Theorem hauspwdom 22214

Description: Simplify the cardinal 𝐴↑ℕ of hausmapdom 22213 to 𝒫 𝐵 = 2↑𝐵 when 𝐵 is an infinite cardinal greater than 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hauspwdom.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
hauspwdom	⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem hauspwdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hauspwdom.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	hausmapdom 22213	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))
3	2	adantr 484	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ))
4		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ℕ ≼ 𝐵)
5		1nn 11698	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		noel 4232	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 ∈ ∅
7		eleq2 2840	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ = ∅ → (1 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ∅))
8	6, 7	mtbiri 330	. . . . . 6 ⊢ (ℕ = ∅ → ¬ 1 ∈ ℕ)
9	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → ¬ 1 ∈ ℕ)
10	5, 9	mt2 203	. . . 4 ⊢ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
11		mapdom2 8723	. . . 4 ⊢ ((ℕ ≼ 𝐵 ∧ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴 ↑m ℕ) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
12	4, 10, 11	sylancl 589	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑m ℕ) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵))
13		sdomdom 8568	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 2o → 𝐴 ≼ 2o)
14	13	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → 𝐴 ≼ 2o)
15		mapdom1 8717	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 2o → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ (2o ↑m 𝐵))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ (2o ↑m 𝐵))
17		reldom 8546	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
18	17	brrelex2i 5583	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
19	18	ad2antll 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
20		pw2eng 8657	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵))
21		ensym 8589	. . . . . . 7 ⊢ (𝒫 𝐵 ≈ (2o ↑m 𝐵) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
23	22	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24		domentr 8599	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ↑m 𝐵) ≼ (2o ↑m 𝐵) ∧ (2o ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
25	16, 23, 24	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
26		onfin2 8762	. . . . . . . . 9 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
27		inss2 4136	. . . . . . . . 9 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
28	26, 27	eqsstri 3928	. . . . . . . 8 ⊢ ω ⊆ Fin
29		2onn 8282	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
30	28, 29	sselii 3891	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ Fin
31		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
32	17	brrelex1i 5582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
34		fidomtri 9468	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
35	30, 33, 34	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2o ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
36	35	biimpar 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2o) → 2o ≼ 𝐴)
37		numth3 9943	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
38	19, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
39	38	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
40		nnenom 13410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ ≈ ω
41	40	ensymi 8590	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ≈ ℕ
42		endomtr 8598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
43	41, 4, 42	sylancr 590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ω ≼ 𝐵)
44	43	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → ω ≼ 𝐵)
45		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → 2o ≼ 𝐴)
46	31	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
47		mappwen 9585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
48	39, 44, 45, 46, 47	syl22anc 837	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
49		endom 8567	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ↑m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o ≼ 𝐴) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
51	36, 50	syldan 594	. . . 4 ⊢ ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
52	25, 51	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
53		domtr 8593	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m ℕ) ≼ (𝐴 ↑m 𝐵) ∧ (𝐴 ↑m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵) → (𝐴 ↑m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
54	12, 52, 53	syl2anc 587	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴 ↑m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
55		domtr 8593	. 2 ⊢ ((((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴 ↑m ℕ) ∧ (𝐴 ↑m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
56	3, 54, 55	syl2anc 587	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3409   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4801   class class class wbr 5036  dom cdm 5528  Oncon0 6174  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ωcom 7585  2_oc2o 8112   ↑_m cmap 8422   ≈ cen 8537   ≼ cdom 8538   ≺ csdm 8539  Fincfn 8540  cardccrd 9410  1c1 10589  ℕcn 11687  clsccl 21731  Hauscha 22021  1^stωc1stc 22150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cc 9908  ax-ac2 9936  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-2o 8119  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-oi 9020  df-card 9414  df-acn 9417  df-ac 9589  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-fz 12953  df-top 21607  df-topon 21624  df-cld 21732  df-ntr 21733  df-cls 21734  df-lm 21942  df-haus 22028  df-1stc 22152

This theorem is referenced by: (None)