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Theorem fprodn0 15867
Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fprodn0.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
fprodn0.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 β‰  0)
Assertion
Ref Expression
fprodn0 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem fprodn0
Dummy variables 𝑓 π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15797 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
2 prod0 15831 . . . . 5 βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 1
31, 2eqtrdi 2789 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = 1)
4 ax-1ne0 11125 . . . . 5 1 β‰  0
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ 1 β‰  0)
63, 5eqnetrd 3008 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0)
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0))
8 prodfc 15833 . . . . . . 7 βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
9 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
10 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
11 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
12 fprodn0.2 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1312fmpttd 7064 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
1413adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
1514ffvelcdmda 7036 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
16 f1of 6785 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
1711, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
18 fvco3 6941 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
1917, 18sylan 581 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
209, 10, 11, 15, 19fprod 15829 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = (seq1( Β· , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
218, 20eqtr3id 2787 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = (seq1( Β· , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
22 nnuz 12811 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2310, 22eleqtrdi 2844 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
24 fco 6693 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2514, 17, 24syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2625ffvelcdmda 7036 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
27 fvco3 6941 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘š)))
2817, 27sylan 581 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘š)))
2916ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴)
3029adantll 713 . . . . . . . . . 10 ((((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴)
31 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴)
32 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜(π‘“β€˜π‘š)
33 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜πœ‘
34 nfcsb1v 3881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜β¦‹(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅
3534nfel1 2920 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜β¦‹(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚
3633, 35nfim 1900 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜(πœ‘ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
37 csbeq1a 3870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘š) β†’ 𝐡 = ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅)
3837eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘š) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
3938imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘š) β†’ ((πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ (πœ‘ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)))
4012expcom 415 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
4132, 36, 39, 40vtoclgaf 3532 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴 β†’ (πœ‘ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
4241impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴) β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
43 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
4443fvmpts 6952 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴 ∧ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘š)) = ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅)
4531, 42, 44syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘š)) = ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅)
46 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜0
4734, 46nfne 3042 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β¦‹(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ β‰  0
4833, 47nfim 1900 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(πœ‘ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ β‰  0)
4937neeq1d 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘š) β†’ (𝐡 β‰  0 ↔ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ β‰  0))
5049imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘š) β†’ ((πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  0) ↔ (πœ‘ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ β‰  0)))
51 fprodn0.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 β‰  0)
5251expcom 415 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  0))
5332, 48, 50, 52vtoclgaf 3532 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴 β†’ (πœ‘ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ β‰  0))
5453impcom 409 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴) β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ β‰  0)
5545, 54eqnetrd 3008 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘š)) β‰  0)
5630, 55sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄)))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘š)) β‰  0)
5756anassrs 469 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘š)) β‰  0)
5828, 57eqnetrd 3008 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘š) β‰  0)
5923, 26, 58prodfn0 15784 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (seq1( Β· , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) β‰  0)
6021, 59eqnetrd 3008 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0)
6160expr 458 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0))
6261exlimdv 1937 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0))
6362expimpd 455 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0))
64 fprodn0.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
65 fz1f1o 15600 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
6664, 65syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
677, 63, 66mpjaod 859 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  β¦‹csb 3856  βˆ…c0 4283   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  β„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   Β· cmul 11061  β„•cn 12158  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  seqcseq 13912  β™―chash 14236  βˆcprod 15793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-prod 15794
This theorem is referenced by:  fallfacval4  15931  absprodnn  16499  bcc0  42708  mccllem  43924  dvnprodlem2  44274  etransclem15  44576  etransclem25  44586  etransclem31  44592  etransclem32  44593  etransclem33  44594  etransclem34  44595
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