MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mappwen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mappwen 10150
Description: Power rule for cardinal arithmetic. Theorem 11.21 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mappwen (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem mappwen
StepHypRef Expression
1 simprr 773 . . . . 5 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
2 pw2eng 9117 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom card → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
32ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
4 domentr 9052 . . . . 5 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2om 𝐵))
51, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2om 𝐵))
6 mapdom1 9181 . . . 4 (𝐴 ≼ (2om 𝐵) → (𝐴m 𝐵) ≼ ((2om 𝐵) ↑m 𝐵))
75, 6syl 17 . . 3 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≼ ((2om 𝐵) ↑m 𝐵))
8 2on 8519 . . . . . 6 2o ∈ On
9 simpll 767 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
10 mapxpen 9182 . . . . . 6 ((2o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om (𝐵 × 𝐵)))
118, 9, 9, 10mp3an2i 1465 . . . . 5 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om (𝐵 × 𝐵)))
128elexi 3501 . . . . . . 7 2o ∈ V
1312enref 9024 . . . . . 6 2o ≈ 2o
14 infxpidm2 10055 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
1514adantr 480 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
16 mapen 9180 . . . . . 6 ((2o ≈ 2o ∧ (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵) → (2om (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2om 𝐵))
1713, 15, 16sylancr 587 . . . . 5 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2om (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2om 𝐵))
18 entr 9045 . . . . 5 ((((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om (𝐵 × 𝐵)) ∧ (2om (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2om 𝐵)) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om 𝐵))
1911, 17, 18syl2anc 584 . . . 4 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om 𝐵))
203ensymd 9044 . . . 4 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
21 entr 9045 . . . 4 ((((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om 𝐵) ∧ (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
2219, 20, 21syl2anc 584 . . 3 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
23 domentr 9052 . . 3 (((𝐴m 𝐵) ≼ ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ∧ ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
247, 22, 23syl2anc 584 . 2 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
25 mapdom1 9181 . . . 4 (2o𝐴 → (2om 𝐵) ≼ (𝐴m 𝐵))
2625ad2antrl 728 . . 3 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2om 𝐵) ≼ (𝐴m 𝐵))
27 endomtr 9051 . . 3 ((𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵) ∧ (2om 𝐵) ≼ (𝐴m 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴m 𝐵))
283, 26, 27syl2anc 584 . 2 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴m 𝐵))
29 sbth 9132 . 2 (((𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴m 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
3024, 28, 29syl2anc 584 1 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148   × cxp 5687  dom cdm 5689  Oncon0 6386  (class class class)co 7431  ωcom 7887  2oc2o 8499  m cmap 8865  cen 8981  cdom 8982  cardccrd 9973
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-oi 9548  df-card 9977
This theorem is referenced by:  alephexp1  10617  hauspwdom  23525
  Copyright terms: Public domain W3C validator