MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodn0 14915
Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodn0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fprodn0 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 14845 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2 prod0 14879 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
31, 2syl6eq 2821 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 1)
4 ax-1ne0 10210 . . . . 5 1 ≠ 0
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 1 ≠ 0)
63, 5eqnetrd 3010 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
76a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
8 prodfc 14881 . . . . . . 7 𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ∏𝑘𝐴 𝐵
9 fveq2 6333 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑓𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
10 simprl 754 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
11 simprr 756 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
12 fprodn0.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
13 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1412, 13fmptd 6529 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1514adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1615ffvelrnda 6504 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
17 f1of 6279 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
1811, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
19 fvco3 6419 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
2018, 19sylan 569 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
219, 10, 11, 16, 20fprod 14877 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
228, 21syl5eqr 2819 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
23 nnuz 11929 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2410, 23syl6eleq 2860 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘1))
25 fco 6199 . . . . . . . . 9 (((𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
2615, 18, 25syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
2726ffvelrnda 6504 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ∈ ℂ)
28 fvco3 6419 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)))
2918, 28sylan 569 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)))
3017ffvelrnda 6504 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
3130adantll 693 . . . . . . . . . 10 ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
32 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
33 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝑓𝑚)
34 nfv 1995 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝜑
35 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵
3635nfel1 2928 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3734, 36nfim 1977 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
38 csbeq1a 3691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑓𝑚) → 𝐵 = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
3938eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑓𝑚) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
4039imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑓𝑚) → ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
4112expcom 398 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝐴 → (𝜑𝐵 ∈ ℂ))
4233, 37, 40, 41vtoclgaf 3422 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
4342impcom 394 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
4413fvmpts 6429 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑚) ∈ 𝐴(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
4532, 43, 44syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
46 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘0
4735, 46nfne 3043 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0
4834, 47nfim 1977 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)
4938neeq1d 3002 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑓𝑚) → (𝐵 ≠ 0 ↔ (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0))
5049imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑓𝑚) → ((𝜑𝐵 ≠ 0) ↔ (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)))
51 fprodn0.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
5251expcom 398 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴 → (𝜑𝐵 ≠ 0))
5333, 48, 50, 52vtoclgaf 3422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0))
5453impcom 394 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)
5545, 54eqnetrd 3010 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5631, 55sylan2 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴)))) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5756anassrs 453 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5829, 57eqnetrd 3010 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ≠ 0)
5924, 27, 58prodfn0 14832 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)) ≠ 0)
6022, 59eqnetrd 3010 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
6160expr 444 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
6261exlimdv 2013 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
6362expimpd 441 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
64 fprodn0.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
65 fz1f1o 14648 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
6664, 65syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
677, 63, 66mpjaod 849 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  csb 3682  c0 4063  cmpt 4864  ccom 5254  wf 6026  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  (class class class)co 6795  Fincfn 8112  cc 10139  0cc0 10141  1c1 10142   · cmul 10146  cn 11225  cuz 11892  ...cfz 12532  seqcseq 13007  chash 13320  cprod 14841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-oadd 7720  df-er 7899  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-sup 8507  df-oi 8574  df-card 8968  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-n0 11499  df-z 11584  df-uz 11893  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-prod 14842
This theorem is referenced by:  fallfacval4  14979  absprodnn  15538  bcc0  39065  mccllem  40344  dvnprodlem2  40677  etransclem15  40980  etransclem25  40990  etransclem31  40996  etransclem32  40997  etransclem33  40998  etransclem34  40999
  Copyright terms: Public domain W3C validator