Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodn0 15328
 Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodn0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fprodn0 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15258 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2 prod0 15292 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
31, 2eqtrdi 2852 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 1)
4 ax-1ne0 10599 . . . . 5 1 ≠ 0
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 1 ≠ 0)
63, 5eqnetrd 3057 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
76a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
8 prodfc 15294 . . . . . . 7 𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ∏𝑘𝐴 𝐵
9 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑓𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
10 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
11 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
12 fprodn0.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1312fmpttd 6860 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1413adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1514ffvelrnda 6832 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
16 f1of 6594 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
1711, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
18 fvco3 6741 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
1917, 18sylan 583 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
209, 10, 11, 15, 19fprod 15290 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
218, 20syl5eqr 2850 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
22 nnuz 12273 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2310, 22eleqtrdi 2903 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘1))
24 fco 6509 . . . . . . . . 9 (((𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
2514, 17, 24syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
2625ffvelrnda 6832 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ∈ ℂ)
27 fvco3 6741 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)))
2817, 27sylan 583 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)))
2916ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
3029adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
31 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
32 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝑓𝑚)
33 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝜑
34 nfcsb1v 3855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵
3534nfel1 2974 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3633, 35nfim 1897 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
37 csbeq1a 3845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑓𝑚) → 𝐵 = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
3837eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑓𝑚) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
3938imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑓𝑚) → ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
4012expcom 417 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝐴 → (𝜑𝐵 ∈ ℂ))
4132, 36, 39, 40vtoclgaf 3524 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
4241impcom 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
43 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
4443fvmpts 6752 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑚) ∈ 𝐴(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
4531, 42, 44syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
46 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘0
4734, 46nfne 3090 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0
4833, 47nfim 1897 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)
4937neeq1d 3049 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑓𝑚) → (𝐵 ≠ 0 ↔ (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0))
5049imbi2d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑓𝑚) → ((𝜑𝐵 ≠ 0) ↔ (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)))
51 fprodn0.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
5251expcom 417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴 → (𝜑𝐵 ≠ 0))
5332, 48, 50, 52vtoclgaf 3524 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0))
5453impcom 411 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)
5545, 54eqnetrd 3057 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5630, 55sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴)))) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5756anassrs 471 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5828, 57eqnetrd 3057 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ≠ 0)
5923, 26, 58prodfn0 15245 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)) ≠ 0)
6021, 59eqnetrd 3057 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
6160expr 460 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
6261exlimdv 1934 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
6362expimpd 457 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
64 fprodn0.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
65 fz1f1o 15062 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
6664, 65syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
677, 63, 66mpjaod 857 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ⦋csb 3831  ∅c0 4246   ↦ cmpt 5113   ∘ ccom 5527  ⟶wf 6324  –1-1-onto→wf1o 6327  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Fincfn 8496  ℂcc 10528  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535  ℕcn 11629  ℤ≥cuz 12235  ...cfz 12889  seqcseq 13368  ♯chash 13690  ∏cprod 15254 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-prod 15255 This theorem is referenced by:  fallfacval4  15392  absprodnn  15955  bcc0  41031  mccllem  42226  dvnprodlem2  42576  etransclem15  42878  etransclem25  42888  etransclem31  42894  etransclem32  42895  etransclem33  42896  etransclem34  42897
 Copyright terms: Public domain W3C validator