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Theorem fprodn0 15927
Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
fprodn0.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
fprodn0.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 β‰  0)
Assertion
Ref Expression
fprodn0 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hint:   𝐡(π‘˜)

Proof of Theorem fprodn0
Dummy variables 𝑓 π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15857 . . . . 5 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡)
2 prod0 15891 . . . . 5 βˆπ‘˜ ∈ βˆ… 𝐡 = 1
31, 2eqtrdi 2786 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = 1)
4 ax-1ne0 11181 . . . . 5 1 β‰  0
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 = βˆ… β†’ 1 β‰  0)
63, 5eqnetrd 3006 . . 3 (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0)
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0))
8 prodfc 15893 . . . . . . 7 βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡
9 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (π‘š = (π‘“β€˜π‘›) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
10 simprl 767 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•)
11 simprr 769 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)
12 fprodn0.2 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1312fmpttd 7115 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
1413adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚)
1514ffvelcdmda 7085 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
16 f1of 6832 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
1711, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴)
18 fvco3 6989 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
1917, 18sylan 578 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘›) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘›)))
209, 10, 11, 15, 19fprod 15889 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘š ∈ 𝐴 ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜π‘š) = (seq1( Β· , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
218, 20eqtr3id 2784 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 = (seq1( Β· , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)))
22 nnuz 12869 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2310, 22eleqtrdi 2841 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (β™―β€˜π΄) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
24 fco 6740 . . . . . . . . 9 (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2514, 17, 24syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓):(1...(β™―β€˜π΄))βŸΆβ„‚)
2625ffvelcdmda 7085 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘š) ∈ β„‚)
27 fvco3 6989 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))⟢𝐴 ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘š)))
2817, 27sylan 578 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘š) = ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘š)))
2916ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴)
3029adantll 710 . . . . . . . . . 10 ((((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴)
31 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴)
32 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜(π‘“β€˜π‘š)
33 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜πœ‘
34 nfcsb1v 3917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜β¦‹(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅
3534nfel1 2917 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜β¦‹(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚
3633, 35nfim 1897 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜(πœ‘ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
37 csbeq1a 3906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘š) β†’ 𝐡 = ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅)
3837eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘š) β†’ (𝐡 ∈ β„‚ ↔ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
3938imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘š) β†’ ((πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚) ↔ (πœ‘ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)))
4012expcom 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚))
4132, 36, 39, 40vtoclgaf 3564 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴 β†’ (πœ‘ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚))
4241impcom 406 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴) β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚)
43 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
4443fvmpts 7000 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴 ∧ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘š)) = ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅)
4531, 42, 44syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘š)) = ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅)
46 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜0
4734, 46nfne 3041 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜β¦‹(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ β‰  0
4833, 47nfim 1897 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘˜(πœ‘ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ β‰  0)
4937neeq1d 2998 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘š) β†’ (𝐡 β‰  0 ↔ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ β‰  0))
5049imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (π‘“β€˜π‘š) β†’ ((πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  0) ↔ (πœ‘ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ β‰  0)))
51 fprodn0.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 β‰  0)
5251expcom 412 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  0))
5332, 48, 50, 52vtoclgaf 3564 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴 β†’ (πœ‘ β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ β‰  0))
5453impcom 406 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴) β†’ ⦋(π‘“β€˜π‘š) / π‘˜β¦Œπ΅ β‰  0)
5545, 54eqnetrd 3006 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘“β€˜π‘š) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘š)) β‰  0)
5630, 55sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄)))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘š)) β‰  0)
5756anassrs 466 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)β€˜(π‘“β€˜π‘š)) β‰  0)
5828, 57eqnetrd 3006 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) ∧ π‘š ∈ (1...(β™―β€˜π΄))) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓)β€˜π‘š) β‰  0)
5923, 26, 58prodfn0 15844 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ (seq1( Β· , ((π‘˜ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∘ 𝑓))β€˜(β™―β€˜π΄)) β‰  0)
6021, 59eqnetrd 3006 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0)
6160expr 455 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0))
6261exlimdv 1934 . . 3 ((πœ‘ ∧ (β™―β€˜π΄) ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0))
6362expimpd 452 . 2 (πœ‘ β†’ (((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0))
64 fprodn0.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ Fin)
65 fz1f1o 15660 . . 3 (𝐴 ∈ Fin β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
6664, 65syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ ((β™―β€˜π΄) ∈ β„• ∧ βˆƒπ‘“ 𝑓:(1...(β™―β€˜π΄))–1-1-onto→𝐴)))
677, 63, 66mpjaod 856 1 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β‰  0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  β¦‹csb 3892  βˆ…c0 4321   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„•cn 12216  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  seqcseq 13970  β™―chash 14294  βˆcprod 15853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-prod 15854
This theorem is referenced by:  fallfacval4  15991  absprodnn  16559  bcc0  43401  mccllem  44611  dvnprodlem2  44961  etransclem15  45263  etransclem25  45273  etransclem31  45279  etransclem32  45280  etransclem33  45281  etransclem34  45282
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