Theorem distspace 24342

Description: A set 𝑋 together with a (distance) function 𝐷 which is a pseudometric is a distance space (according to E. Deza, M.M. Deza: "Dictionary of Distances", Elsevier, 2006), i.e. a (base) set 𝑋 equipped with a distance 𝐷, which is a mapping of two elements of the base set to the (extended) reals and which is nonnegative, symmetric and equal to 0 if the two elements are equal. (Contributed by AV, 15-Oct-2021.) (Revised by AV, 5-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
distspace	⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐴) = 0) ∧ (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))))

Proof of Theorem distspace

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psmetf 24332	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
2	1	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
3		psmet0 24334	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
4	3	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐴) = 0)
5	2, 4	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐴) = 0))
6		psmetge0 24338	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐴𝐷𝐵))
7		psmetsym 24336	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))
8	5, 6, 7	jca32 515	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ (𝐴𝐷𝐴) = 0) ∧ (0 ≤ (𝐴𝐷𝐵) ∧ (𝐴𝐷𝐵) = (𝐵𝐷𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294  PsMetcpsmet 21366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-2 12327  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-psmet 21374

This theorem is referenced by: (None)