๐ถ mod ๐‘€)))
1005, 10, 15, 20, 27, 99, 32findcard2d 9113 1 (๐œ‘ โ†’ (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต mod ๐‘€) = (โˆ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ mod ๐‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3444  [wsbc 3740  โฆ‹csb 3856   โˆ– cdif 3908   โˆช cun 3909   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283  {csn 4587  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  1c1 11057   ยท cmul 11061  โ„•cn 12158  โ„คcz 12504  โ„+crp 12920   mod cmo 13780  โˆcprod 15793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-prod 15794
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem5a  26734
  Copyright terms: Public domain W3C validator