Theorem fprodn0 15873

Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodn0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodn0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodn0	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodeq1 15803	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2		prod0 15837	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
3	1, 2	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 1)
4		ax-1ne0 11129	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → 1 ≠ 0)
6	3, 5	eqnetrd 3007	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
8		prodfc 15839	. . . . . . 7 ⊢ ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
9		fveq2 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = (𝑓‘𝑛) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
10		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
11		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
12		fprodn0.2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	12	fmpttd 7068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
14	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
15	14	ffvelcdmda 7040	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
16		f1of 6789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
17	11, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
18		fvco3 6945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
19	17, 18	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑛)))
20	9, 10, 11, 15, 19	fprod 15835	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑚 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑚) = (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
21	8, 20	eqtr3id 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
22		nnuz 12815	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
23	10, 22	eleqtrdi 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘1))
24		fco 6697	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
25	14, 17, 24	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶ℂ)
26	25	ffvelcdmda 7040	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ∈ ℂ)
27		fvco3 6945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴 ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)))
28	17, 27	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)))
29	16	ffvelcdmda 7040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
30	29	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
31		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴)
32		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑓‘𝑚)
33		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
34		nfcsb1v 3883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵
35	34	nfel1 2918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
36	33, 35	nfim 1899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
37		csbeq1a 3872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → 𝐵 = ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵)
38	37	eleq1d 2817	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
39	38	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → ((𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
40	12	expcom 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ))
41	32, 36, 39, 40	vtoclgaf 3534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
42	41	impcom 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
43		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
44	43	fvmpts 6956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 ∧ ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) = ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵)
45	31, 42, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) = ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵)
46		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑘0
47	34, 46	nfne 3042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑘⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0
48	33, 47	nfim 1899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0)
49	37	neeq1d 2999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → (𝐵 ≠ 0 ↔ ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0))
50	49	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑚) → ((𝜑 → 𝐵 ≠ 0) ↔ (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0)))
51		fprodn0.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
52	51	expcom 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝜑 → 𝐵 ≠ 0))
53	32, 48, 50, 52	vtoclgaf 3534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑 → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0))
54	53	impcom 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ⦋(𝑓‘𝑚) / 𝑘⦌𝐵 ≠ 0)
55	45, 54	eqnetrd 3007	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓‘𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) ≠ 0)
56	30, 55	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴)))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) ≠ 0)
57	56	anassrs 468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘(𝑓‘𝑚)) ≠ 0)
58	28, 57	eqnetrd 3007	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ≠ 0)
59	23, 26, 58	prodfn0 15790	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → (seq1( · , ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)) ≠ 0)
60	21, 59	eqnetrd 3007	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)
61	60	expr 457	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
62	61	exlimdv 1936	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
63	62	expimpd 454	. 2 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0))
64		fprodn0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
65		fz1f1o 15606	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
66	64, 65	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
67	7, 63, 66	mpjaod 858	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ⦋csb 3858  ∅c0 4287   ↦ cmpt 5193   ∘ ccom 5642  ⟶wf 6497  –1-1-onto→wf1o 6500  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  ℂcc 11058  0cc0 11060  1c1 11061   · cmul 11065  ℕcn 12162  ℤ_≥cuz 12772  ...cfz 13434  seqcseq 13916  ♯chash 14240  ∏cprod 15799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12925  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-clim 15382  df-prod 15800

This theorem is referenced by:  fallfacval4  15937  absprodnn  16505  bcc0  42742  mccllem  43958  dvnprodlem2  44308  etransclem15  44610  etransclem25  44620  etransclem31  44626  etransclem32  44627  etransclem33  44628  etransclem34  44629