MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustid 24283
Description: The identity diagonal is included in all elements of the filter base generated by the metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustid ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐴,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustid
Dummy variables 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 6009 . . 3 Rel ( I β†Ύ 𝑋)
21a1i 11 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ Rel ( I β†Ύ 𝑋))
3 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘ž ∈ V
43brresi 5989 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝( I β†Ύ 𝑋)π‘ž ↔ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 I π‘ž))
5 df-br 5148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝( I β†Ύ 𝑋)π‘ž ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋))
63ideq 5851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 I π‘ž ↔ 𝑝 = π‘ž)
76anbi2i 621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 I π‘ž) ↔ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 = π‘ž))
84, 5, 73bitr3i 300 . . . . . . . . . . . . 13 (βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) ↔ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 = π‘ž))
98biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) β†’ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 = π‘ž))
109ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 = π‘ž))
1110simprd 494 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 𝑝 = π‘ž)
12 df-ov 7414 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐷𝑝) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
13 opeq2 4873 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = π‘ž β†’ βŸ¨π‘, π‘βŸ© = βŸ¨π‘, π‘žβŸ©)
1413fveq2d 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = π‘ž β†’ (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©))
1512, 14eqtrid 2782 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = π‘ž β†’ (𝑝𝐷𝑝) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©))
1611, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (𝑝𝐷𝑝) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©))
17 simplll 771 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
1810simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 𝑝 ∈ 𝑋)
19 psmet0 24034 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ (𝑝𝐷𝑝) = 0)
2017, 18, 19syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (𝑝𝐷𝑝) = 0)
2116, 20eqtr3d 2772 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) = 0)
22 0xr 11265 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
23 rpxr 12987 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
24 rpgt0 12990 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ž)
25 lbico1 13382 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 0 < π‘Ž) β†’ 0 ∈ (0[,)π‘Ž))
2622, 23, 24, 25mp3an2i 1464 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ (0[,)π‘Ž))
2726adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ (0[,)π‘Ž))
2821, 27eqeltrd 2831 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž))
29 psmetf 24032 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
3029ffund 6720 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ Fun 𝐷)
3130ad3antrrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ Fun 𝐷)
3211, 18eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ π‘ž ∈ 𝑋)
3318, 32opelxpd 5714 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
3429fdmd 6727 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
3534ad3antrrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
3633, 35eleqtrrd 2834 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ dom 𝐷)
37 fvimacnv 7053 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐷 ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ dom 𝐷) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3831, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3928, 38mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4039adantr 479 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
41 simpr 483 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4240, 41eleqtrrd 2834 . . . 4 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴)
43 simplr 765 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐹)
44 metust.1 . . . . . . 7 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4544metustel 24279 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
4645ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
4743, 46mpbid 231 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4842, 47r19.29a 3160 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴)
4948ex 411 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ (βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴))
502, 49relssdv 5787 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947  βŸ¨cop 4633   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  Rel wrel 5680  Fun wfun 6536  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  β„*cxr 11251   < clt 11252  β„+crp 12978  [,)cico 13330  PsMetcpsmet 21128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-addrcl 11173  ax-rnegex 11183  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-rp 12979  df-ico 13334  df-psmet 21136
This theorem is referenced by:  metustfbas  24286  metust  24287
  Copyright terms: Public domain W3C validator