Theorem fprodn0 15942

Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodn0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodn0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodn0	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15870	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		prod0 15906	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
3	1, 2	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
4		ax-1ne0 11105	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 1 ≠ 0)
6	3, 5	eqnetrd 3002	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
8		prodfc 15908	. . . . . . 7 ⊢ ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
9		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
10		simprl 776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
11		simprr 778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
12		fprodn0.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	fmpttd 7063	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
14	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
15	14	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
16		f1of 6774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
17	11, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
18		fvco3 6934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
19	17, 18	sylan 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
20	9, 10, 11, 15, 19	fprod 15904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
21	8, 20	eqtr3id 2789	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
22		nnuz 12825	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23	10, 22	eleqtrdi 2850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
24		fco 6686	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
25	14, 17, 24	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
26	25	ffvelcdmda 7032	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ∈ ℂ)
27		fvco3 6934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)))
28	17, 27	sylan 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)))
29	16	ffvelcdmda 7032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
30	29	adantll 720	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
31		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
32		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑓‘𝑚)
33		nfv 1921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
34		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵
35	34	nfel1 2918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
36	33, 35	nfim 1903	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
37		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → 𝐵 = ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
39	38	imbi2d 341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → ((𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
40	12	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ))
41	32, 36, 39, 40	vtoclgaf 3522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
42	41	impcom 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
43		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
44	43	fvmpts 6946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 ∧ ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) = ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵)
45	31, 42, 44	syl2anc 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) = ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵)
46		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘0
47	34, 46	nfne 3036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0
48	33, 47	nfim 1903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0)
49	37	neeq1d 2994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → (𝐵 ≠ 0 ↔ ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0))
50	49	imbi2d 341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → ((𝜑 → 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0)))
51		fprodn0.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
52	51	expcom 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝐵 ≠ 0))
53	32, 48, 50, 52	vtoclgaf 3522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0))
54	53	impcom 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0)
55	45, 54	eqnetrd 3002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) ≠ 0)
56	30, 55	sylan2 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴)))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) ≠ 0)
57	56	anassrs 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) ≠ 0)
58	28, 57	eqnetrd 3002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ≠ 0)
59	23, 26, 58	prodfn0 15857	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)) ≠ 0)
60	21, 59	eqnetrd 3002	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
61	60	expr 457	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
62	61	exlimdv 1940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
63	62	expimpd 454	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
64		fprodn0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
65		fz1f1o 15670	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
66	64, 65	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
67	7, 63, 66	mpjaod 866	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ⦋csb 3838  ∅c0 4268   ↦ cmpt 5160   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6488  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Fincfn 8890  ℂcc 11034  0cc0 11036  1c1 11037   · cmul 11041  ℕcn 12172  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459  seqcseq 13961  ♯chash 14290  ∏cprod 15866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-prod 15867

This theorem is referenced by:  fallfacval4  16006  absprodnn  16585  bcc0  44791  mccllem  46049  dvnprodlem2  46397  etransclem15  46699  etransclem25  46709  etransclem31  46715  etransclem32  46716  etransclem33  46717  etransclem34  46718