Theorem rlimcn2 15516

Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn2.1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
rlimcn2.1b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
rlimcn2.2a	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
rlimcn2.2b	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
rlimcn2.3a	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
rlimcn2.3b	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
rlimcn2.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
rlimcn2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
rlimcn2	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑥,𝑧   𝐹,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑅,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐵,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑟,𝑠,𝑥,𝑧   𝑆,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑟,𝑠,𝑣,𝑥   𝑢,𝑋,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧,𝑢)   𝑋(𝑥,𝑣,𝑠,𝑟)   𝑌(𝑥,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem rlimcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn2.1a	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
2		rlimcn2.1b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
3		rlimcn2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
5	4, 1, 2	fovcdmd 7525	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
6		rlimcn2.2a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
7		rlimcn2.2b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
8	3, 6, 7	fovcdmd 7525	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅𝐹𝑆) ∈ ℂ)
9		rlimcn2.3a	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
10		rlimcn2.3b	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
11		rlimcn2.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
12	1, 2, 5, 8, 9, 10, 11	rlimcn3 15515	1 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026   < clt 11168   − cmin 11365  ℝ⁺crp 12911  abscabs 15159   ⇝_𝑟 crli 15410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-rlim 15414

This theorem is referenced by:  rlimsub  15569