Theorem mappwen 10191

Description: Power rule for cardinal arithmetic. Theorem 11.21 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mappwen	⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem mappwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 785	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
2		pw2eng 9102	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
3	2	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
4		domentr 9040	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵))
5	1, 3, 4	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵))
6		mapdom1 9161	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵))
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵))
8		2on 8490	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
9		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
10		mapxpen 9162	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)))
11	8, 9, 9, 10	mp3an2i 1495	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)))
12	8	elexi 3472	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
13	12	enref 9012	. . . . . 6 ⊢ 2o ≈ 2o
14		infxpidm2 10096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
16		mapen 9160	. . . . . 6 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵) → (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵))
17	13, 15, 16	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵))
18		entr 9033	. . . . 5 ⊢ ((((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ∧ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵))
19	11, 17, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵))
20	3	ensymd 9032	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
21		entr 9033	. . . 4 ⊢ ((((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
22	19, 20, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
23		domentr 9040	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ∧ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
24	7, 22, 23	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
25		mapdom1 9161	. . . 4 ⊢ (2o ≼ 𝐴 → (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
26	25	ad2antrl 741	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
27		endomtr 9039	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
28	3, 26, 27	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
29		sbth 9116	. 2 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
30	24, 28, 29	syl2anc 596	1 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102   × cxp 5648  dom cdm 5650  Oncon0 6362  (class class class)co 7420  ωcom 7877  2_oc2o 8470   ↑_m cmap 8847   ≈ cen 8970   ≼ cdom 8971  cardccrd 10016

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-oi 9504  df-card 10020

This theorem is used by:  alephexp1  10664  hauspwdom  23820