Theorem fprodmodd 16090

Description: If all factors of two finite products are equal modulo 𝑀, the products are equal modulo 𝑀. (Contributed by AV, 7-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodmodd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodmodd.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fprodmodd.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
fprodmodd.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fprodmodd.p	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))

Assertion

Ref	Expression
fprodmodd	⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodmodd

Dummy variables 𝑖 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 16000	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2	1	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀))
3		prodeq1 16000	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
4	3	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀))
5	2, 4	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀)))
6		prodeq1 16000	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵)
7	6	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀))
8		prodeq1 16000	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶)
9	8	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀))
10	7, 9	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)))
11		prodeq1 16000	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵)
12	11	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀))
13		prodeq1 16000	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶)
14	13	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
15	12, 14	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑖}) → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀)))
16		prodeq1 16000	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
17	16	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀))
18		prodeq1 16000	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
19	18	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))
20	17, 19	eqeq12d 2778	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑥 𝐶 mod 𝑀) ↔ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀)))
21		prod0 16036	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1)
23	22	oveq1d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (1 mod 𝑀))
24		prod0 16036	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
25	24	eqcomi 2771	. . . 4 ⊢ 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶
26	25	oveq1i 7427	. . 3 ⊢ (1 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀)
27	23, 26	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 mod 𝑀))
28		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)))
29		nfcsb1v 3874	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵
30		ssfi 9171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
31	30	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝑦 ⊆ 𝐴 → 𝑦 ∈ Fin))
32		fprodmodd.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
33	31, 32	syl11 34	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝜑 → 𝑦 ∈ Fin))
34	33	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝜑 → 𝑦 ∈ Fin))
35	34	impcom 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
36		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
37	36	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))
38		eldifn 4082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑦)
39	38	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑦)
40	39	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ¬ 𝑖 ∈ 𝑦)
41		simpll 779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝜑)
42		ssel 3928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
43	42	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
44	43	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (𝑘 ∈ 𝑦 → 𝑘 ∈ 𝐴))
45	44	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝑘 ∈ 𝐴)
46		fprodmodd.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
47	41, 45, 46	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
48	47	zcnd 12730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
49		csbeq1a 3864	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐵 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵)
50		eldifi 4081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦) → 𝑖 ∈ 𝐴)
51	50	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦)) → 𝑖 ∈ 𝐴)
52	46	ralrimiva 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
53		rspcsbela 4399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
54	51, 52, 53	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
55	54	zcnd 12730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
56	28, 29, 35, 37, 40, 48, 49, 55	fprodsplitsn 16082	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵))
57	56	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀))
58	57	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀))
59	35, 47	fprodzcl 16047	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
60	59	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
61		fprodmodd.c	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℤ)
62	41, 45, 61	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℤ)
63	35, 62	fprodzcl 16047	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 ∈ ℤ)
64	63	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 ∈ ℤ)
65	54	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℤ)
66	61	ralrimiva 3156	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℤ)
67		rspcsbela 4399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℤ) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
68	51, 66, 67	syl2anr 609	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
69	68	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℤ)
70		fprodmodd.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
71	70	nnrpd 13088	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
72	71	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℝ+)
73	72	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
74		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀))
75		fprodmodd.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
76	75	ralrimiva 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
77		rspsbca 3830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀)) → [𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
78	51, 76, 77	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → [𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀))
79		vex 3457	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑖 ∈ V
80		sbceqg 4373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ V → ([𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀) ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀)))
81	79, 80	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ([𝑖 / 𝑘](𝐵 mod 𝑀) = (𝐶 mod 𝑀) ↔ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀)))
82	78, 81	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀))
83		csbov1g 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ V → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀))
84	83	elv 3458	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀)
85		csbov1g 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ V → ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
86	85	elv 3458	. . . . . . 7 ⊢ ⦋𝑖 / 𝑘⦌(𝐶 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀)
87	82, 84, 86	3eqtr3g 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
88	87	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵 mod 𝑀) = (⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 mod 𝑀))
89	60, 64, 65, 69, 73, 74, 88	modmul12d 13993	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐵) mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀))
90		nfcsb1v 3874	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶
91	62	zcnd 12730	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑦) → 𝐶 ∈ ℂ)
92		csbeq1a 3864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐶 = ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶)
93	68	zcnd 12730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
94	28, 90, 35, 37, 40, 91, 92, 93	fprodsplitsn 16082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶))
95	94	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀) = ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀))
96	95	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
97	96	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 · ⦋𝑖 / 𝑘⦌𝐶) mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
98	58, 89, 97	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) ∧ (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀))
99	98	ex 418	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑖 ∈ (𝐴 ∖ 𝑦))) → ((∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝑦 𝐶 mod 𝑀) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑖})𝐶 mod 𝑀)))
100	5, 10, 15, 20, 27, 99, 32	findcard2d 9165	1 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 mod 𝑀) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 mod 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453  [wsbc 3742  ⦋csb 3850   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  1c1 11129   · cmul 11133  ℕcn 12261  ℤcz 12619  ℝ⁺crp 13046   mod cmo 13934  ∏cprod 15996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-mod 13935  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-prod 15997

This theorem is used by:  gausslemma2dlem5a  27614