MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hauspwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hauspwdom 23225
Description: Simplify the cardinal 𝐴↑ℕ of hausmapdom 23224 to 𝒫 𝐵 = 2↑𝐵 when 𝐵 is an infinite cardinal greater than 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
hauspwdom.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
hauspwdom (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem hauspwdom
StepHypRef Expression
1 hauspwdom.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21hausmapdom 23224 . . 3 ((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴m ℕ))
32adantr 479 . 2 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴m ℕ))
4 simprr 769 . . . 4 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ℕ ≼ 𝐵)
5 1nn 12227 . . . . 5 1 ∈ ℕ
6 noel 4329 . . . . . . 7 ¬ 1 ∈ ∅
7 eleq2 2820 . . . . . . 7 (ℕ = ∅ → (1 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ∅))
86, 7mtbiri 326 . . . . . 6 (ℕ = ∅ → ¬ 1 ∈ ℕ)
98adantr 479 . . . . 5 ((ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅) → ¬ 1 ∈ ℕ)
105, 9mt2 199 . . . 4 ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)
11 mapdom2 9150 . . . 4 ((ℕ ≼ 𝐵 ∧ ¬ (ℕ = ∅ ∧ 𝐴 = ∅)) → (𝐴m ℕ) ≼ (𝐴m 𝐵))
124, 10, 11sylancl 584 . . 3 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴m ℕ) ≼ (𝐴m 𝐵))
13 sdomdom 8978 . . . . . . 7 (𝐴 ≺ 2o𝐴 ≼ 2o)
1413adantl 480 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → 𝐴 ≼ 2o)
15 mapdom1 9144 . . . . . 6 (𝐴 ≼ 2o → (𝐴m 𝐵) ≼ (2om 𝐵))
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴m 𝐵) ≼ (2om 𝐵))
17 reldom 8947 . . . . . . . . 9 Rel ≼
1817brrelex2i 5732 . . . . . . . 8 (ℕ ≼ 𝐵𝐵 ∈ V)
1918ad2antll 725 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ V)
20 pw2eng 9080 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵))
21 ensym 9001 . . . . . . 7 (𝒫 𝐵 ≈ (2om 𝐵) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
2322adantr 479 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
24 domentr 9011 . . . . 5 (((𝐴m 𝐵) ≼ (2om 𝐵) ∧ (2om 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
2516, 23, 24syl2anc 582 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
26 onfin2 9233 . . . . . . . . 9 ω = (On ∩ Fin)
27 inss2 4228 . . . . . . . . 9 (On ∩ Fin) ⊆ Fin
2826, 27eqsstri 4015 . . . . . . . 8 ω ⊆ Fin
29 2onn 8643 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
3028, 29sselii 3978 . . . . . . 7 2o ∈ Fin
31 simprl 767 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
3217brrelex1i 5731 . . . . . . . 8 (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵𝐴 ∈ V)
3331, 32syl 17 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
34 fidomtri 9990 . . . . . . 7 ((2o ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ V) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
3530, 33, 34sylancr 585 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (2o𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ 2o))
3635biimpar 476 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2o) → 2o𝐴)
37 numth3 10467 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ dom card)
3819, 37syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
3938adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
40 nnenom 13949 . . . . . . . . . 10 ℕ ≈ ω
4140ensymi 9002 . . . . . . . . 9 ω ≈ ℕ
42 endomtr 9010 . . . . . . . . 9 ((ω ≈ ℕ ∧ ℕ ≼ 𝐵) → ω ≼ 𝐵)
4341, 4, 42sylancr 585 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ω ≼ 𝐵)
4443adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → ω ≼ 𝐵)
45 simpr 483 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → 2o𝐴)
4631adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)
47 mappwen 10109 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝐵) ∧ (2o𝐴𝐴 ≼ 𝒫 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
4839, 44, 45, 46, 47syl22anc 835 . . . . . 6 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → (𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵)
49 endom 8977 . . . . . 6 ((𝐴m 𝐵) ≈ 𝒫 𝐵 → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5048, 49syl 17 . . . . 5 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ 2o𝐴) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5136, 50syldan 589 . . . 4 ((((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 ≺ 2o) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
5225, 51pm2.61dan 809 . . 3 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵)
53 domtr 9005 . . 3 (((𝐴m ℕ) ≼ (𝐴m 𝐵) ∧ (𝐴m 𝐵) ≼ 𝒫 𝐵) → (𝐴m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
5412, 52, 53syl2anc 582 . 2 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → (𝐴m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵)
55 domtr 9005 . 2 ((((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ (𝐴m ℕ) ∧ (𝐴m ℕ) ≼ 𝒫 𝐵) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
563, 54, 55syl2anc 582 1 (((𝐽 ∈ Haus ∧ 𝐽 ∈ 1stω ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝐴 ≼ 𝒫 𝐵 ∧ ℕ ≼ 𝐵)) → ((cls‘𝐽)‘𝐴) ≼ 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  Vcvv 3472  cin 3946  wss 3947  c0 4321  𝒫 cpw 4601   cuni 4907   class class class wbr 5147  dom cdm 5675  Oncon0 6363  cfv 6542  (class class class)co 7411  ωcom 7857  2oc2o 8462  m cmap 8822  cen 8938  cdom 8939  csdm 8940  Fincfn 8941  cardccrd 9932  1c1 11113  cn 12216  clsccl 22742  Hauscha 23032  1stωc1stc 23161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-top 22616  df-topon 22633  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-lm 22953  df-haus 23039  df-1stc 23163
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator