Theorem mappwen 9523

Description: Power rule for cardinal arithmetic. Theorem 11.21 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mappwen	⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem mappwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
2		pw2eng 8606	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
3	2	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
4		domentr 8551	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵))
5	1, 3, 4	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵))
6		mapdom1 8666	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵))
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵))
8		2on 8094	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
9		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
10		mapxpen 8667	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)))
11	8, 9, 9, 10	mp3an2i 1463	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)))
12	8	elexi 3460	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
13	12	enref 8525	. . . . . 6 ⊢ 2o ≈ 2o
14		infxpidm2 9428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
15	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
16		mapen 8665	. . . . . 6 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵) → (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵))
17	13, 15, 16	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵))
18		entr 8544	. . . . 5 ⊢ ((((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ∧ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵))
19	11, 17, 18	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵))
20	3	ensymd 8543	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
21		entr 8544	. . . 4 ⊢ ((((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
22	19, 20, 21	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
23		domentr 8551	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ∧ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
24	7, 22, 23	syl2anc 587	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
25		mapdom1 8666	. . . 4 ⊢ (2o ≼ 𝐴 → (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
26	25	ad2antrl 727	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
27		endomtr 8550	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
28	3, 26, 27	syl2anc 587	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
29		sbth 8621	. 2 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
30	24, 28, 29	syl2anc 587	1 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5030   × cxp 5517  dom cdm 5519  Oncon0 6159  (class class class)co 7135  ωcom 7560  2_oc2o 8079   ↑_m cmap 8389   ≈ cen 8489   ≼ cdom 8490  cardccrd 9348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-oi 8958  df-card 9352

This theorem is referenced by:  alephexp1  9990  hauspwdom  22106