Theorem fprodn0 15998

Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodn0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodn0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodn0	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15926	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		prod0 15962	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
3	1, 2	eqtrdi 2785	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
4		ax-1ne0 11207	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 1 ≠ 0)
6	3, 5	eqnetrd 2998	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
8		prodfc 15964	. . . . . . 7 ⊢ ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
9		fveq2 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
10		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
11		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
12		fprodn0.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	fmpttd 7116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
15	14	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
16		f1of 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
17	11, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
18		fvco3 6989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
19	17, 18	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
20	9, 10, 11, 15, 19	fprod 15960	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
21	8, 20	eqtr3id 2783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
22		nnuz 12904	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23	10, 22	eleqtrdi 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
24		fco 6741	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
25	14, 17, 24	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
26	25	ffvelcdmda 7085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ∈ ℂ)
27		fvco3 6989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)))
28	17, 27	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)))
29	16	ffvelcdmda 7085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
30	29	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
32		nfcv 2897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑓‘𝑚)
33		nfv 1913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
34		nfcsb1v 3905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵
35	34	nfel1 2914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
36	33, 35	nfim 1895	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
37		csbeq1a 3895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → 𝐵 = ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
39	38	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → ((𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
40	12	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ))
41	32, 36, 39, 40	vtoclgaf 3560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
42	41	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
43		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
44	43	fvmpts 7000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 ∧ ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) = ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵)
45	31, 42, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) = ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵)
46		nfcv 2897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘0
47	34, 46	nfne 3032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0
48	33, 47	nfim 1895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0)
49	37	neeq1d 2990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → (𝐵 ≠ 0 ↔ ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0))
50	49	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → ((𝜑 → 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0)))
51		fprodn0.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
52	51	expcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝐵 ≠ 0))
53	32, 48, 50, 52	vtoclgaf 3560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0))
54	53	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0)
55	45, 54	eqnetrd 2998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) ≠ 0)
56	30, 55	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴)))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) ≠ 0)
57	56	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) ≠ 0)
58	28, 57	eqnetrd 2998	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ≠ 0)
59	23, 26, 58	prodfn0 15913	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)) ≠ 0)
60	21, 59	eqnetrd 2998	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
61	60	expr 456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
62	61	exlimdv 1932	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
63	62	expimpd 453	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
64		fprodn0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
65		fz1f1o 15729	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
66	64, 65	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
67	7, 63, 66	mpjaod 860	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ⦋csb 3881  ∅c0 4315   ↦ cmpt 5207   ∘ ccom 5671  ⟶wf 6538  –1-1-onto→wf1o 6541  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8968  ℂcc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   · cmul 11143  ℕcn 12249  ℤ_≥cuz 12861  ...cfz 13530  seqcseq 14025  ♯chash 14352  ∏cprod 15922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-rp 13018  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14353  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-clim 15507  df-prod 15923

This theorem is referenced by:  fallfacval4  16062  absprodnn  16638  bcc0  44304  mccllem  45557  dvnprodlem2  45907  etransclem15  46209  etransclem25  46219  etransclem31  46225  etransclem32  46226  etransclem33  46227  etransclem34  46228