MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustid 24062
Description: The identity diagonal is included in all elements of the filter base generated by the metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustid ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐴,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustid
Dummy variables 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 6010 . . 3 Rel ( I β†Ύ 𝑋)
21a1i 11 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ Rel ( I β†Ύ 𝑋))
3 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘ž ∈ V
43brresi 5990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝( I β†Ύ 𝑋)π‘ž ↔ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 I π‘ž))
5 df-br 5149 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝( I β†Ύ 𝑋)π‘ž ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋))
63ideq 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 I π‘ž ↔ 𝑝 = π‘ž)
76anbi2i 623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 I π‘ž) ↔ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 = π‘ž))
84, 5, 73bitr3i 300 . . . . . . . . . . . . 13 (βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) ↔ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 = π‘ž))
98biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) β†’ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 = π‘ž))
109ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 = π‘ž))
1110simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 𝑝 = π‘ž)
12 df-ov 7411 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐷𝑝) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
13 opeq2 4874 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = π‘ž β†’ βŸ¨π‘, π‘βŸ© = βŸ¨π‘, π‘žβŸ©)
1413fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = π‘ž β†’ (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©))
1512, 14eqtrid 2784 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = π‘ž β†’ (𝑝𝐷𝑝) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©))
1611, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (𝑝𝐷𝑝) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©))
17 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
1810simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 𝑝 ∈ 𝑋)
19 psmet0 23813 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ (𝑝𝐷𝑝) = 0)
2017, 18, 19syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (𝑝𝐷𝑝) = 0)
2116, 20eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) = 0)
22 0xr 11260 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
23 rpxr 12982 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
24 rpgt0 12985 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ž)
25 lbico1 13377 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 0 < π‘Ž) β†’ 0 ∈ (0[,)π‘Ž))
2622, 23, 24, 25mp3an2i 1466 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ (0[,)π‘Ž))
2726adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ (0[,)π‘Ž))
2821, 27eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž))
29 psmetf 23811 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
3029ffund 6721 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ Fun 𝐷)
3130ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ Fun 𝐷)
3211, 18eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ π‘ž ∈ 𝑋)
3318, 32opelxpd 5715 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
3429fdmd 6728 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
3534ad3antrrr 728 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
3633, 35eleqtrrd 2836 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ dom 𝐷)
37 fvimacnv 7054 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐷 ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ dom 𝐷) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3831, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3928, 38mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4039adantr 481 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
41 simpr 485 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4240, 41eleqtrrd 2836 . . . 4 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴)
43 simplr 767 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐹)
44 metust.1 . . . . . . 7 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4544metustel 24058 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
4645ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
4743, 46mpbid 231 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4842, 47r19.29a 3162 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴)
4948ex 413 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ (βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴))
502, 49relssdv 5788 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   β€œ cima 5679  Rel wrel 5681  Fun wfun 6537  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  β„*cxr 11246   < clt 11247  β„+crp 12973  [,)cico 13325  PsMetcpsmet 20927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-addrcl 11170  ax-rnegex 11180  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-rp 12974  df-ico 13329  df-psmet 20935
This theorem is referenced by:  metustfbas  24065  metust  24066
  Copyright terms: Public domain W3C validator