Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hauspwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hauspwdom 22214
 Description: Simplify the cardinal 𝐴↑ℕ of hausmapdom 22213 to 𝒫 𝐵 = 2↑𝐵 when 𝐵 is an infinite cardinal greater than 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hauspwdom.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hauspwdom (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem hauspwdom
StepHypRef Expression
1 hauspwdom.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21hausmapdom 22213 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴m ℕ))
32adantr 484 . 2 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴m ℕ))
4 simprr 772 . . . 4 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ℕ ≼ 𝐵)
5 1nn 11698 . . . . 5 1 ∈ ℕ
6 noel 4232 . . . . . . 7 ¬ 1 ∈ ∅
7 eleq2 2840 . . . . . . 7 (ℕ = ∅ → (1 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ∅))
86, 7mtbiri 330 . . . . . 6 (ℕ = ∅ → ¬ 1 ∈ ℕ)
98adantr 484 . . . . 5 ((ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → ¬ 1 ∈ ℕ)
105, 9mt2 203 . . . 4 ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
11 mapdom2 8723 . . . 4 ((ℕ ≼ 𝐵 ∧ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴m ℕ) ≼ (𝐴m 𝐵))
124, 10, 11sylancl 589 . . 3 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴m ℕ) ≼ (𝐴m 𝐵))
13 sdomdom 8568 . . . . . . 7 (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≼ 2o)
1413adantl 485 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → 𝐴 ≼ 2o)
15 mapdom1 8717 . . . . . 6 (𝐴 ≼ 2o → (𝐴m 𝐵) ≼ (2om 𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴m 𝐵) ≼ (2om 𝐵))
17 reldom 8546 . . . . . . . . 9 Rel ≼
1817brrelex2i 5583 . . . . . . . 8 (ℕ ≼ 𝐵𝐵 ∈ V)
1918ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
20 pw2eng 8657 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
21 ensym 8589 . . . . . . 7 (𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
2322adantr 484 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24 domentr 8599 . . . . 5 (((𝐴m 𝐵) ≼ (2om 𝐵) ∧ (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
2516, 23, 24syl2anc 587 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
26 onfin2 8762 . . . . . . . . 9 ω = (On ∩ Fin)
27 inss2 4136 . . . . . . . . 9 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
2826, 27eqsstri 3928 . . . . . . . 8 ω ⊆ Fin
29 2onn 8282 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
3028, 29sselii 3891 . . . . . . 7 2o ∈ Fin
31 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
3217brrelex1i 5582 . . . . . . . 8 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵𝐴 ∈ V)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
34 fidomtri 9468 . . . . . . 7 ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
3530, 33, 34sylancr 590 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
3635biimpar 481 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2o) → 2o𝐴)
37 numth3 9943 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
3819, 37syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
3938adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
40 nnenom 13410 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
4140ensymi 8590 . . . . . . . . 9 ω ≈ ℕ
42 endomtr 8598 . . . . . . . . 9 ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
4341, 4, 42sylancr 590 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ω ≼ 𝐵)
4443adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → ω ≼ 𝐵)
45 simpr 488 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → 2o𝐴)
4631adantr 484 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
47 mappwen 9585 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
4839, 44, 45, 46, 47syl22anc 837 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
49 endom 8567 . . . . . 6 ((𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5048, 49syl 17 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5136, 50syldan 594 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5225, 51pm2.61dan 812 . . 3 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
53 domtr 8593 . . 3 (((𝐴m ℕ) ≼ (𝐴m 𝐵) ∧ (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵) → (𝐴m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
5412, 52, 53syl2anc 587 . 2 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
55 domtr 8593 . 2 ((((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴m ℕ) ∧ (𝐴m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
563, 54, 55syl2anc 587 1 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4801   class class class wbr 5036  dom cdm 5528  Oncon0 6174  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ωcom 7585  2oc2o 8112   ↑m cmap 8422   ≈ cen 8537   ≼ cdom 8538   ≺ csdm 8539  Fincfn 8540  cardccrd 9410  1c1 10589  ℕcn 11687  clsccl 21731  Hauscha 22021  1stωc1stc 22150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cc 9908  ax-ac2 9936  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-oi 9020  df-card 9414  df-acn 9417  df-ac 9589  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-top 21607  df-topon 21624  df-cld 21732  df-ntr 21733  df-cls 21734  df-lm 21942  df-haus 22028  df-1stc 22152 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator