MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimaddOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimaddOLD 15620
Description: Obsolete version of rlimadd 15619 as of 27-Sep-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
rlimadd.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
rlimadd.5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐷)
rlimadd.6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸)
Assertion
Ref Expression
rlimaddOLD (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β‡π‘Ÿ (𝐷 + 𝐸))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐷   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem rlimaddOLD
Dummy variables 𝑀 𝑣 𝑦 𝑧 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
2 rlimadd.5 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐷)
31, 2rlimmptrcl 15584 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4 rlimadd.4 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
5 rlimadd.6 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸)
64, 5rlimmptrcl 15584 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
7 rlimcl 15479 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β‡π‘Ÿ 𝐷 β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
82, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
9 rlimcl 15479 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β‡π‘Ÿ 𝐸 β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
105, 9syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
11 ax-addf 11217 . . 3 + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
1211a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚)
13 simpr 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
148adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
1510adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
16 addcn2 15570 . . 3 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝐷 ∈ β„‚ ∧ 𝐸 ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝐷 + 𝐸))) < 𝑦))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1368 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘€ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐷)) < 𝑧 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝐸)) < 𝑀) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝐷 + 𝐸))) < 𝑦))
183, 6, 8, 10, 2, 5, 12, 17rlimcn2 15567 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β‡π‘Ÿ (𝐷 + 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136   + caddc 11141   < clt 11278   βˆ’ cmin 11474  β„+crp 13006  abscabs 15213   β‡π‘Ÿ crli 15461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-rlim 15465
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator