Theorem mappwen 9799

Description: Power rule for cardinal arithmetic. Theorem 11.21 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mappwen	⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem mappwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
2		pw2eng 8818	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
3	2	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
4		domentr 8754	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵))
5	1, 3, 4	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵))
6		mapdom1 8878	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵))
8		2on 8275	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
9		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
10		mapxpen 8879	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)))
11	8, 9, 9, 10	mp3an2i 1464	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)))
12	8	elexi 3441	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
13	12	enref 8728	. . . . . 6 ⊢ 2o ≈ 2o
14		infxpidm2 9704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
16		mapen 8877	. . . . . 6 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵) → (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵))
17	13, 15, 16	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵))
18		entr 8747	. . . . 5 ⊢ ((((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ∧ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵))
19	11, 17, 18	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵))
20	3	ensymd 8746	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
21		entr 8747	. . . 4 ⊢ ((((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
22	19, 20, 21	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
23		domentr 8754	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ∧ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
24	7, 22, 23	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
25		mapdom1 8878	. . . 4 ⊢ (2o ≼ 𝐴 → (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
26	25	ad2antrl 724	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
27		endomtr 8753	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
28	3, 26, 27	syl2anc 583	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
29		sbth 8833	. 2 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
30	24, 28, 29	syl2anc 583	1 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  𝒫 cpw 4530   class class class wbr 5070   × cxp 5578  dom cdm 5580  Oncon0 6251  (class class class)co 7255  ωcom 7687  2_oc2o 8261   ↑_m cmap 8573   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689  cardccrd 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-oi 9199  df-card 9628

This theorem is referenced by:  alephexp1  10266  hauspwdom  22560