MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metustid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metustid 23933
Description: The identity diagonal is included in all elements of the filter base generated by the metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
Assertion
Ref Expression
metustid ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž   𝐴,π‘Ž   𝐹,π‘Ž

Proof of Theorem metustid
Dummy variables 𝑝 π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 5970 . . 3 Rel ( I β†Ύ 𝑋)
21a1i 11 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ Rel ( I β†Ύ 𝑋))
3 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . 15 π‘ž ∈ V
43brresi 5950 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝( I β†Ύ 𝑋)π‘ž ↔ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 I π‘ž))
5 df-br 5110 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝( I β†Ύ 𝑋)π‘ž ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋))
63ideq 5812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 I π‘ž ↔ 𝑝 = π‘ž)
76anbi2i 624 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 I π‘ž) ↔ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 = π‘ž))
84, 5, 73bitr3i 301 . . . . . . . . . . . . 13 (βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) ↔ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 = π‘ž))
98biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) β†’ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 = π‘ž))
109ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (𝑝 ∈ 𝑋 ∧ 𝑝 = π‘ž))
1110simprd 497 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 𝑝 = π‘ž)
12 df-ov 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐷𝑝) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
13 opeq2 4835 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = π‘ž β†’ βŸ¨π‘, π‘βŸ© = βŸ¨π‘, π‘žβŸ©)
1413fveq2d 6850 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = π‘ž β†’ (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©))
1512, 14eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = π‘ž β†’ (𝑝𝐷𝑝) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©))
1611, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (𝑝𝐷𝑝) = (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©))
17 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
1810simpld 496 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 𝑝 ∈ 𝑋)
19 psmet0 23684 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑝 ∈ 𝑋) β†’ (𝑝𝐷𝑝) = 0)
2017, 18, 19syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (𝑝𝐷𝑝) = 0)
2116, 20eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) = 0)
22 0xr 11210 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
23 rpxr 12932 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
24 rpgt0 12935 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ 0 < π‘Ž)
25 lbico1 13327 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 0 < π‘Ž) β†’ 0 ∈ (0[,)π‘Ž))
2622, 23, 24, 25mp3an2i 1467 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ 0 ∈ (0[,)π‘Ž))
2726adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ (0[,)π‘Ž))
2821, 27eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž))
29 psmetf 23682 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
3029ffund 6676 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ Fun 𝐷)
3130ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ Fun 𝐷)
3211, 18eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ π‘ž ∈ 𝑋)
3318, 32opelxpd 5675 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (𝑋 Γ— 𝑋))
3429fdmd 6683 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
3534ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
3633, 35eleqtrrd 2837 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ dom 𝐷)
37 fvimacnv 7007 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐷 ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ dom 𝐷) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3831, 36, 37syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ ((π·β€˜βŸ¨π‘, π‘žβŸ©) ∈ (0[,)π‘Ž) ↔ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
3928, 38mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4039adantr 482 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
41 simpr 486 . . . . 5 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4240, 41eleqtrrd 2837 . . . 4 (((((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴)
43 simplr 768 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) β†’ 𝐴 ∈ 𝐹)
44 metust.1 . . . . . . 7 𝐹 = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4544metustel 23929 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
4645ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) β†’ (𝐴 ∈ 𝐹 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
4743, 46mpbid 231 . . . 4 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ 𝐴 = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
4842, 47r19.29a 3156 . . 3 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) ∧ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋)) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴)
4948ex 414 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ (βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ ( I β†Ύ 𝑋) β†’ βŸ¨π‘, π‘žβŸ© ∈ 𝐴))
502, 49relssdv 5748 1 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝐴 ∈ 𝐹) β†’ ( I β†Ύ 𝑋) βŠ† 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   I cid 5534   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   β€œ cima 5640  Rel wrel 5642  Fun wfun 6494  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  β„*cxr 11196   < clt 11197  β„+crp 12923  [,)cico 13275  PsMetcpsmet 20803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-addrcl 11120  ax-rnegex 11130  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-rp 12924  df-ico 13279  df-psmet 20811
This theorem is referenced by:  metustfbas  23936  metust  23937
  Copyright terms: Public domain W3C validator