MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodn0 15964
Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodn0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fprodn0 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 15894 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2 prod0 15928 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
31, 2eqtrdi 2781 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 1)
4 ax-1ne0 11214 . . . . 5 1 ≠ 0
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 1 ≠ 0)
63, 5eqnetrd 2997 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
76a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
8 prodfc 15930 . . . . . . 7 𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ∏𝑘𝐴 𝐵
9 fveq2 6896 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑓𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
10 simprl 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
11 simprr 771 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
12 fprodn0.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1312fmpttd 7124 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1413adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1514ffvelcdmda 7093 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
16 f1of 6838 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
1711, 16syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
18 fvco3 6996 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
1917, 18sylan 578 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
209, 10, 11, 15, 19fprod 15926 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
218, 20eqtr3id 2779 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
22 nnuz 12903 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2310, 22eleqtrdi 2835 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘1))
24 fco 6747 . . . . . . . . 9 (((𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
2514, 17, 24syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
2625ffvelcdmda 7093 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ∈ ℂ)
27 fvco3 6996 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)))
2817, 27sylan 578 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)))
2916ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
3029adantll 712 . . . . . . . . . 10 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
31 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
32 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝑓𝑚)
33 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝜑
34 nfcsb1v 3914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵
3534nfel1 2908 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3633, 35nfim 1891 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
37 csbeq1a 3903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑓𝑚) → 𝐵 = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
3837eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑓𝑚) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
3938imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑓𝑚) → ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
4012expcom 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝐴 → (𝜑𝐵 ∈ ℂ))
4132, 36, 39, 40vtoclgaf 3555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
4241impcom 406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
43 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
4443fvmpts 7007 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑚) ∈ 𝐴(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
4531, 42, 44syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
46 nfcv 2891 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘0
4734, 46nfne 3032 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0
4833, 47nfim 1891 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)
4937neeq1d 2989 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑓𝑚) → (𝐵 ≠ 0 ↔ (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0))
5049imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑓𝑚) → ((𝜑𝐵 ≠ 0) ↔ (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)))
51 fprodn0.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
5251expcom 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴 → (𝜑𝐵 ≠ 0))
5332, 48, 50, 52vtoclgaf 3555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0))
5453impcom 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)
5545, 54eqnetrd 2997 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5630, 55sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴)))) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5756anassrs 466 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5828, 57eqnetrd 2997 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ≠ 0)
5923, 26, 58prodfn0 15881 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)) ≠ 0)
6021, 59eqnetrd 2997 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
6160expr 455 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
6261exlimdv 1928 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
6362expimpd 452 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
64 fprodn0.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
65 fz1f1o 15697 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
6664, 65syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
677, 63, 66mpjaod 858 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2929  csb 3889  c0 4322  cmpt 5232  ccom 5682  wf 6545  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  cc 11143  0cc0 11145  1c1 11146   · cmul 11150  cn 12250  cuz 12860  ...cfz 13524  seqcseq 14007  chash 14330  cprod 15890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14331  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-clim 15473  df-prod 15891
This theorem is referenced by:  fallfacval4  16028  absprodnn  16597  bcc0  43921  mccllem  45125  dvnprodlem2  45475  etransclem15  45777  etransclem25  45787  etransclem31  45793  etransclem32  45794  etransclem33  45795  etransclem34  45796
  Copyright terms: Public domain W3C validator