Theorem fprodn0 15883

Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodn0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodn0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodn0	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15811	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		prod0 15847	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
3	1, 2	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
4		ax-1ne0 11072	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 1 ≠ 0)
6	3, 5	eqnetrd 2995	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
8		prodfc 15849	. . . . . . 7 ⊢ ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
9		fveq2 6822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
10		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
11		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
12		fprodn0.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	fmpttd 7048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
15	14	ffvelcdmda 7017	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
16		f1of 6763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
17	11, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
18		fvco3 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
19	17, 18	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
20	9, 10, 11, 15, 19	fprod 15845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
21	8, 20	eqtr3id 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
22		nnuz 12772	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23	10, 22	eleqtrdi 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
24		fco 6675	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
25	14, 17, 24	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
26	25	ffvelcdmda 7017	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ∈ ℂ)
27		fvco3 6921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)))
28	17, 27	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)))
29	16	ffvelcdmda 7017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
30	29	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
31		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
32		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑓‘𝑚)
33		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
34		nfcsb1v 3874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵
35	34	nfel1 2911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
36	33, 35	nfim 1897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
37		csbeq1a 3864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → 𝐵 = ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
39	38	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → ((𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
40	12	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ))
41	32, 36, 39, 40	vtoclgaf 3531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
42	41	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
43		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
44	43	fvmpts 6932	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 ∧ ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) = ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵)
45	31, 42, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) = ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵)
46		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘0
47	34, 46	nfne 3029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0
48	33, 47	nfim 1897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0)
49	37	neeq1d 2987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → (𝐵 ≠ 0 ↔ ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0))
50	49	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → ((𝜑 → 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0)))
51		fprodn0.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
52	51	expcom 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝐵 ≠ 0))
53	32, 48, 50, 52	vtoclgaf 3531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0))
54	53	impcom 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0)
55	45, 54	eqnetrd 2995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) ≠ 0)
56	30, 55	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴)))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) ≠ 0)
57	56	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) ≠ 0)
58	28, 57	eqnetrd 2995	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ≠ 0)
59	23, 26, 58	prodfn0 15798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)) ≠ 0)
60	21, 59	eqnetrd 2995	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
61	60	expr 456	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
62	61	exlimdv 1934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
63	62	expimpd 453	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
64		fprodn0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
65		fz1f1o 15614	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
66	64, 65	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
67	7, 63, 66	mpjaod 860	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ⦋csb 3850  ∅c0 4283   ↦ cmpt 5172   ∘ ccom 5620  ⟶wf 6477  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  ℂcc 11001  0cc0 11003  1c1 11004   · cmul 11008  ℕcn 12122  ℤ_≥cuz 12729  ...cfz 13404  seqcseq 13905  ♯chash 14234  ∏cprod 15807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-prod 15808

This theorem is referenced by:  fallfacval4  15947  absprodnn  16526  bcc0  44372  mccllem  45636  dvnprodlem2  45984  etransclem15  46286  etransclem25  46296  etransclem31  46302  etransclem32  46303  etransclem33  46304  etransclem34  46305