Theorem hauspwdom 22934

Description: Simplify the cardinal 𝐴↑ℕ of hausmapdom 22933 to 𝒫 𝐵 = 2↑𝐵 when 𝐵 is an infinite cardinal greater than 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hauspwdom.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hauspwdom	⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem hauspwdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hauspwdom.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	hausmapdom 22933	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))
3	2	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))
4		simprr 771	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ℕ ≼ 𝐵)
5		1nn 12205	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		noel 4326	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ∈ ∅
7		eleq2 2821	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ = ∅ → (1 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ∅))
8	6, 7	mtbiri 326	. . . . . 6 ⊢ (ℕ = ∅ → ¬ 1 ∈ ℕ)
9	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → ¬ 1 ∈ ℕ)
10	5, 9	mt2 199	. . . 4 ⊢ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
11		mapdom2 9131	. . . 4 ⊢ ((ℕ ≼ 𝐵 ∧ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴 ↑m ℕ) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
12	4, 10, 11	sylancl 586	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑m ℕ) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
13		sdomdom 8959	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ≼ 2o)
14	13	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → 𝐴 ≼ 2o)
15		mapdom1 9125	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 2o → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ (2o ↑m 𝐵))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ (2o ↑m 𝐵))
17		reldom 8928	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
18	17	brrelex2i 5725	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
19	18	ad2antll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
20		pw2eng 9061	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
21		ensym 8982	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
23	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24		domentr 8992	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐵) ≼ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
25	16, 23, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
26		onfin2 9214	. . . . . . . . 9 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
27		inss2 4225	. . . . . . . . 9 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
28	26, 27	eqsstri 4012	. . . . . . . 8 ⊢ ω ⊆ Fin
29		2onn 8624	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
30	28, 29	sselii 3975	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ Fin
31		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
32	17	brrelex1i 5724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
34		fidomtri 9970	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
35	30, 33, 34	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
36	35	biimpar 478	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2o) → 2o ≼ 𝐴)
37		numth3 10447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
38	19, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
39	38	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
40		nnenom 13927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
41	40	ensymi 8983	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ≈ ℕ
42		endomtr 8991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
43	41, 4, 42	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ω ≼ 𝐵)
44	43	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐵)
45		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → 2o ≼ 𝐴)
46	31	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
47		mappwen 10089	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
48	39, 44, 45, 46, 47	syl22anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
49		endom 8958	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
51	36, 50	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
52	25, 51	pm2.61dan 811	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
53		domtr 8986	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m ℕ) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵) ∧ (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
54	12, 52, 53	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
55		domtr 8986	. 2 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ↑m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
56	3, 54, 55	syl2anc 584	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3473   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  ∅c0 4318  𝒫 cpw 4596  ∪ cuni 4901   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  Oncon0 6353  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  ωcom 7838  2_oc2o 8442   ↑_m cmap 8803   ≈ cen 8919   ≼ cdom 8920   ≺ csdm 8921  Fincfn 8922  cardccrd 9912  1c1 11093  ℕcn 12194  clsccl 22451  Hauscha 22741  1^stωc1stc 22870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cc 10412  ax-ac2 10440  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-oi 9487  df-card 9916  df-acn 9919  df-ac 10093  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-top 22325  df-topon 22342  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-lm 22662  df-haus 22748  df-1stc 22872

This theorem is referenced by: (None)