MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hauspwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hauspwdom 23226
Description: Simplify the cardinal 𝐴↑ℕ of hausmapdom 23225 to 𝒫 𝐵 = 2↑𝐵 when 𝐵 is an infinite cardinal greater than 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hauspwdom.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hauspwdom (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem hauspwdom
StepHypRef Expression
1 hauspwdom.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21hausmapdom 23225 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴m ℕ))
32adantr 480 . 2 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴m ℕ))
4 simprr 770 . . . 4 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ℕ ≼ 𝐵)
5 1nn 12228 . . . . 5 1 ∈ ℕ
6 noel 4330 . . . . . . 7 ¬ 1 ∈ ∅
7 eleq2 2821 . . . . . . 7 (ℕ = ∅ → (1 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ∅))
86, 7mtbiri 327 . . . . . 6 (ℕ = ∅ → ¬ 1 ∈ ℕ)
98adantr 480 . . . . 5 ((ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → ¬ 1 ∈ ℕ)
105, 9mt2 199 . . . 4 ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
11 mapdom2 9152 . . . 4 ((ℕ ≼ 𝐵 ∧ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴m ℕ) ≼ (𝐴m 𝐵))
124, 10, 11sylancl 585 . . 3 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴m ℕ) ≼ (𝐴m 𝐵))
13 sdomdom 8980 . . . . . . 7 (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≼ 2o)
1413adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → 𝐴 ≼ 2o)
15 mapdom1 9146 . . . . . 6 (𝐴 ≼ 2o → (𝐴m 𝐵) ≼ (2om 𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴m 𝐵) ≼ (2om 𝐵))
17 reldom 8949 . . . . . . . . 9 Rel ≼
1817brrelex2i 5733 . . . . . . . 8 (ℕ ≼ 𝐵𝐵 ∈ V)
1918ad2antll 726 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
20 pw2eng 9082 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
21 ensym 9003 . . . . . . 7 (𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
2322adantr 480 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24 domentr 9013 . . . . 5 (((𝐴m 𝐵) ≼ (2om 𝐵) ∧ (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
2516, 23, 24syl2anc 583 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
26 onfin2 9235 . . . . . . . . 9 ω = (On ∩ Fin)
27 inss2 4229 . . . . . . . . 9 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
2826, 27eqsstri 4016 . . . . . . . 8 ω ⊆ Fin
29 2onn 8645 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
3028, 29sselii 3979 . . . . . . 7 2o ∈ Fin
31 simprl 768 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
3217brrelex1i 5732 . . . . . . . 8 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵𝐴 ∈ V)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
34 fidomtri 9992 . . . . . . 7 ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
3530, 33, 34sylancr 586 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
3635biimpar 477 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2o) → 2o𝐴)
37 numth3 10469 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
3819, 37syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
40 nnenom 13950 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
4140ensymi 9004 . . . . . . . . 9 ω ≈ ℕ
42 endomtr 9012 . . . . . . . . 9 ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
4341, 4, 42sylancr 586 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ω ≼ 𝐵)
4443adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → ω ≼ 𝐵)
45 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → 2o𝐴)
4631adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
47 mappwen 10111 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
4839, 44, 45, 46, 47syl22anc 836 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
49 endom 8979 . . . . . 6 ((𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5048, 49syl 17 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5136, 50syldan 590 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5225, 51pm2.61dan 810 . . 3 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
53 domtr 9007 . . 3 (((𝐴m ℕ) ≼ (𝐴m 𝐵) ∧ (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵) → (𝐴m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
5412, 52, 53syl2anc 583 . 2 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
55 domtr 9007 . 2 ((((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴m ℕ) ∧ (𝐴m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
563, 54, 55syl2anc 583 1 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3473  cin 3947  wss 3948  c0 4322  𝒫 cpw 4602   cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  Oncon0 6364  cfv 6543  (class class class)co 7412  ωcom 7859  2oc2o 8464  m cmap 8824  cen 8940  cdom 8941  csdm 8942  Fincfn 8943  cardccrd 9934  1c1 11115  cn 12217  clsccl 22743  Hauscha 23033  1stωc1stc 23162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-ac2 10462  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-ac 10115  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-top 22617  df-topon 22634  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-lm 22954  df-haus 23040  df-1stc 23164
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator