MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mappwen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mappwen 10109
Description: Power rule for cardinal arithmetic. Theorem 11.21 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mappwen (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem mappwen
StepHypRef Expression
1 simprr 771 . . . . 5 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
2 pw2eng 9080 . . . . . 6 (𝐵 ∈ dom card → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
32ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
4 domentr 9011 . . . . 5 ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2om 𝐵))
51, 3, 4syl2anc 584 . . . 4 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2om 𝐵))
6 mapdom1 9144 . . . 4 (𝐴 ≼ (2om 𝐵) → (𝐴m 𝐵) ≼ ((2om 𝐵) ↑m 𝐵))
75, 6syl 17 . . 3 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≼ ((2om 𝐵) ↑m 𝐵))
8 2on 8482 . . . . . 6 2o ∈ On
9 simpll 765 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
10 mapxpen 9145 . . . . . 6 ((2o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om (𝐵 × 𝐵)))
118, 9, 9, 10mp3an2i 1466 . . . . 5 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om (𝐵 × 𝐵)))
128elexi 3493 . . . . . . 7 2o ∈ V
1312enref 8983 . . . . . 6 2o ≈ 2o
14 infxpidm2 10014 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
1514adantr 481 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
16 mapen 9143 . . . . . 6 ((2o ≈ 2o ∧ (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵) → (2om (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2om 𝐵))
1713, 15, 16sylancr 587 . . . . 5 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2om (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2om 𝐵))
18 entr 9004 . . . . 5 ((((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om (𝐵 × 𝐵)) ∧ (2om (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2om 𝐵)) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om 𝐵))
1911, 17, 18syl2anc 584 . . . 4 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om 𝐵))
203ensymd 9003 . . . 4 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
21 entr 9004 . . . 4 ((((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2om 𝐵) ∧ (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
2219, 20, 21syl2anc 584 . . 3 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
23 domentr 9011 . . 3 (((𝐴m 𝐵) ≼ ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ∧ ((2om 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
247, 22, 23syl2anc 584 . 2 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
25 mapdom1 9144 . . . 4 (2o𝐴 → (2om 𝐵) ≼ (𝐴m 𝐵))
2625ad2antrl 726 . . 3 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2om 𝐵) ≼ (𝐴m 𝐵))
27 endomtr 9010 . . 3 ((𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵) ∧ (2om 𝐵) ≼ (𝐴m 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴m 𝐵))
283, 26, 27syl2anc 584 . 2 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴m 𝐵))
29 sbth 9095 . 2 (((𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴m 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
3024, 28, 29syl2anc 584 1 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148   × cxp 5674  dom cdm 5676  Oncon0 6364  (class class class)co 7411  ωcom 7857  2oc2o 8462  m cmap 8822  cen 8938  cdom 8939  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-card 9936
This theorem is referenced by:  alephexp1  10576  hauspwdom  23012
  Copyright terms: Public domain W3C validator