Theorem rlimcn2 15668

Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimcn2.1a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
rlimcn2.1b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
rlimcn2.2a	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
rlimcn2.2b	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
rlimcn2.3a	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
rlimcn2.3b	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
rlimcn2.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
rlimcn2.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
rlimcn2	⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑥,𝑧   𝐹,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝑅,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐵,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑟,𝑠,𝑥,𝑧   𝑆,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑟,𝑠,𝑣,𝑥   𝑢,𝑋,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣, 𝑢)   𝐴(𝑣, 𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧, 𝑢)   𝑋(𝑥, 𝑣, 𝑠, 𝑟)   𝑌(𝑥, 𝑠, 𝑟)

Proof of Theorem rlimcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimcn2.1a	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑋)
2		rlimcn2.1b	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑌)
3		rlimcn2.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
5	4, 1, 2	fovcdmd 7592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
6		rlimcn2.2a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑋)
7		rlimcn2.2b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑌)
8	3, 6, 7	fovcdmd 7592	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅𝐹𝑆) ∈ ℂ)
9		rlimcn2.3a	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
10		rlimcn2.3b	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
11		rlimcn2.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ∀𝑣 ∈ 𝑌 (((abs‘(𝑢 − 𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
12	1, 2, 5, 8, 9, 10, 11	rlimcn3 15667	1 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11115   < clt 11260   − cmin 11458  ℝ⁺crp 13034  abscabs 15311   ⇝_𝑟 crli 15562

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-rlim 15566

This theorem is used by:  rlimsub  15721