Theorem hauspwdom 23443

Description: Simplify the cardinal 𝐴↑ℕ of hausmapdom 23442 to 𝒫 𝐵 = 2↑𝐵 when 𝐵 is an infinite cardinal greater than 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hauspwdom.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hauspwdom	⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem hauspwdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hauspwdom.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	hausmapdom 23442	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))
3	2	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))
4		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ℕ ≼ 𝐵)
5		1nn 12154	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		noel 4288	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ∈ ∅
7		eleq2 2823	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ = ∅ → (1 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ∅))
8	6, 7	mtbiri 327	. . . . . 6 ⊢ (ℕ = ∅ → ¬ 1 ∈ ℕ)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → ¬ 1 ∈ ℕ)
10	5, 9	mt2 200	. . . 4 ⊢ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
11		mapdom2 9074	. . . 4 ⊢ ((ℕ ≼ 𝐵 ∧ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴 ↑m ℕ) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
12	4, 10, 11	sylancl 586	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑m ℕ) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
13		sdomdom 8915	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ≼ 2o)
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → 𝐴 ≼ 2o)
15		mapdom1 9068	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 2o → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ (2o ↑m 𝐵))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ (2o ↑m 𝐵))
17		reldom 8887	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
18	17	brrelex2i 5679	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
19	18	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
20		pw2eng 9009	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
21		ensym 8938	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24		domentr 8948	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐵) ≼ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
25	16, 23, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
26		onfin2 9139	. . . . . . . . 9 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
27		inss2 4188	. . . . . . . . 9 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
28	26, 27	eqsstri 3978	. . . . . . . 8 ⊢ ω ⊆ Fin
29		2onn 8568	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
30	28, 29	sselii 3928	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ Fin
31		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
32	17	brrelex1i 5678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
34		fidomtri 9903	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
35	30, 33, 34	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
36	35	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2o) → 2o ≼ 𝐴)
37		numth3 10378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
38	19, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
39	38	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
40		nnenom 13901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
41	40	ensymi 8939	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ≈ ℕ
42		endomtr 8947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
43	41, 4, 42	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ω ≼ 𝐵)
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐵)
45		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → 2o ≼ 𝐴)
46	31	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
47		mappwen 10020	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
48	39, 44, 45, 46, 47	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
49		endom 8914	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
51	36, 50	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
52	25, 51	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
53		domtr 8942	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m ℕ) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵) ∧ (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
54	12, 52, 53	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
55		domtr 8942	. 2 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ↑m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
56	3, 54, 55	syl2anc 584	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  ∪ cuni 4861   class class class wbr 5096  dom cdm 5622  Oncon0 6315  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ωcom 7806  2_oc2o 8389   ↑_m cmap 8761   ≈ cen 8878   ≼ cdom 8879   ≺ csdm 8880  Fincfn 8881  cardccrd 9845  1c1 11025  ℕcn 12143  clsccl 22960  Hauscha 23250  1^stωc1stc 23379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cc 10343  ax-ac2 10371  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-oi 9413  df-card 9849  df-acn 9852  df-ac 10024  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-top 22836  df-topon 22853  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-lm 23171  df-haus 23257  df-1stc 23381

This theorem is referenced by: (None)