Theorem mappwen 10096

Description: Power rule for cardinal arithmetic. Theorem 11.21 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mappwen	⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem mappwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 784	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
2		pw2eng 9071	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
3	2	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
4		domentr 9010	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵))
5	1, 3, 4	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵))
6		mapdom1 9130	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵))
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵))
8		2on 8467	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
9		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
10		mapxpen 9131	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)))
11	8, 9, 9, 10	mp3an2i 1492	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)))
12	8	elexi 3483	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
13	12	enref 8982	. . . . . 6 ⊢ 2o ≈ 2o
14		infxpidm2 10001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
15	14	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
16		mapen 9129	. . . . . 6 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵) → (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵))
17	13, 15, 16	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵))
18		entr 9003	. . . . 5 ⊢ ((((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ∧ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵))
19	11, 17, 18	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵))
20	3	ensymd 9002	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
21		entr 9003	. . . 4 ⊢ ((((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
22	19, 20, 21	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
23		domentr 9010	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ∧ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
24	7, 22, 23	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
25		mapdom1 9130	. . . 4 ⊢ (2o ≼ 𝐴 → (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
26	25	ad2antrl 740	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
27		endomtr 9009	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
28	3, 26, 27	syl2anc 595	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
29		sbth 9085	. 2 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
30	24, 28, 29	syl2anc 595	1 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5111   × cxp 5660  dom cdm 5662  Oncon0 6361  (class class class)co 7411  ωcom 7862  2_oc2o 8447   ↑_m cmap 8824   ≈ cen 8940   ≼ cdom 8941  cardccrd 9921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-oi 9472  df-card 9925

This theorem is referenced by:  alephexp1  10564  hauspwdom  23627