Theorem mappwen 10148

Description: Power rule for cardinal arithmetic. Theorem 11.21 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mappwen	⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem mappwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 785	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
2		pw2eng 9081	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ dom card → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
3	2	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
4		domentr 9019	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵))
5	1, 3, 4	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵))
6		mapdom1 9140	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ (2o ↑m 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵))
7	5, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵))
8		2on 8469	. . . . . 6 ⊢ 2o ∈ On
9		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
10		mapxpen 9141	. . . . . 6 ⊢ ((2o ∈ On ∧ 𝐵 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)))
11	8, 9, 9, 10	mp3an2i 1495	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)))
12	8	elexi 3472	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ V
13	12	enref 8991	. . . . . 6 ⊢ 2o ≈ 2o
14		infxpidm2 10053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
15	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵)
16		mapen 9139	. . . . . 6 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (𝐵 × 𝐵) ≈ 𝐵) → (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵))
17	13, 15, 16	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵))
18		entr 9012	. . . . 5 ⊢ ((((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ∧ (2o ↑m (𝐵 × 𝐵)) ≈ (2o ↑m 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵))
19	11, 17, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵))
20	3	ensymd 9011	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
21		entr 9012	. . . 4 ⊢ ((((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
22	19, 20, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
23		domentr 9019	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐵) ≼ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ∧ ((2o ↑m 𝐵) ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
24	7, 22, 23	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
25		mapdom1 9140	. . . 4 ⊢ (2o ≼ 𝐴 → (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
26	25	ad2antrl 741	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
27		endomtr 9018	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
28	3, 26, 27	syl2anc 596	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
29		sbth 9095	. 2 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵 ∧ 𝒫 𝐵 ≼ (𝐴 ↑m 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
30	24, 28, 29	syl2anc 596	1 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5103   × cxp 5646  dom cdm 5648  Oncon0 6352  (class class class)co 7409  ωcom 7861  2_oc2o 8449   ↑_m cmap 8826   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950  cardccrd 9973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-oi 9482  df-card 9977

This theorem is used by:  alephexp1  10621  hauspwdom  23767