Theorem hauspwdom 21633

Description: Simplify the cardinal 𝐴↑ℕ of hausmapdom 21632 to 𝒫 𝐵 = 2↑𝐵 when 𝐵 is an infinite cardinal greater than 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hauspwdom.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hauspwdom	⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem hauspwdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hauspwdom.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	hausmapdom 21632	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑𝑚 ℕ))
3	2	adantr 473	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑𝑚 ℕ))
4		simprr 790	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ℕ ≼ 𝐵)
5		1nn 11325	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		noel 4119	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ∈ ∅
7		eleq2 2867	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ = ∅ → (1 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ∅))
8	6, 7	mtbiri 319	. . . . . 6 ⊢ (ℕ = ∅ → ¬ 1 ∈ ℕ)
9	8	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → ¬ 1 ∈ ℕ)
10	5, 9	mt2 192	. . . 4 ⊢ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
11		mapdom2 8373	. . . 4 ⊢ ((ℕ ≼ 𝐵 ∧ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴 ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵))
12	4, 10, 11	sylancl 581	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵))
13		sdomdom 8223	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 2𝑜 → 𝐴 ≼ 2𝑜)
14	13	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → 𝐴 ≼ 2𝑜)
15		mapdom1 8367	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 2𝑜 → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ (2𝑜 ↑𝑚 𝐵))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ (2𝑜 ↑𝑚 𝐵))
17		reldom 8201	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
18	17	brrelex2i 5364	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
19	18	ad2antll 721	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
20		pw2eng 8308	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐵))
21		ensym 8244	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜 ↑𝑚 𝐵) → (2𝑜 ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2𝑜 ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
23	22	adantr 473	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (2𝑜 ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24		domentr 8254	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ (2𝑜 ↑𝑚 𝐵) ∧ (2𝑜 ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
25	16, 23, 24	syl2anc 580	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
26		onfin2 8394	. . . . . . . . 9 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
27		inss2 4029	. . . . . . . . 9 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
28	26, 27	eqsstri 3831	. . . . . . . 8 ⊢ ω ⊆ Fin
29		2onn 7960	. . . . . . . 8 ⊢ 2𝑜 ∈ ω
30	28, 29	sselii 3795	. . . . . . 7 ⊢ 2𝑜 ∈ Fin
31		simprl 788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
32	17	brrelex1i 5363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
34		fidomtri 9105	. . . . . . 7 ⊢ ((2𝑜 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2𝑜 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
35	30, 33, 34	sylancr 582	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2𝑜 ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜))
36	35	biimpar 470	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜) → 2𝑜 ≼ 𝐴)
37		numth3 9580	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
38	19, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
39	38	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
40		nnenom 13034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
41	40	ensymi 8245	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ≈ ℕ
42		endomtr 8253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
43	41, 4, 42	sylancr 582	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ω ≼ 𝐵)
44	43	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐵)
45		simpr 478	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → 2𝑜 ≼ 𝐴)
46	31	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
47		mappwen 9221	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2𝑜 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
48	39, 44, 45, 46, 47	syl22anc 868	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
49		endom 8222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2𝑜 ≼ 𝐴) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
51	36, 50	syldan 586	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2𝑜) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
52	25, 51	pm2.61dan 848	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
53		domtr 8248	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ∧ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
54	12, 52, 53	syl2anc 580	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
55		domtr 8248	. 2 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝐴 ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 𝐵) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
56	3, 54, 55	syl2anc 580	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1st𝜔 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3385   ∩ cin 3768   ⊆ wss 3769  ∅c0 4115  𝒫 cpw 4349  ∪ cuni 4628   class class class wbr 4843  dom cdm 5312  Oncon0 5941  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ωcom 7299  2_𝑜c2o 7793   ↑_𝑚 cmap 8095   ≈ cen 8192   ≼ cdom 8193   ≺ csdm 8194  Fincfn 8195  cardccrd 9047  1c1 10225  ℕcn 11312  clsccl 21151  Hauscha 21441  1^st𝜔c1stc 21569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cc 9545  ax-ac2 9573  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-ac 9225  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-top 21027  df-topon 21044  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-lm 21362  df-haus 21448  df-1stc 21571

This theorem is referenced by: (None)