MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mappwen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mappwen 10107
Description: Power rule for cardinal arithmetic. Theorem 11.21 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mappwen (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem mappwen
StepHypRef Expression
1 simprr 772 . . . . 5 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
2 pw2eng 9078 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom card → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
32ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
4 domentr 9009 . . . . 5 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2om 𝐵))
51, 3, 4syl2anc 585 . . . 4 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2om 𝐵))
6 mapdom1 9142 . . . 4 (𝐴 ≼ (2om 𝐵) → (𝐴m 𝐵) ≼ ((2om 𝐵) ↑m 𝐵))
75, 6syl 17 . . 3 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≼ ((2om 𝐵) ↑m 𝐵))
8 2on 8480 . . . . . 6 2o ∈ On
9 simpll 766 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
10 mapxpen 9143 . . . . . 6 ((2o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om (𝐵 × 𝐵)))
118, 9, 9, 10mp3an2i 1467 . . . . 5 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om (𝐵 × 𝐵)))
128elexi 3494 . . . . . . 7 2o ∈ V
1312enref 8981 . . . . . 6 2o ≈ 2o
14 infxpidm2 10012 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
1514adantr 482 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
16 mapen 9141 . . . . . 6 ((2o ≈ 2o ∧ (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵) → (2om (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2om 𝐵))
1713, 15, 16sylancr 588 . . . . 5 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2om (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2om 𝐵))
18 entr 9002 . . . . 5 ((((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om (𝐵 × 𝐵)) ∧ (2om (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2om 𝐵)) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om 𝐵))
1911, 17, 18syl2anc 585 . . . 4 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om 𝐵))
203ensymd 9001 . . . 4 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
21 entr 9002 . . . 4 ((((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om 𝐵) ∧ (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
2219, 20, 21syl2anc 585 . . 3 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
23 domentr 9009 . . 3 (((𝐴m 𝐵) ≼ ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ∧ ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
247, 22, 23syl2anc 585 . 2 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
25 mapdom1 9142 . . . 4 (2o𝐴 → (2om 𝐵) ≼ (𝐴m 𝐵))
2625ad2antrl 727 . . 3 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2om 𝐵) ≼ (𝐴m 𝐵))
27 endomtr 9008 . . 3 ((𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵) ∧ (2om 𝐵) ≼ (𝐴m 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴m 𝐵))
283, 26, 27syl2anc 585 . 2 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴m 𝐵))
29 sbth 9093 . 2 (((𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴m 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
3024, 28, 29syl2anc 585 1 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5149   × cxp 5675  dom cdm 5677  Oncon0 6365  (class class class)co 7409  ωcom 7855  2oc2o 8460  m cmap 8820  cen 8936  cdom 8937  cardccrd 9930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-oi 9505  df-card 9934
This theorem is referenced by:  alephexp1  10574  hauspwdom  23005
  Copyright terms: Public domain W3C validator